Soprotivlenie_materialov / Все лекции Емельянова / Лекция-5+

5

ЛЕКЦИЯ №5

Напряженное состояние в точке

Для того чтобы оценить прочность детали нужно знать напряжение в любой точке этой детали и в любом направлении. Совокупность нормальных и касательных напряжений по всем площадкам, проходящим через данную точку тела, называется напряженным состоянием в точке.

Для исследования напряженного состояния в точке в её окрестности выделяется элементарный параллелепипед бесконечно малых размеров. Напряжённое состояние этого параллелепипеда соответствует напряженному состоянию в точке.

Напряжение в наклонных сечениях растянутого или сжатого стержня

Возьмем растянутый силой Р стержень:

Нормальное напряжение ;

Если F_α – площадь наклонной грани призмы bс, то площадь грани ab

F_AB= F_αcosα

Спроектируем все силы, действующие на треугольную призму на оси n_α и t_α.

Правило знаков

1. Растягивающие нормальные напряжения – положительные, а сжимающие – отрицательные.

2. Касательное напряжение считается положительным, если изображающий его вектор стремится повернуть элемент по стрелке часов, относительно любой точки, лежащей внутри этого элемента.

3. Положительный угол α откладывается от положительного направления оси x до внешней нормали к наклонной площадке против стрелки часов (по правилам тригонометрии).

Вывод из формул (1 – 4)

1. Экстремальные нормальные напряжения действуют в поперечных сечениях стержня

При α=0 =σ

2. Экстремальные касательные напряжения действуют в наклонных сечениях под углом 45º к оси стержня.

При

3. На двух взаимно перпендикулярных площадках элемента сумма нормальных напряжений не меняется.

4. На двух взаимно перпендикулярных площадках элемента, касательные напряжения равные по величине, но противоположны по знаку (по направлению).

закон парности касательных сил

Стрелки сходятся или расходятся

Виды напряженного состояния тела

В теории упругости доказывается, что через точку тела можно провести три взаимно перпендикулярных площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения. Такие площадки называются главными. Нормальные напряжения, действующие на главных площадках, называются главными напряжениями.

Главные напряжения обладают экстремальными свойствами, т.е. одно из них наибольшее, другое наименьшее (по алгебраической величине) из всех нормальных напряжений в данной точке.

По главным напряжениям различают три вида напряженного состояния тела:

1. Линейное (одноосное) н.с.

2. Плоское (двухосное) н.с.

3. Объемное (трехосное) н.с.

Обозначение главных напряжений должно удовлетворять условию

>> =40МПа

=10 МПа

=-80МПа

Линейное напряженное состояние – имеет место при растяжении или сжатии стержня и в отдельных точках стержня при изгибе и сложном сопротивлении.

Плоское напряженное состояние – имеет место в стенках сосудов, резервуаров, в отдельных точках стержня при изгибе и сложном сопротивлении.

Объемное напряженное состояние – имеет место в головках рельс, в объеме подшипников, зубьях колес…

Плоское напряженное состояние

(общий случай)

Выделим в окрестности точки тела находящиеся в плоском напряженном состоянии элементарный параллелепипед. По боковым граням этого элемента будут действовать в общем случае нормальные и касательные напряжения.

Правило знаков для напряжений и угла α остаются прежними. Через верхнее правое ребро проведем ось О₁О. Параллелепипед находится в равновесии. Составим ΣМ всех сил относительно оси О₁О. σ – интенсивность внутренних сил. Равнодействующая сила = σ площадь.

(5)

Спроектируем все силы действующие на треугольную призму на оси .

Обозначим площадь наклонной площадки, - площадь вертикальной площадки, площадь горизонтальной площадки.

Всюду сократим на заменим на на и учтем тригонометрические зависимости

Окончательно получим

(6)

(7)

Пользуясь (6) и (7) определим на наклонной площадке под углом

(8)

(9)