Soprotivlenie_materialov / Все лекции Емельянова / Лекция 6+
.doc
ЛЕКЦИЯ №6
Главные площадки и главные напряжения
Нарисуем треугольную призму и действующими силами из предыдущей лекции.
Пусть
наклонная площадка треугольной призмы
является главной площадкой.
угол
наклона главной площадки. Так как
площадка главная, то на ней нет касательных
напряжений. Нормальные напряжения на
ней обозначим как
.
Обозначим
площадь наклонной площадки.
-
площадь вертикальной площадки.
Спроектируем все силы на оси x и y
Сократим
,
заменим
на
,
поделим на
и
исключим из уравнения
.
В
результате получим квадратное уравнение
относительно
Решая квадратное уравнение, получим формулу для главных напряжений при плоском напряженном состоянии
(10)
Всегда
Так
как на главной площадке
,
то выражение (7)=0 если α=α0
:cos2α0
(11)
формула для определения угла наклона
главных площадок
Позволяет определить углы наклона 2-х взаимно-перпендикулярных главных площадок.
Но
в каком направлении
не знаем.
Для
определения направления главных
напряжений используем знак второй
производной от σα
по α.
.
Исследовать не будем, а приведем результаты
При
>
и
→
<
0 , то функция
принимает максимальное значение.
При
<
и
→
>
0 , то функция
принимает минимальное значение.
Вывод:
если
>
и
,
то под углом
действует
и наоборот если
<
и
то
под углом
действует
.
Проверка.
Главное напряжение
всегда
пересекает те четверти осей координат,
где стрелки касательных напряжений
сходятся.
Экстремальные касательные напряжения
Пусть площадки являются главными. Следовательно на боковых гранях нет касательных напряжений
Уравнении (6) и (7) примут вид
Экстремальные касательные напряжения действуют на наклонных площадках под углом α=±45º по отношению к главным площадкам и равны
(12)
Выразим
и
по формуле (10). Получим
(13)
Обобщенный закон Гука
Определим относительные деформации элемента при объемном напряженном состоянии.
Полагаем, что деформации малы, соблюдая закон Гука, материал изотропный.
Относительная
деформация – это деформация приходящаяся
на единицу длины
Пусть
на исходных площадках элемента действуют
три главных напряжения;
,
,
.
-
закон Гука.
Укорочение
в поперечном (
,
)
направлении
.
Следовательно
При простом растяжении элемент испытывает продольные и поперечные деформации.
Используя
принцип независимости действия сил,
подсчитаем деформацию элемента в
направлении главного напряжения
от каждого напряжения в отдельности и
результаты просуммируем.
Аналогично
определяется относительные деформации
элемента в направлении
и
.
Окончательно получаем обобщенный закон Гука при объемном напряженном
состоянии тела
(14)
Рассмотрим
в случае главных площадок
,
,
- главные деформации.
В общем случае на исходных площадках могут действовать касательные и нормальные напряжения.
Касательные напряжения не оказывают влияния на линейные деформации элемента
(15)
.
Формулы (14) и (15) могут быть использованы
и для плоского напряженного состояния:
=0.
Относительная объемная деформация
Определим относительную объемную деформацию элемента в пределах закона Гука.
Возьмем элемент единичного объема.
Относительная объемная удельная деформация элемента объема, показывает насколько изменяется объем элемента единичного объема.
-
конечный объем
При простом растяжении
ΔL=εL; при L=1 ΔL=ε – абсолютное удлинение = относительной деформации
Пренебрегая малыми второго порядка, подсчитаем относительную объемную деформацию
(16) относительная
объемная деформация
В
ыразим
через
,
,
по
формуле (14)
(17)
П
ри
простом растяжении
=
=0
Относительная (удельная) потенциальная энергия деформации при объемном напряженном состоянии
При простом растяжении (сжатии) относительная потенциальная энергия деформации равна
Относительная потенциальная энергия деформации при объемном напряженном состоянии
выразим
через
,
,
;
Окончательно получим
(18)