Математика ЗО от Белоусовой / Алгебра и геометрия и ТДУ / Лекции по АГиТДУ / Лекция 5

Лекция 5. Элементы аналитической геометрии в R³.

Рассмотрим один из важнейших вопросов аналитической геометрии – вопрос об аналитическом представлении линии на плоскости и поверхности и линии в пространстве при помощи уравнений.

В связи с аналитическим представлением перечисленных геометрических фигур возникают задачи двух типов.

Задачи первого типа заключаются в изучении геометрических свойств фигуры при помощи заранее данного уравнения этой фигуры.

Задачи второго типа заключаются в выводе уравнений фигуры, заранее заданной геометрически (например, фигуры, заданной как множество точек, удовлетворяющих некоторым условиям).

Понятие об уравнениях линий и поверхностей в пространстве R³

Начнем со следующего простого примера. Пусть в пространстве R³ задана прямоугольная система координат Oxyz. Рассмотрим сферу радиуса r, центр которой находится в точке О с координатами (x₀,y₀,z₀). Сфера – множество точек, отстоящих от центра на одно и то же расстояние r (это геометрическое определение сферы). Обозначив через x,y,z координаты произвольной (текущей) точки М и выразив через них равенство , получим уравнение сферы Возводя в квадрат обе части равенства (5.1), мы придадим ему более удобную форму .

Очевидно, что это соотношение выполнено для всех точек сферы и только для них, и, следовательно, его можно рассматривать как запись определения сферы при помощи координат.

Определим теперь, что следует вообще понимать под уравнением некоторой поверхности.

Определение. Пусть задана система координат Oxyz. Равенство F(x,y,z)=0 называется уравнением поверхности () в данной системе, если координаты всех точек поверхности () удовлетворяют этому равенству, а координаты точек, не лежащих на (), ему не удовлетворяют.

Принято говорить, что уравнение F(x,y,z)=0 определяет поверхность.

Если система координат выбрана, то каждая поверхность имеет уравнение.

Чтобы его составить, необходимо, пользуясь геометрическим определением поверхности связать координаты произвольной точки поверхности равенством.

Разумеется, в какой-нибудь другой системе координат та же поверхность имеет другое уравнение.

Пусть в некоторой системе координат поверхности (S) и () имеют уравнения F(x,y,z)=0 и Ф(x,y,z)=0. Тогда координаты точки их пересечения удовлетворяют системе уравнений F(x,y,z)=0, Ф(x,y,z)=0. Действительно, пересечение поверхностей – это множество точек, принадлежащих как одной, так и другой поверхности, и координаты точек пересечения поверхностей, следовательно, удовлетворяют обоим уравнениям. Отсюда следует, что линии в пространстве определяются, вообще говоря, системами из двух уравнений с тремя неизвестными (переменными), поскольку каждую линию можно представить как пересечение их поверхностей.

Существует еще способ задать линию в пространстве при помощи уравнений. Представим, что линия – это траектория движущейся точки. В каждый момент времени t нам известно положение точки, т.е. ее координаты относительно выбранной заранее системы координат. Это означает, что координаты точки (x,y,z) линии являются функциями времени: x=x(t), y=y(t), z=z(t), tT.

Здесь несущественно, что переменная величина t имеет физический смысл времени. Если мы зададим координаты точки как функции от какой-нибудь переменной величины, или, как говорят, параметра, мы тем самым зададим линию. Уравнения вида

,

называются параметрическими уравнениями линии в пространстве R³.

Например, система уравнений

задает окружность радиуса r с центром в начале координат, расположенную в плоскости Oxy.

Итак, в пространстве Oxyz линию можно задать (описывать) либо двумя уравнениями с тремя неизвестными, либо тремя уравнениями с 4 неизвестными.

Уравнение плоскости

П

Рис. 7

усть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат Oxyz, некоторая плоскость (), М₀(x₀,y₀,z₀) – фиксированная точка на плоскости (), М(x,y,z) – текущая точка пространства, - нормальный вектор плос-кости (), т.е. ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости (). Положим и (рис. 7)

Тогда .

Получим уравнение плоскости () в векторной форме: , где .

Переходя к координатной форме, получим

- уравнение плоскости, прохо-дящей через точку М₀(х₀, y₀, z₀) и перпендикулярной вектору =(А, В, С). Это уравнение назовем нормальным уравнением плоскости. Раскрыв скобки и приняв , придем к уравнению плоскости в виде - общее уравнение плоскости.

Таким образом, справедлива теорема (об уравнении плоскости).

В прямоугольной системе координат всякая плоскость описывается линейным уравнением первой степени (первого порядка).

Имеет место и обратная теорема.

Линейное уравнение (уравнение первого порядка) относительно трех неизвестных (А²+В²+С²0) задает плоскость с нормальным вектором , проходящую через точку (x₀,y₀,z₀) такую, что .

Исследование общего уравнения плоскости

.

1. D=0, означает, что плоскость проходит через начало координат.

2. А=0, , – плоскость параллельна оси Ох.

3. А=В=0, – плоскость параллельна плоскости Оху.

4. А=D=0, – плоскость проходит через ось Ох.

5. А=В=D=0, Z=0 – плоскость Оху.

Уравнения 1-5 неполные.

6. А0, В0, С0, D0. Уравнение делим на (-D) и записываем в виде: . Полагая , получаем уравнение плоскости «в отрезках»: .

Плоскость отсекает на координатных осях Ох, Оу, Oz отрезки a,b,c соответственно.

7. Уравнение плоскости, проходящей через три точки М₁(х₁,у₁,z₁), М₂(х₂,у₂,z₂), М₃(х₃,у₃,z₃), не лежащие на одной прямой:

.

В

Рис. 8

ывести это уравнение самостоятельно.

Уравнения прямой в пространстве R³

1. Прямую в пространстве можно представить как линию пересечения двух различных плоскостей. Следовательно, в Охуz прямую можно описать системой двух линейных уравнений вида:

(5.2)

- общие уравнения прямой,

причем коэффициенты при неизвестных в уравнениях не пропорциональны.

Замечание. Уравнения системы (5.2), описывающие заданную прямую, определяются неоднозначно. Можно провести пучок плоскостей, проходящих через эту прямую, и любая пара плоскостей из них будет задавать однозначную прямую.

2. Пусть задана прямая (l) в Охуz.

М₀(x₀,y₀,z₀)(l), М(x,y,z)R³, направляющий вектор прямой (l). , . (рис. 8)

Точка М(l)

- векторно-параметрическое уравнение прямой.

В координатной форме имеем:

Рис. 8

- параметрические уравнения прямой.

Из условия коллинеарности векторов можно получить другой вид уравнений прямой:

- канонические уравнения прямой.

Нетрудно убедиться, что от параметрических уравнений можно перей-ти к каноническим (исключив t) и, наоборот, от канонических уравнений прямой перейти к параметрическим (приравняв эти отношения к t).

Переход от общих уравнений прямой к параметрическим (или каноническим) уравнениям

- общие уравнения прямой.

Пусть, например, .

Тогда, придавая, например, z некоторое значение z₀, найдем из системы двух линейных уравнений

- единственные значения для х и у.

Пусть х=х₀, у=у₀. Далее, в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор , где .

П

(5.3)

ример: - общее уравнение прямой.

Чтобы перейти от общих уравнений прямой к параметрическим, найдем координаты и М₀. .

Для определения координат любой фиксированной точки М₀ на прямой найдем любое частное решение системы (5.3).

Например, пусть z=2, тогда система

имеет единственное решение х=3, у=3.

Итак, х=3+2t, у=3+7t, z=2+3t – параметрические уравнения прямой (5.3) или - канонические уравнения прямой (5.3).