Математика ЗО от Белоусовой / Алгебра и геометрия и ТДУ / Лекции по АГиТДУ / Лекция 14

Лекция 14. Метод Гаусса

Решение линейных систем общего вида методом Гаусса

Основная терминология.

(14.1)

Система (14.1) – система m линейных уравнений с n неизвестными над числовым полем . В матричном виде СЛУ (14.1) будет представлять, где - основная матрица СЛУ,

- столбец неизвестных СЛУ,

- столбец свободных членов СЛУ.

Кроме основной матрицы системы (14.1), рассматривают еще расширенную матрицу , полученную из приписыванием к ней справа столбца свободных членов.

Система (14.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; в противном случае система называется несовместной.

Совместная система (14.1) называется определенной, если она имеет только одно решение; в противном случае она называется неопределенной.

Две линейные системы называются эквивалентными, если они либо обе несовместны, либо совместны и имеют одни и те же решения. Факт эквивалентности систем будет записывать через символ ~.

Элементарные (эквивалентные) преобразования системы:

1. перестановка любых двух уравнений;

2. умножение обеих частей одного из уравнений на произвольное число;

3. прибавление к обеим частям одного из уравнений соответствующих частей любого другого уравнения, умноженного на произвольное число .

Очевидно, что в результате применения каждого из этих преобразований, называемых элементарными (эквивалентными), линейная система уравнений (14.1) перейдет в линейную систему уравнений, эквивалентную первоначальной системе (14.1).

Приведение линейной системы к ступенчатому виду

Пусть дана система (14.1). Применяя элементарные преобразования, построим эквивалентную ей систему специального вида. Выберем в качестве первого уравнения одно из тех уравнений системы, где коэффициент при отличен от нуля. Не нарушая общности, предположим, что .

Итак, первым уравнением системы будет уравнение

, где . Умножим это уравнение на и прибавим его почленно к уравнениям системы (14.1) с номерами . После этой операции в уравнениях с номерами будет исключено неизвестное. Мы можем получить систему уравнений вида

эквивалентную системе (14.1), где, например, .

Может случиться, что вместе с будут исключены неизвестные , но найдется хотя бы одно уравнение, в котором присутствует. Одно из таких уравнений примем в качестве второго уравнения системы. Таким образом, после первого шага второе уравнение будет иметь вид:

, где .

Используем это уравнение для исключения неизвестного из всех оставшихся уравнений ( кроме первого уравнения).

После второго шага в качестве третьего уравнения получим

, где .

Продолжая процесс, мы после шагов приведем систему (14.1) к эквивалентной ей системе следующего вида:

где , ,…,

Очевидно, что число шагов . Если , то все последующие соотношения типа отсутствуют.

Что касается чисел при , то они могут быть либо все равные нулю, либо хотя бы одно из них отличное от нуля.

Пусть, например, , то умножая соотношение на , складывая его с соответствующими оставшимися соотношениями этого типа, приведем их к виду 0=0.

Итак, в самом общем случае система уравнений (14.1) приводится к эквивалентной системе специального вида (так называемого ступенчатого вида), в которой для удобства письма используем другие обозначения коэффициентов и правых частей

(14.2)

где ;

отличны от нуля, все остальные коэффициенты и свободные члены  произвольны. Таким образом, приходим к теореме.

Теорема 1

Всякая линейная система над произвольным полем может быть приведена элементарными преобразованиями к ступенчатому виду.

Элементарные преобразования системы преобразуют расширенную матрицу системы. Теорему 1 можно переформулировать для матриц.

Теорема 1’.

Любую матрицу над полем можно привести элементарными преобразованиями к ступенчатому виду.

Элементарные преобразования матриц

1. Перестановка любых двух строк матриц.

2. Умножение одной из строк матрицы на число .

3. Прибавление к элементам одной из строк матрицы соответствующих элементов любой другой строки матрицы, умноженных на одно и то же произвольное число.

Переход от матрицы к матрице , полученной из с помощью элементарных преобразований, обозначим через .

Исследование ступенчатых систем

Неизвестные , с которых начинаются уравнения системы (14.2), называются главными, остальные неизвестные - свободными. Число главных неизвестных системы (14.2) равно, свободных - .

Теорема 2. (О совместности ступенчатой системы)

(Система (14.2) совместна) .

Доказательство.

Пусть . В этом случае соотношение невозможно. Следовательно, система (14.2) несовместна, что противоречит условию теоремы.

Пусть . Из уравнения системы (14.2) с номером находим , выражая его через свободные неизвестные, что всегда возможно, так как . Подставляя найденное значение в предыдущее уравнение (что не изменяет коэффициент при ), находим . Поднимаясь снизу вверх по системе, мы убедимся, что значения главных неизвестных определяются однозначно через свободные неизвестные и свободные члены системы (14.2) по формулам

(14.3)

Любая совокупность значений свободных неизвестных и соответствующих им главных неизвестных будет решениям системы (14.2).

Из доказательства теоремы 2 вытекает следующая.

Теорема 3.

(Совместная система (14.2) является определенной) (в ней нет свободных неизвестных).

Следствие. Совместная система (14.2) с является неопределенной.

Общий вывод. Подводя итоги проведенному исследованию, приходим к следующему результату.

Если после приведения системы (14.1) к ступенчатому виду (14.2)

1. система (14.1) – несовместна;

2. и система (14.1) совместна и определена;

3. и система (14.1) совместна и неопределена;

В этом случае систему (14.3), эквивалентную системе (14.1), называют общим решением системы (14.1). Придавая свободным неизвестным конкретные числовые значения из поля и подставляя их в формулы (14.3), находим соответствующие значения главных неизвестных. Так получается частное решение системы (14.1).

Ясно, что множество всех решений совместной системы (14.1) исчерпывается ее частными решениями.

Изложенный выше метод решения линейных систем называется методом Гаусса или методом последовательного исключения неизвестных. При этом переход от системы (14.1) к системе (14.2) называется прямым ходом метода Гаусса.

Пример

Решить систему

Запишем расширенную матрицу системы и элементарными преобразованиями приведем ее к ступенчатому виду:

Система совместна и неопределенна. В качестве главных неизвестных возьмем ; - свободное неизвестное.

Поместим четвертый столбец матрицы ступенчатого вида за вертикальную черту справа, изменив знаки всех его элементов на противоположные. Это равносильно тому, что в каждом уравнении системы член уравнения, содержащий , перенесем из левой части в правую часть уравнения, меняя его знак на противоположный.

Осуществим обратный ход метода Гаусса:

Отсюда - общее решение данной системы.

Придав конкретное значение свободному неизвестному , например, , получим соответствующие значения главных неизвестных: . Решение (-8, 4, 8, 1) – частное решение данной системы.

Отыскание обратной матрицы методом Гаусса рассмотрим в следующей лекции.