Soprotivlenie_materialov / Все лекции Емельянова / Лекция -9+

7

ЛЕКЦИЯ №9

Изгиб прямых брусьев

Изгиб это такой вид деформации бруса, при котором в поперечных сечениях возникают изгибающие моменты. Простейшим видом изгиба является прямой изгиб. При прямом изгибе внешние нагрузки перпендикулярны продольной оси бруса и располагаются в одной из главных плоскостей инерции. В этой же плоскости располагаются внешние моменты (пары сил).

Если главная плоскость инерции совпадает с плоскостью симметрии бруса, то изгиб называется плоским.

При прямом изгибе продольная ось бруса искривляется в силовой плоскости.

Расчетная схема рассматриваемого бруса.

Прямой изгиб бывает чистый и поперечный.

Если изгибающий момент в поперечном сечении бруса является единственным силовым фактором, то изгиб называется чистым (чистый прямой изгиб).

Если в поперечных сечениях бруса наряду с изгибающим моментом действуют поперечные силы, то изгиб называется поперечным.

Покажем

Брус, работающий на изгиб, называется балкой. Существуют сложные виды изгиба: косой изгиб, изгиб с растяжением–сжатием, изгиб с кручением.

Поперечные силы и изгибающие моменты

При расчетах балок на прочность и жёсткость необходимо знать значение поперечных сил и изгибающих моментов в сечениях.

Поперечные силы, изгибающие моменты определяются методом сечений (правилом РОЗУ). Покажем на конкретном примере. Рассмотрим двух опорную балку загруженной сосредоточенной силой P.

Расстояние между опорами (ℓ) – называется пролётами балки.

1. Прежде всего, определяем реакцию опор балки из уравнений статики для плоской системы сил. Три стержня достаточно для закрепления балки и, таким образом, система будет статически определима.

=

=

Для проверки правильности определения реакций опор используем:

= -P + =0

2. Определяем M и Q в произвольном сечении n-n бруса. Мысленно рассечём брус по сечению n-n и покажем действие одной части (Q) и изгибающим моментом (М). Согласно 3-го закона Ньютона (действие = противодействию).

Значение поперечной силы и изгибающего момента определяются из уравнений равновесия одной из отсеченных частей.

Уравнение равновесия для левой части бруса

-Q(x) = 0 Q(x)==

*x- M(x) =0 =*X =x

Те же самые результаты для Q , М можно получить из рассмотрения уравнений равновесия для правой части балки.

Уравнения равновесия для правой части балки

=Q(x)- P + =0 Q(x)= P- =P- =

M(x)=()-= x.

Результаты совпали.

Выводы

Поперечная сила в произвольном поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме всех сил, расположенных по одну сторону от сечения, на нормаль к оси балки в рассматриваемом сечении.

Правило знаков

Поперечная сила положительна, если равнодействующая внешних сил слева от сечения направлена вверх, а справа от сечения - вниз.

Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения, относительно центра тяжести рассматриваемого сечения (или оси проходящей через центр тяжести)

Правило знаков

Изгибающий момент считается положительным, если равнодействующий момент внешних сил слева от сечения направлен по стрелке часов, а справа от сечения против стрелки часов.

Знак изгибающего момента удобно определять по характеру деформации бруса

Изгибающий момент положителен, если в рассматриваемом сечении растягиваются нижние волокна, и отрицательный, если нижние волокна сжимаются.

Эпюры поперечных сил изгибающих моментов

Эпюра даёт наглядное представление об изменении рассматриваемой величины вдоль оси балки.

Эпюрой Q(M)- называется график ординаты, которого равны значениям поперечных сил (изгибающих моментов) в сечениях балки.

Рассмотрим примеры построения эпюр Q, M.

Пример 1. Построить эпюры Q, M для двух опорной балки, загруженной равномерно распределённой нагрузкой интенсивностью q.

q = const , q-нагрузка на единицу дины.

– ввиду симметрии , qℓ- равнодействующая распределённой нагрузки

Данная балка имеет 1-й участок. Составляем выражение (уравнение) для Q в данном сечении m-m. Рассмотрим левую часть балки.

Q(x)= - qx = - qx - уравнений для Q (линейная функция),

M(x)= x- qx = - уравнений для М (квадр. функция),

Составим таблицу для функций q, Q, M

q, Q, M - порядок функций на одну возрастает.

0, const, линейная,

const, линейная, квадратичная,

линейная, квадратичная, кубическая.

Из полученных уравнений имеем

При x=0 Q= . При x=ℓ Q= - .

М=0 . М=0.

Рисуем эпюры Q и M.

Ординаты положительных поперечных сил откладывается сверху над осью (над базисной линией). Ординаты положительных изгибающих моментов откладывается снизу под осью. (Эпюра М строится со стороны растянутых волокон).

М - квадратичная функция, найдем третью ординату. Исследуем функцию M(x) на экстремум.

= – qx= 0, при x= * - q= ,

Определим углы β и покажем на эпюрах Q и M

tgβ=q , tg=Q.

, = – qx= Q.