Математика ЗО от Белоусовой / Алгебра и геометрия и ТДУ / Лекции по АГиТДУ / Лекция 4

Лекция 4. Двойные произведения трех векторов

Из трех векторов можно составить только три типа произведений:

1). Двойное скалярное произведение (простейшее).

Можно перемножить два вектора и скалярно и полученный скаляр умножить на третий вектор . В результате получится вектор , называемый простейшим (или двойным скалярным) произведением трех векторов.

2. Двойное векторное произведение.

Можно перемножить два вектора и векторно и полученный вектор умножить тоже векторно на третий вектор . В результате получится вектор , называемый двойным векторным произведением трех векторов.

2. Смешанное произведение.

Можно перемножить два вектора и векторно и полученный вектор умножить скалярно на третий вектор . В результате получится скаляр (число) , называемый смешанным (векторно - скалярным произведением) трех векторов.

Этими тремя произведениями и исчерпываются все типы произведений трех векторов.

Изучим их подробно и установим два замечательных факта. Во-первых, мы покажем, что двойное векторное произведение можно представить через двойные скалярные произведения перемножаемых векторов.

Во-вторых, мы покажем, что смешанное произведение выражается через попарные скалярные произведения своих множителей.

1. Двойное скалярное (простейшее) произведение трех векторов по нашему определению получается умножением скалярного произведения двух векторов на третий вектор : . Мы видим, что в результате получается вектор, коллинеарный с третьим вектором .

Из этого свойства, в общем виде, вытекает неравенство , (которое заменится равенством лишь в том особом случае, когда векторы и коллинеарны). Итак, в общем случае, простейшее произведение трех векторов не подчиняется закону ассоциативности.

Этими двумя замечаниями исчерпываются все особенности простей-шего произведения трех векторов, которые полезно иметь в виду. Во всем остальном, так как простейшее произведение есть ничто иное как произве-дение вектора на скаляр, то оно подчиняется законам этого произведения.

2. Двойное векторное произведение трех векторов.

- вектор. Имеет место неравенство:.

Действительно, например:

,

.

Теорема. Двойное векторное произведение векторов , , есть линейная комбинация векторов, стоящих в скобках этого произведения.

Доказательство

Рассмотрим вектор . Вектор . Отсюда следует, что вектор принадлежит плоскости векторов и и может быть разложен по этим векторам, т.е. .

Найдем коэффициенты  и . Для этого введем прямоугольную декартову систему координат Oxyz так, чтобы ось Ох пошла по вектору , плоскость Oxy совпала с плоскостью векторов и (рис. 3). Тогда

Рис. 3

Выразим теперь в координатной форме :

,

.

Преобразуем правую часть полученного равенства:

Но,

следовательно,

Аналогично можно доказать, что .

3. Смешанное произведение трех векторов.

Смешанное произведение трех векторов , , есть число (скаляр), которое получается в результате скалярного умножения векторного произведения векторов и на третий вектор .

В

(4.1)

ыясним его геометрический смысл. Пусть тогда обозначив , получим

Чтобы истолковать полученный результат, построим на векторах , , параллелепипед, основанием которого будем считать параллелограмм со сторонами и . Площадь этого основания равна . Обозначим через Н высоту параллелепипеда, опущенную на это основание. Тогда объем V параллелепипеда определим по известной из школы формуле .

Теперь нам придется различать два случая.

В первом случае, когда перемножаемые векторы , , образуют правую систему (рис. 4), тогда угол , угол между векторами и , будет острый и . Формула (4.1) примет вид: .

Таким образом, смешанное произведение векторов, образующих правую тройку, равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Во втором случае, когда перемножаемые векторы , , образуют левую тройку векторов (рис.5), тогда и формула (4.1) примет вид: .

Таким образом, смешанное произведение трех векторов, образующих левую тройку векторов, отличается только знаком от объема параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах.

Итак, , причем знак «+» получается, когда перемножаемые векторы образуют правую тройку, и знак «-», когда их тройка левая.

Отсюда следует, что объем параллелепипеда, построенного на трех векторах, всегда равен абсолютной величине их векторно-скалярного произведения:

.

В этом и состоит геометрический смысл смешанного проведения трех векторов.

Алгебраические свойства смешанного произведения

1. Свойство ассоциативности.

Смешанное произведение трех векторов не зависит от группировки его сомножителей, т.е. .

Действительно, оба эти произведения имеют одинаковые абсолютные величины, равные объему параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах , , (если эти векторы отличны от нуля).

Знаки этих произведений также совпадают, так как, если система (, , ) – правая, то и (,,) – правая (проверить самостоятельно). Следовательно, оба произведения и равны.

На основании свойства ассоциативности в смешанном произведении можно опускать знаки векторного и скалярного умножения и записывать

или (, , ).

Итак, .

2. Свойство цикличности (круговой переместительности).

Так как знак векторного умножения можно поставить между любой парой соседних множителей смешанного произведения трех векторов, то перестановка этих множителей изменит только знак. На основании этого последовательно получим .

Чтобы сформулировать полученное свойство, отметим на окружности три точки, которые обозначим, как множители, буквами a,b,c. Будем считать положительным обход окружности в направлении abca (рис. 6). Мы видим, что при перестановке множителей, не нарушающей их кругового порядка, смешанное произведение не меняется, при перестановке же множителей, нарушающей круговой порядок, смешанное произведение трех векторов , , меняет только свой знак.

3. Свойство однородности.

Числовой множитель можно выносить за знак смешанного произведения, т.е.

.

4. Свойство дистрибутивности.

Векторно-скалярное умножение суммы векторов на два других вектора можно выполнить почленно, т.е. .

Это свойство не нуждается в доказательстве, так как оно непосредственно вытекает из свойства дистрибутивности скалярного и векторного произведений двух векторов.

Замечание. Однородность и дистрибутивность выполняется не только относительно первого множителя произведения.

5. Критерий компланарности трех векторов.

(, , - компланарны).

Доказательство следует непосредственно из определения.

Смешанное произведение в координатной форме

Пусть векторы , , разложены по ортам , т.е.

Согласно представлению в координатной форме, имеем

.

Следовательно, , или, окончательно, .

Пример. Пусть Найти .

Решение

.

Знак минус в ответе указывает на то, что векторы , , составляют левую тройку.

Объем параллелепипеда, построенного на указанных векторах, равен V=13.