Математика ЗО от Белоусовой / Алгебра и геометрия и ТДУ / Лекции по АГиТДУ / Лекция 9

Лекция 9. Понятие алгебраической структуры. Поле комплексных чисел.

Алгебраическая операция

Определение. Пусть дано некоторое множество . Будем говорить, что на множестве М определена n-арная алгебраическая операция, если указан закон (правило), по которому любой упорядоченной системе n элементов из М ставится в соответствие один и только один элемент из множества М.

Иными словами n-арная операция есть функция, отображающая множество в множество М: , где - п-я декартова степень множества М. Напомним, что элементами являются упорядоченные системы n элементов из множества М, т.е. , где .

Если n=1, то операция называется унарной; если n=2 – бинарной.

Алгебраическую операцию на множестве М обозначают каким-нибудь специальным символом: *, о, , +, - и т.п.

Примеры алгебраических операций:

1. N – множество натуральных чисел; операция сложения на N является бинарной алгебраической операцией, т.к. она декартов квадрат отображает в N.

На множестве N операция умножения также есть бинарная алгебраическая операция. Операция вычитания не является алгебраической операцией на N (почему?).

2. На множестве целых чисел Z алгебраическими (бинарными) операциями являются операции сложения, вычитания, умножения.

3. Вопрос: какие из четырех арифметических операций являются алгебраическими на множестве действительных чисел R?

4. На множестве геометрических векторов V операции – сложение, вычитание, векторное умножение являются бинарными алгебраическими операциями; умножение вектора на число – унарной алгебраической операцией; скалярное умножение не является алгебраической операцией (почему?)

Операция на множестве М называется коммутативной, если . Операция называется ассоциативной, если .

Пример. Операция векторного умножения на множестве V геометрических векторов ассоциативна, но некоммутативна. Операция сложения на V является и ассоциативной, и коммутативной; операция вычитания на этом же множестве – неассоциативная и некоммутативная операция.

Алгебраическая структура (алгебра)

Определение. Алгебраическая структура (или алгебра) – система, состоящая из множества элементов М и операций , определенных на М. Употребляют обозначение: .

Пример. <Z;+,> - алгебраическая структура, состоящая из элементов множества целых чисел Z и операций сложения и умножения над этими числами.

На множестве М может быть задано, вообще говоря, много разных операций. Желая выделить одну из них, используют скобки <M;> и говорят, что операция определяет на М алгебраическую структуру (алгебру).

Начнем с рассмотрения самых простых алгебраических структур (алгебр), но очень важных, которые нашли большое применение в физике элементарных частиц, в теории автоматов и полуавтоматов и в других теориях.

Группоид – алгебраическая структура, определяемая одной бинарной операцией.

Полугруппа – группоид, операция которого ассоциативна, т.е.

.

Примеры полугрупп:

<N;+>, <V; x>

Группа – группоид <G;>, операция которого удовлетворяет следующим условиям (аксиомам):

1. (ассоциативность)

2.,

e называется нейтральным элементом.

3. ,

называется обратным элементом.

Примеры групп: <Z;+>, <V;+>.

Некоторая терминология относительно групп.

Групповая операция чаще всего называется умножением и вместо ab используется запись ab и группу тогда называют мультипликативной. Ее нейтральный элемент е называют единицей и обозначают 1.

Существование обратного элемента в мультипликативной группе, т.е. разрешимость уравнения для любого элемента gG, позволяет ввести операцию деления, обратную операции умножения. Частное есть произведение элементов b и решения уравнения ax=1.

Если групповая операция коммутативна, то группа называется коммутативной или абелевой (по имени норвежского математика Абеля (1802-1829), впервые изучавшего эти группы).

Для изучения абелевых групп, как правило, используют аддитивную запись. Групповая операция называется сложением, ее результат записывают как a+b, а группу с операцией сложения при этом называют аддитивной. Нейтральный элемент называют нулем и обозначают 0, а вместо обратного элемента говорят о противоположном элементе и обозначают его (-g) для элемента g.

В случае аддитивной группы обратную операцию сложения называют вычитанием. Разность a-b есть сумма а и решения уравнения b+x=0.

Кольцо

Кольцо – алгебраическая структура К с двумя бинарными операциями, одна из которых называется сложением, другая – умножением, при этом должны выполняться следующие условия:

1. <K; +> - абелева группа;

2. <K; > - полугруппа;

3. операции сложения и умножения связаны законами (аксиомами) дистрибутивности, т.е.

Задание. Перечислить все аксиомы кольца.

Примеры колец.

1. Z,Q,R – числовые кольца;

2. Р[x] – кольцо многочленов от неизвестного х с действительными коэффициентами.

3. Множество функций, определенных на R, с операциями сложения и умножения.

Кольцо называется коммутативным, если операция умножения коммутативна.

Поле

Коммутативное кольцо Р, в котором есть единица и любой ненулевой элемент имеет обратный, называется полем.

Перечислим аксиомы поля:

А. Аксиомы сложения.

1

2

3

4 .

Б. Аксиомы умножения:

5

6

7

8

В. 9.

Бесконечные поля называются числовыми, а их элементы – числами.

Примеры числовых полей:

1. поле рациональных чисел;

2. поле действительных чисел.

Рассмотрим еще один пример числового поля.

Поле комплексных чисел

Определение. Назовем комплексным числом упорядоченную пару действительных чисел, т.е. если то (х,у) – комплексное число. Обозначим его буквой z. Итак, .

х называется действительной (вещественной) частью комплексного числа z и обозначается , у – мнимой частью числа z и обозначается .

Геометрическая интерпретация комплексного числа z

В прямоугольной (декартовой) системе координат на плоскости Оху число z изображается точкой М(х,у) или ее радиус-вектором (рис. 28).

Множество всех комплексных чисел С – это просто .

Равенство комплексных чисел

Пусть и Введем следующие операции над комплексными числами:

Сложение

Пусть и .

Суммой назовем комплексное число z=(х,у), для которого и . Иными словами при сложении комплексных чисел складываются соответственно вещественные и мнимые части слагаемых чисел .

Геометрическая интерпретация сложения: комплексные числа складываются по правилу сложения геометрических векторов (рис. 29).

Умножение комплексных чисел

Произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число

.

Задание. Проверить, что операции сложения и умножения комплексных чисел коммутативны, ассоциативны, дистрибутивны.

Рассмотрим вопрос об обратных операциях.

Вычитание как обратная операция сложению.

Разностью и будет такое число z=(x,y), что ,

т.е. ,

т.е. .

Геометрическая интерпретация

Вычтем векторы, изображающие комплексные числа и , и вектор-разность приложим к началу координат (рис. 30).

Нулем является число 0=(0,0).

Числом (-z), противоположным числу z=(x,y), будет число (-x,-y).

Деление как операция обратная умножению

Частным от деления числа на число должно быть такое число z=(x,y), что . Отсюда

.

Т.к. , то эта система совместна и определена.

Итак, .

Полагая здесь , получим, что единицей при таком умножении чисел служит число 1=(1;0).

Далее, обратным числом для z=(x,y) является число . (Проверить!)

Резюме. Построенная таким образом алгебраическая структура комплексных чисел является полем. Итак, <C, +, > - поле. Нетрудно проверить, что поле комплексных чисел является «расширением» поля действительных чисел. Действительно, действительное число х можно представить как упорядоченную пару (х,0). Применение формул сложения и умножения комплексных чисел дает

- действительное число; - действительное число.