Тензорная функция Грина, Яцук

что и разлагаемое в ряд по собственным функциям векторного поля. В случае замкнутого объема собственные функции уравнения (12) образуют бесконечный дискретный набор ортогональных функций, образующих полную систему. Эти функции порождают полную систему собственных векторных функций вида (11).

3. Двумерные собственные векторные функции В ряде случаев полезно иметь полную систему собственных векторных

функций, зависящих только от координат поперечного сечения цилиндрической области. Такая система функций получается из (11) путем представления скалярной функции ϕ(r ),ψ (r )и χ(r ) в виде произведений

поперечных функций ϕ (r ),ψ (r ) и χ (r ), зависящих только от координат поперечного сечения r , на функции, зависящие только от продольной

координаты z . После подстановки этих произведений в (11) получают три типа векторных функций:

4. Граничные условия

Граничные условия для функций ϕ (r ), и χ (r ), как и прежде,

определяются граничные условия, которым удовлетворяют поле, раскладываемое в ряд по функциям (13). Так, если представляемая в виде ряда векторная функция характеризуется свойствами электрического поля, на боковой поверхности цилиндрической области Sδ необходимо обеспечить равенство нулю ее тангенциальных составляющих. Поскольку сразу видно, что

10

Из условия

Которое эквивалентно обращению в нуль тангенциальных компонент векторной функции ψ (r ), z0 на поверхности Sδ , получают граничное

условие для функций

Если в ряд раскладывается векторная функция со свойствами магнитного поля, функции χ (r ) иψ (r ) удовлетворяет таким граничным условиям:

определяющие поведение граничных значений тангенциальной и нормальной векторной функции ψ (r ), z0 , а следовательно, и раскладываемого в ряд векторного поля.

5. Условия ортогональности Не обходимо подчеркнуть, что решениями уравнений (14), с граничными

условиями (15а, б) или (16), являются бесконечные ортогональные системы

11

являются основой для построения бесконечных систем векторных функций вида (13), также удовлетворяющих условиям ортогональности:

∫ χ i (r )z0 χ k (r )ds = 0 ;

S

∫z0 χ i (r )z0 χ k (r )ds = Λχk δik ;

S

∫ χ i (r ) χ k (r )ds =αχ2k Λχkδik ; S

∫ ψ i (r )z0 ψ k ,z0 ds =αψ2k Λψkδik .

S

Вопросы и условия

1.Пользуясь методическими указаниями, изложенными в п.3 настоящего раздела, получите систему двумерных векторных функций (13) из системы функций (11).

Докажите, что функции ϕ i (r ) и χ i (r ) тождественно равны друг другу.

2.Представив функцию ϕ(r ) , удовлетворяющую уравнению (12), в виде

при условии, что искомые функции удовлетворяют граничным условиям (15 а, б)

12

4.Докажите условия ортогональности (18) собственных векторных функций поперечного сечения цилиндрической системы.

ОБЩЕЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ТЕНЗОРНОЙ ФУНКЦИИ ГРИНА В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ

Чтобы получить выражение для тензорной функции Грина в цилиндрической области, нужно выполнить следующие операции.

1. Представим искомую функцию в виде бесконечного ряда, членами которого являются тензорные произведения неизвестных коэффициентов на векторные собственные функции (13) поперечного сечения цилиндрической области:

(«о» – символ тензорного перемножения векторов). Следует подчеркнуть, что неизвестные коэффициенты Fi (r , z, z′),Gi (r , z, z′) и Hi (r , z, z′) зависит от штрихованных поперечных координат (r′) и продольных координат со штрихом и без него (z′, z). Это связано с тем, что векторные функции, по которым ведется разложение в ряд, зависят только от поперечных не штрихованных координат r′. Для того чтобы обеспечить зависимость функции Грина от всех координат r ,r′, z, z′ , не достигающие координаты следует ввести в аргументы векторных коэффициентов разложения.

2. Подставим функцию Грина (19) в уравнение (6).Оператор Лапласа представим в виде суммы поперечного и продольного операторов:

=+ ∂∂z22 .

Вводя оператор Лапласа под знак суммы и меняя последовательность действия операторов и , заменим в соответствии с (14) ψ i (r ) на - αψ2 i ψ i (r )

иχ i (r ) на - αχ2i χ i (r ). Это позволит в каждом слагаемом левой части

их за скобки.

3.Умножим тензорно левую и правую части полученного равенства по

13

(индекс «k» принимает все значения, которые может принимать индекс «i»), про интегрируем результат по площади поперечного сечения цилиндрической области.

4. Меняя порядок суммирования и интегрирования, а также используя условия ортогональности (18) собственных векторных функций, получаем в результате интегрирования следующие равенства для определения неизвестных коэффициентов:

= −4πδ (z − z′)′ z 0 χ k (r′).

где γ 2ψ (x)k =k 2 −α2ψ (x)k

5. Представим векторные коэффициенты Fk (r′, z, z′),Gk (r′, z, z′), Hk (r′, z, z′) в следующем виде:

Fk (r′, z, z′)= F k (r′) fk (z, z′);

Gk (r′, z, z′)=G k (r′)qk (z, z′); (21) Hk (r′, z, z′)= H k (r′)hk (z, z′).

6. Анализируя равенства (20) с учетом (21), получаем выражения для

14

Граничные условия для функций fk (z, z′),qk (z, z′),hk (z, z′) определяются условиями, которым должна удовлетворять функция Грина на граничных поперечных сечениях рассматриваемой цилиндрической области.

7. Представляя векторные коэффициенты (21) с учетом (22) в представлении для тензорной функции Грина (19), получим для нее окончательное выражение в самом общем виде:

Универсальность выражения (24) заключается в том, что оно содержит зависимость от продольной координаты я в неявном виде, определяемую коэффициентами fk (z, z′),qk (z, z′),hk (z, z′), которые следует находить из

уравнений (23), формулируя граничные условия в каждом граничном условии по-своему.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ fk (z, z′),qk (z, z′),hk (z, z′)

1. Общий ход решения

Уравнение (23) удобнее всего решать методом вариации произвольной постоянной. Для примера запишем уравнение относительно функции fk (z, z′):

зависимость от координаты z поля точечного источника, расположенного в точке z′.

Решение уравнения (23) представим в виде:

15

f (z, z′)= A(z)e−iγ z + B (z)e−iγ z

При временной зависимости, определяемой функцией экспонентыe iγ z соответствуют волнам, бегущим в сторону z > 0 ( знак «–» или z < 0 знак «+»). КоэффициентыΑ(z) и B (z) в соответствии со схемой метода вариации произвольной постоянной можно представить следующим образом:

16

Сформируем граничные условия и запишем решения уравнения (23) во всех трех случаях.

2. Бесконечный волновод

Вслучае бесконечного волновода все три функции: f (z,z′),g(z,z′),h (z,z′)

-удовлетворяют одному и тому же граничному условию излучению на

бесконечности. В областях z < z′ иz > z′ существуют только волны, расходящиеся только от источника, следовательно, должны выполняться равенства:

Определяя из этих условий коэффициенты α и β в выражениях (26), получаем решение (25) уравнения (23) в следующим виде:

3. Полубесконечный волновод

17

В этом случае на идеально проводящей торцевой стенке при z = 0 (z < z′) функция f (z,z′) обычно удовлетворяет либо однородному граничному условию Дирихле, либо Немана, а при (z > z′)– условию излучения на бесконечности, из которого следует, что при (z > z′) в (26) B(z) = 0 .

Какое из двух условий (Дирихле или Неймана) выполняется при z = 0 зависит от того, какая строится функция Грина – электрическая или магнитная.

торцевому сечению, а функция h (z,z′)– при продольных собственных векторных функциях, перпендикулярных торцевому сечению. Поэтому функции f (z,z′) и g(z,z′) определяют поведение в зависимости от координаты z тангенциальных, а функция h (z,z′) – нормальных к торцевому сечению составляющих поля.

Если строится электрическая функция Грина, она должна удовлетворять тем граничным условиям, что и электрический вектор Герца, тангенциальная

(∂n (z,z′) ∂z z=0 = 0). В случае построения магнитной функции Грина граничные

условия для этих функций меняются местами.

Применяя сформированные граничные условия для определения α и β в (26), получаем функции f (z,z′) и h(z,z′), используемые в выражении для электрической функции Грина в следующем виде:

18