Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекция 12

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

227.33 Кб

Скачать

☆

Лекция 12. Алгебра матриц.

Матрица и ее частные виды

Рассмотрим прямоугольную таблицу чисел из поля P:

остоящую из m строк и n столбцов. Эту таблицу назовем матрицей размера mхn. Для такой матрицы обычно употребляются следующие обозначения: таблица заключается в круглые скобки () или квадратные [] , или оформляется двойными вертикальными черточками ||||. Краткая запись матрицы A=(a_ij)_m_,_n или A=|| a_ij||_m_,_n. Числа a_ij, из которых составлена матрица, называются ее элементами; первый индекс i указывает номер строки, второй индекс j – номер столбца, на пересечении которых расположен элемент a_ij.

Например,

- вещественная матрица размера 2x3.

- комплексная матрица размера 2x2.

Для матриц одинакового размера устанавливается понятие равенства.

Пусть и

Частные виды матриц

Матрица A₁_xn, состоящая из одной строки, называется строчной матрицей или вектор - строкой. Ее элементы, как правило, снабжены одним индексом : A=(a₁,a₂,,a_n). Число n называют длиной строки.
Матрица, состоящая из одного столбца, называется столбцовой матрицей или вектор - столбцом.

Ее обозначение: . Число n называют высотой столбца.

Матрица, у которой m=n, называется квадратной (или квадратичной) n-го порядка. Ее обозначение: A=(a_ij)_n_,_n. Будем говорить, что в квадратной матрице элементы a₁₁,a₂₂,...,a_nn составляют главную диагональ, а элементы a₁_n,a₂_n_-1,...,a_n₁ – побочную диагональ.

След квадратной матрицы .

Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие над или под главной диагональю, равны нулю, называется треугольной.

или .

Матрица вида

называется усеченно-треугольной.

Общее название матриц вида 4-5 - ступенчатые.

Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Ее обозначение: A=[a₁₁,a₂₂,...,a_nn].
Диагональная матрица, у которой все элементы a_ii=1, i=1,2,...,n, называется единичной. Будем обозначать ее буквой Е. Иногда для записи элементов единичной матрицы используется символ Кронекера:

При помощи кронекеровской дельты единичную матрицу можно записать кратко так:

Матрица любых размеров, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и будем обозначать ее буквой .

Операции над матрицами.

Сложение матриц.

Операция сложения вводится только для матриц одинаковых размеров.

Пусть ; .

Легко проверить следующие свойства сложения:

1⁰. A+B=B+A (коммутативность).

2⁰. (A+B)+C=A+(B+C) (ассоциативность).

3⁰. A+=A.

4⁰. A+(-A)=, где –A=(-a_ij)_m_,_n – матрица, противоположная матрице A=(a_ij)_m_,_n.

Замечание. Нетрудно видеть, что по сложению множество всех матриц размера mxn над числовым полем P является абелевой группой. Отсюда определяется для матриц размера mxn операция вычитания как операция обратная сложению. Разность A-B=(a_ij-b_ij)_m_,_n.

Умножение матрицы на число.

Пусть ; P.

Например,

Легко проверить следующие свойства:

1⁰. .

2⁰. P (ассоциативность относительно умножения чисел).

3⁰. P (дистрибутивность умножения на число относительно сложения матриц).

4⁰. P (дистрибутивность умножения относительно сложения чисел).

Умножение матриц.

Пусть ; .

Произведением матрицы A на матрицу B называется матрица такая, что: .

Произведение матрицы A на матрицу B обозначается AB.

И з определения следует, что элементы матрицы, стоящие в i-й строке и j-м столбце, равны сумме попарных произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B (рис 33).

Рис. 33

Замечание. Умножение матриц вводится только для матриц размеров, изображенных на схеме:

Правило умножения матриц называется правилом умножения «строки на столбец». Например:

Вопрос: можно ли эти матрицы перемножить в обратном порядке?

Свойства умножения

1⁰ . ABBA Например,

Замечание. Если AB=BA , то матрицы A и B называются перестановочными (или коммутативными).

2⁰. (ассоциативность).

3⁰. P (ассоциативность относительно числового множителя).

4⁰. .

Умножение произвольной квадратичной матрицы A n-го порядка на единичную матрицу равносильно умножению A на единицу.

5⁰. , (дистрибутивность).

Проверим свойство 2⁰: .

Пусть , , .

Введем обозначения , .

Тогда

(12.1)

Положив t=s, l=k, получим (12.2)

В (12.1) и (12.2) суммы отличаются только порядком суммирования. На основании свойств конечных сумм

Свойство доказано. В справедливости остальных свойств убедитесь самостоятельно.

Замечание. Множество всех квадратичных матриц n-го порядка (n2) над числовым полем P относительно операций сложения и умножения образует некоммутативное кольцо с единицей и с делителями нуля. Говорят, две ненулевые матрицы являются делителями нуля, если их произведение равно нулевой матрице. Например:

Целая положительная степень матрицы.

Целой положительной степенью A^k (k>1) квадратной матрицы А называется произведение k матриц, каждая из которых равна A, т.е.

Очевидно, что матрица A^k имеет тот же порядок, что и A. За нулевую степень A⁰ матрицы принимается единичная матрица E того же порядка, что и A, т.е. A⁰=E. За первую степень A¹ матрицы A принимают саму матрицу A, т.е. A¹=A. Проверить, что A^kA^m=A^k⁺^m, (A^k)^m=A^km.

Многочленом (полиномом) степени k (k- целое неотрицательное число) от матрицы А называется выражение вида :

, где P.

Из определения следует, что многочлен от матрицы может быть получен, если в обычный многочлен

вместо x подставить квадратную матрицу A.

Транспонирование матрицы

Транспонированием матрицы называется замена строк этой

матрицы ее столбцами с сохранением их номеров.

Матрица, полученная таким образом из матрицы A=(a_ij)_m_,_n, называется транспонированной по отношению к матрице A и обозначается A^Т=(a_ij^Т)_n_,_m.

Согласно определению,.

Например, если:, то .

Очевидно, что для матрицы –строки транспонированной будет матрица-столбец и наоборот.

Может оказаться, что квадратная матрица A совпадает со своей транспонированной матрицей, т.е. A=A^Т или a_ij₌a_ji. В этом случае матрица A называется симметричной.

Например, - симметричная матрица.