Soprotivlenie_materialov / Все лекции Емельянова / Лекция -8+

9

ЛЕКЦИЯ №8

В сложных случаях нагружения строятся эпюры крутящих моментов. Они обозначаются M_к.

Эпюрой крутящего момента M_к - называется график ординаты которого равны значениям M_к в соответствующих поперечных сечениях вала.

Пример построения эпюры M_к:

Расчетная схема вала

Проверка равновесия вала ΣМк=0.

Эпюра крутящих моментов строится по участкам вала.

1. Вал разбивается на участки. Границы участков это сечения со скручивающими моментами, а также сечения, где заканчиваются или начинаются распределенные моменты.

2. На каждом из участков выбирается сечение и определяется значение M_к. Для произвольно выбранных сечений составляются аналитические выражения крутящих моментов, по которым строится эпюра.

Мк – всегда будем направлять положительно

Мк=м1=5кНм

Мк=5-30=-25кНм

Мк=5-30+15=-10кНм

А если бы рассмотрели правую часть

Мк= - 10кНм

Результаты совпали

3. Строим эпюру M_к. На эпюре скачки равны величине внешних моментов.

Напряжения и деформации при кручении стержня круглого сечения

Теория кручения стержней круглого поперечного сечения основана на следующих допущениях:

1. Плоские поперечные сечения до закручивания остаются плоскими и после закручивания (гипотеза плоских сечений Бернулли).

2. Радиусы поперечных сечений не искривляются, а только поворачиваются на некоторые углы.

3. Расстояние между поперечными сечениями не изменяются.

Указанные допущения подтверждаются опытами. Возьмем вал и в недеформированном состоянии нанесем сетку:

Закрутим вал

Рассмотрим вал, закрученный внешним крутящим моментом:

Выделим из вала двумя поперечными сечениями элемент длинной dx. Покажем элемент dx в крупном масштабе. Он уравновешен M_к:

r – наружный радиус

ρ – текущий радиус

γ_r – угол сдвига

АВ – образующая до деформации

Рассмотрим три стороны задачи:

1. Геометрические соотношения

Рассмотрим геометрию деформированного элемента.

BB₁=γ_rdx= поделим и получаем (1)

DD₁=γ_ρdx=

Следовательно, углы сдвигов прямо пропорциональны расстоянию точек до центров тяжести сечения.

2. Физические соотношения

Элементы, выделенные в окрестности точек B и D испытывают чистый сдвиг.

Запишем закон Гука при чистом сдвиге для точек B и D.

точка B τ_r=Gγ_r (2)

точка D τ_ρ=Gγ_ρ

Учитывая соотношения (1) и (2) окончательно получим:

(3)

где τ_r – напряжения на контуре.

Согласно зависимости (3) касательные напряжения в поперечных сечениях вала изменяются по линейному закону.

Покажем эпюру касательных напряжений τ._.

Вектор касательных напряжений в точке В направлен в направлении M_k.

3. Статические отношения

Интегральные характеристики мы рассматривали ранее.

, Заменим τ_ρ из соотношения (3)

. Известно, что -полярный момент инерции сечения.

(4)

- полярный момент сопротивления круглого сечения вала

Для определения напряжений в любой точке подставим в (3) значения τ из (4), и получим:

(5)

Формула (5) определяет касательные напряжения при кручении вала круглого сечения. Это основная формула для определения τ в любой точке вала.

Установим формулу для определения углов закручивания вала. Введем – относительный угол закручивания, т.е. угол закручивания единицы длины вала, выраженный в радианах.

(6)

Формула (6) определяет относительный угол закручивания вала.

GI_p – жесткость круглого сечения вала при кручении.

– приходится на 1-у единицу вала, а на dx приходится

(7)

Формула (7) определяет полный угол закручивания вала.

При постоянных M_k и GI_p формула (7) упрощается

(8)

Формула (8) определяет полный угол закручивания при M_k = const, GI_p= const.

Соотношение (8) выражает закон Гука при кручении стержня в развернутой форме, так же как .

Для ступенчатого вала, при постоянных значениях M_k и GI_p на каждом участке, углы закручивания подсчитываются по участкам по формуле (8) и результаты суммируются

, (9)

где i – номер участка.

Условие прочности и условие жесткости вала круглого сечения при кручении

Отметим, что валы должны одновременно удовлетворять условиям прочности и жесткости. Большие углы закручивания вала могут привести к вибрациям.

Наибольшие расчетные касательные напряжения вала не должны превышать допускаемых касательных напряжений для материала

τ_max ≤ [τ],

где [τ] – допускаемые касательные напряжения вала, которые устанавливаются нормалями и техническими условиями. Обычно назначают [τ] = 0,5…0,6 [σ_В].

Следовательно, условие прочности

. (10)

Наибольший расчетный относительный угол закручивания вала не должен превышать допускаемой величины

_max ≤ [] ,

где [] – допускаемый относительный угол закручивания. Для валов принимают []=0,3…2 град/м.

Следовательно, условие жесткости при кручении

. (11)

Таблица геометрических характеристик вала круглого сечения

Форма сечения

По формуле (10) можно решать три вида задач на кручение круглого сечения:

1. Производить проверку вала по касательным напряжениям.

2. Делать подбор размеров поперечного сечения вала.

3. Определять грузоподъемность вала, т.е. определять наибольший крутящий момент.

Зависимость между крутящими моментами, мощностью, и числом оборотов вала

N – л.с. n – об/мин

N – кВт. n – об/мин