
Математика ЗО от Белоусовой / Алгебра и геометрия и ТДУ / Лекции по АГиТДУ / Лекция 11
.docЛекция 11. Кольцо многочленов. Свойства конечных сумм
Сумму конечного числа слагаемых коротко
можно обозначить символом ,
т.е.
(i называется индексом
суммирования или немым индексом).
Свойство 1. Сумма не зависит от обозначения немого индекса, т.е.
.
Свойство 2.(Однородность)
(множитель, стоящий под знаком и не зависящий от индекса суммирования можно вынести за знак ).
Свойство 3. (Аддитивность)
.
Свойство 4.
.
При суммировании по двум индексам можно изменить порядок суммирования.
Пусть задано произвольное числовое
поле
.
Рассмотрим множество многочленов, т.е.
функций вида
зависящих от аргумента
,
принимающего значения из поля
,
и имеющих коэффициенты
.
Будем считать многочлен
многочленом степени n,
если
,
и обозначать
.
Единственным многочленом , не имеющим
определенной степени, является многочлен,
у которого все коэффициенты равны нулю.
Мы будем называть его нулевым
многочленом и обозначать символом 0.
Равенство многочленов
Пусть
.
.
Это определение равенства многочленов – формально-алгебраическое.
На многочлены можно смотреть, как на функции.
С этой точки зрения дадим второе определение равенства многочленов:
.
Эти определения эквивалентны.
Определим для многочленов операции сложения и умножения.
Пусть
и
предположим для определенности, что
.
Тогда
т.е. коэффициенты
есть сумма произведений тех коэффициентов
многочленов
и
,
сумма индексов которых равна k.
Например,
;
;
и
т.д.
Частным случаем произведения многочленов
является произведение
многочлена
на число , так как
ненулевое число можно рассматривать
как многочлен нулевой степени.
Множество многочленов с введенными
выше операциями представляет собой
коммутативное кольцо. (Проверить все
аксиомы кольца самим!) Кольцо многочленов
будем обозначать
.
Но
не является полем, так как для умножения
многочленов обратная операция – деление
– не существует.
Заметим, что в
существует единица, ее роль играет
нулевой многочлен
.
В этом отношении кольцо многочленов напоминает кольцо целых чисел. Эта аналогия проявляется и в том, что для многочленов, как и для целых чисел, имеет место алгоритм деления с остатком (алгоритм Евклида).
Теорема (об алгоритме Евклида)
Для любых многочленов
и
,
nm,
можно найти единственные многочлены
и
,
такие, что
,
причем степень
меньше степени
или же
;
– называется остатком.
Проиллюстрируем алгоритм Евклида на конкретном примере:
Т.о. для двух многочленов
и
(применяя
указанный алгоритм) указали два многочлена
и
таких,
что
.
(Проверить справедливость равенства
самостоятельно).
Теорема Безу
При делении многочлена
степени
(n1)
на разность z-a
получается остаток, равный
.
Доказательство. При делении
многочлена на многочлен первой степени,
получается остаток r-
многочлен, степень, которого меньше 1,
т.е. многочлен нулевой степени (число).
По предыдущей теореме имеем равенство
,
которое верно для любого z,
в частности, и для z=a,
т.е.
.
Определение. Корнем многочлена (ненулевой степени) называется такое значение z, при котором многочлен обращается в ноль.
Следствие из теоремы Безу.
(
делится на
)
(
-
корень
),
т.е. имеет место равенство
.
Замечание. Равенство
,
называется алгебраическим уравнением
степени n. Корень многочлена
есть корень уравнения
.
Естественно возникает вопрос: всякое ли алгебраическое уравнение степени n>0 имеет корни? Ответ на этот вопрос дает основная теорема алгебры.
Теорема Гаусса
(дается без доказательства)
Всякое алгебраическое уравнение степени n>0 над полем С комплексных чисел имеет хотя бы один корень.
Следствия из основной теоремы.
Теорема (о разложении многочлена на линейные множители)
Всякий многочлен степени n>0 над полем C может быть разложен на линейные множители. Это разложение единственное с точностью до перестановки сомножителей местами.
Доказательство. Множитель
степени n1
над полем C (т.е.
с комплексными коэффициентами) имеет
хотя бы один корень
.
Поэтому имеет место разложение:
,
где
-
многочлен степени (n-1).
Этот многочлен над полем C
имеет хотя бы один корень
(если n2)
и
,
откуда следует, что
.
Продолжая этот процесс, мы получим
разложение многочлена в произведение
линейных множителей
.
Среди чисел
могут
быть равные между собой числа. Предположим
для простоты, что
попарно
различны, а каждое из чисел
равно
одному из первых. Тогда многочлен можно
записать в таком виде:
,
где
при
и
.
Это разложение называется каноническим
разложением многочлена
на
множители.
Если
в каноническом разложении f(z),
то корень
называется
простым; если же
,
то корень
называется кратным. Число
называется кратностью корня
.
Теперь мы можем сделать весьма важный вывод:
любой многочлен степени n>0 над полем С имеет n корней, если каждый из корней считать столько раз, какова его кратность.
Например,
;
;
;
.
Разложение многочлена над полем R
Лемма. Если
с действительными коэффициентами имеет
комплексный корень
,
то
является также корнем
;
т.е.
.
Пусть
.
Тогда
.
Найдем значение
.
.
Здесь были применены свойства комплексно-сопряженных чисел:
,
,
если
R.
Из этой леммы следует, что в разложение
многочлена с вещественными коэффициентами
комплексные корни входят попарно
сопряженными. Перемножив линейные
множители, соответствующие паре
комплексно-сопряженных корней
,
получим квадратный трехчлен вида
с вещественными коэффициентами, т.к.
R,
.
После обозначения
;
квадратный трехчлен примет вид
,
R.
Имеет место следующая теорема.
Теорема (о разложении многочлена над полем R)
Многочлен с вещественными коэффициентами степени n2 может быть разложен на вещественные множители первой и второй степени соответствующей кратности. Это разложение единственное с точностью до перестановки множителей местами.
,
при этом
.
Например,,
,
.