12. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ.

При переходе от декартовых координат к полярным в двойном интеграле справедлива формула

,

где , – область изменения переменных , – соответствующая область изменения . Переход к полярным координатам бывает удобен в случаях, когда область является кругом или его частью, или уравнение границы области содержит .

Пример 1. Вычислить .

Решение. Область ограничена линиями , . Преобразуя исходные уравнения, получим уравнение окружности или . Таким образом, область интегрирования – полукруг (рис. 1), поэтому имеет смысл перейти к полярным координатам:

Запишем уравнение окружности и подынтегральную функцию в полярной системе координат:

, , .

Область находится в первой четверти, поэтому .

Итак,

.

Пример 2. Найти массу пластины, ограниченной линиями , содержащей точку с декартовыми координатами , если плотность .

Решение. Построим соответствующую область (рис. 2).

Так как фигура симметрична относительно оси , то вычислим массу фигуры , расположенной в первой координатной четверти.

Тогда масса всей пластины , где

.

Пусть и – точки пересечения окружностей. Вычислим угол , соответствующий точке ,

решив систему уравнений:

, .

В первой координатной четверти , поэтому . Тогда

.

Фигура ограничена линией при и линией при , поэтому двойной интеграл запишем в виде двух повторных интегралов.

Используя формулу, имеем:

.

Таким образом, .

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линией , .

Решение. Так как , то , значит ,. Период функции равен , следовательно, фигура состоит из 5 одинаковых по площади «лепестков» (рис. 3). Поэтому вычислим площадь одного «лепестка», получающегося при .

Учитывая формулу, получим:

.

Следовательно, .

Пример 4. Вычислить , если область (D) ограничена линиями

.

Решение. Область ограничена двумя прямыми и двумя окружностями (рис. 4), поэтому удобно при вычислении интеграла воспользоваться полярными координатами. Запишем уравнения границ в полярных координатах:

;

;

; .

Учитывая, что и , получаем:

.

Двойной интеграл в криволинейной системе координат

При вычислении двойного интеграла в криволинейной системе координат произведем замену переменных удобным для нас способом: , . Тогда справедлива формула

,

где ,

а – область в новой системе координат .

Пример 5. Найти площадь фигуры, ограниченной линией

.

Решение. Перейдем к криволинейным координатам следующим образом:

.

Тогда уравнение линии в новой системе координат примет вид . Таким образом, получили уравнение окружности в плоскости (рис. 5).

Вычислим якобиан .

Тогда, воспользовавшись формулой (2.4), получим:

.

При вычислении интеграла использовали геометрический смысл двойного интеграла.

Пример 6. Найти массу однородной фигуры, ограниченной линиями

.

Решение. Введем криволинейные координаты: .

Заметим, что переменные связаны соотношением .

В новой системе координат фигура ограничена линиями , , , (рис. 6). Вычислим якобиан.

;

Так как фигура однородная, то . По формуле имеем

.

Оглавление

12. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ. 1

Двойной интеграл в криволинейной системе координат 5

Оглавление 8