Математика ЗО от Белоусовой / Алгебра и геометрия и ТДУ / Лекции по АГиТДУ / Лекция 10
.docЛекция 10. Теория комплексных чисел.
Комплексные числа были введены в связи
со следующей задачей. Известно, что
действительных чисел недостаточно для
того, чтобы решить любое квадратное
уравнение. Простейшее из квадратных
уравнений, не имеющих корней среди
действительных чисел, есть уравнение
.
Возникла задача: расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой указанное уравнение имеет решение.
Покажем, что среди комплексных чисел есть число, квадрат которого равен -1. Это будет, например, число (0,1). Действительно, (0,1)(0,1)=(-1,0)= -1.
Комплексное число (0,1) называется мнимой единицей и обозначается j (или i). Итак, j=(0,1) – мнимая единица.
Комплексное число z=(x,y) имеет три формы записи.
Алгебраическая форма комплексного числа
.
-
алгебраическая форма комплексного
числа.
Координатную плоскость хОу, точки которой отождествлены с комплексными числами, будем называть комплексной плоскостью. Ох – вещественная ось, служит для изображения действительной части комплексных чисел. Оу – мнимая ось, служит для изображения мнимой части числа.
Комплексно-сопряженные числа
Комплексные числа
называются комплексно сопря-женными.
Геометрическая интерпретация:
комплексно-сопряженные числа
и
отождествляются с точками (х,у) и (х,-у),
симметричными относительно оси Ох.
Свойства комплексно-сопряженных чисел:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
(Проверить!)
Операции над комплексными числами в алгебраической форме.
1.
.
При сложении (вычитании) комплексных чисел складывают (вычитаются) их вещественные и мнимые части соответственно.
2. Учитывая, что
:
Итак, комплексные числа умножаются по правилу умножения многочленов, т.е. почленно.
3.
Итак, при делении
на
числитель и знаменатель умножают на
число
.
Тригонометрическая форма комплексного числа
,
где
- модуль числа z,
- аргумент числа z,
т.е. любое решение системы уравнений
и обозначается символом
.
Модуль комплексного числа есть
число неотрицательное и определяется
однозначно.
Аргумент комплексного числа
,
определяемый только в радианах,
имеет бесконечное множество своих
значений.
Они отличаются друг от друга на числа,
кратные
,
и только одно значение (обозначим его
)
удовлетворяет условию:
.
Его будем называть главным значением
аргумента числа z.
Множество всех значений аргумента z
можно записать так:
.
Если
0,
то очевидны следующие равенства
(рис. 31)
Г
еометрическая
интерпретация модуля и аргумента числа
z
Если число
изображается точкой М(х,у) на координатной
плоскости Оху (рис. 28), то |z|
- длина радиус-вектора
точки М, а
- угол между осью Ох и этим радиус-вектором.
Пример. Представить число z= -1+j в тригонометрической форме.
.
Ответ:
.
Пример. Представить число –j в тригонометрической форме.
.
Ответ:
.
Операции над комплексными числами в тригонометрической форме
-
Умножение комплексных чисел.
Итак, при умножении комплексных чисел
их модули перемножаются, т.е.
,
а аргументы складываются, т.е.
.
-
Деление комплексных чисел.
При делении комплексных чисел
на
(
0)
модули их делятся, т.е.
,
а аргументы вычитаются, т.е.
.
(Проверить!).
3. Возведение комплексного числа в целую положительную степень
- n-я степень числа z.
Если
,
то
.
При
равенство примет вид:
.
Эта формула носит название формулы Муавра.
4. Извлечение корня
Число w называется корнем
степени
из числа z, если
.
Используется обозначение
.
Если положить
,
где
и
,
то равенство
примет вид:
.
Зная, что модули равных чисел равны
между собой, а аргументы отличаются
друг от друга на число, кратное 2,
имеем два равенства:
и
(корень
арифметический),
.
Итак,
.
Формула определяет бесконечное множество значений корня n-ой степени из z. И только n из них различные.
П
олагая
k=0,1,2,…,n-1,
получаем n различных
значений корня
.
Геометрическая интерпретация
- различные значения корня
- вершины правильного n-угольника,
вписанного в окружность с центром в
начале координат и радиусом
.
Пример
Показательная форма комплексного числа
Действие возведения числа е (неперово
число) в комплексную степень z=x+yj
определяется равенством
(10.1).
Это определение может показаться
искусственным. Заметим в его оправдание,
что при у=0, т.е.
,
степень
сводится к обычной степени
,
а также комплексная степень числа е
сохраняет свойства вещественных
степеней:
1.
;
2.
.
(Проверить!)
Комплексная степень
обладает также и новыми свойствами,
отсутствующими у действительных
степеней.
Например, свойство периодичности.
Докажем, что
.
Действительно,
.
Отсюда следует периодичность комплексной
степени
;
- ее периоды,
.
Полагая в формуле (10.1) х=0,
,
получим
.
Это равенство носит название формулы Эйлера (Эйлер – немецкий математик, академик Российской Академии наук).
Пользуясь формулой Эйлера, можно
представить комплексное число z
в виде
.
Итак,
- показательная форма комплексного
числа.
Пример
