Математика ЗО от Белоусовой / Алгебра и геометрия и ТДУ / Лекции по АГиТДУ / Лекция 6

Лекция 6. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Угловые соотношения между ними. Расстояния

1. Взаимное расположение двух плоскостей. Угловые соотношения между ними.

Пусть плоскости (₁) и (₂) заданы уравнениями: (6.1)

и (6.2)

соответственно в некоторой прямоугольной системе координат Охуz.

Будем различать следующие случаи взаимного расположения двух плоскостей: 1) пересекаются по прямой; 2) параллельны, но не совпадают; 3) совпадают (см. рис. 9).

Найдем условия, которым удовлетворяют коэффициенты уравнений (6.1) и (6.2) в каждом из перечисленных случаев.

Для того чтобы плоскости (₁) и (₂) совпадали, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты их уравнений были пропорциональны, т.е. чтобы существовало действительное число , такое, что .

Если ни одно из чисел не равно нулю, то эти соотношения можно записать в виде .

Эти условия можно переписать коротко:

.

Аналогично получаются необходимые и достаточные условия параллельности плоскостей (₁) и (₂).

.

Теперь очевидно следующее утверждение: для того чтобы плоскости (₁) и (₂) пересекались, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты А₁,В₁,С₁ не были пропорциональны коэффициентам А₂,В₂,С₂.

Один из двугранных углов между двумя плоскостями равен углу между нормальными векторами и этих плоскостей. Тогда .

Отсюда вытекает условие перпендикулярности двух плоскостей:

.

2. Взаимное расположение двух прямых в R³

Угловые соотношения между ними.

П

(6.3)

(6.4)

усть заданы уравнения двух прямых:

Требуется определить их взаимное расположение.

При этом мы будем различать следующие случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве R³:

1. пересекаются в одной точке;

2. совпадают;

3. параллельны, но не совпадают;

4. являются скрещивающимися.

Найдем для каждого из этих случаев условия, которым должны удовлетворять коэффициенты уравнений (6.3) и (6.4).

Рассмотрим направляющие векторы данных прямых:

.

Пусть эти векторы коллинеарны, т.е. :

(6.5)

тогда прямые параллельны (т.е. не имеют общих точек) или совпадают. При этом прямые совпадают тогда и только тогда, когда вектор , где , коллинеарен векторам и , и, следовательно,

(6.6)

Итак,

.

Условия параллельности прямых (несовпадения):

.

Пусть теперь векторы и неколлинеарны, т.е. условие (6.5) не выполняется. Тогда прямые (l₁) и (l₂) пересекаются в одной точке или являются скрещивающимися.

Е

Рис. 10

сли они пересекаются и, следовательно, лежат в одной плоскости, то векторы , и компланарны.

Поэтому (6.7)

Однако пусть векторы , неколлинеарны и имеет место равенство (6.7). Найдем точки А₁ и А₂ такие, что (рис. 10). Тогда отрезки М₁М₂, М₁А₁, М₂А₂ определяют плоскость, в которой лежат прямые (l₁) и (l₂). Так как векторы и неколлинеарны, то прямые пересекаются.

Итак, прямые (l₁) и (l₂) пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда их направляющие векторы неколлинеарны и имеет место равенство (6.7).

Отсюда получаем необходимое и достаточное условие того, что прямые (l₁) и (l₂) являются скрещивающимися:

.

Угол между прямыми

За угол между двумя прямыми (l₁) и (l₂) примем угол между направляющими векторами этих прямых; тогда величину этого угла можно выразить по формуле

.

Из этой формулы вытекает необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых (l₁) и (l₂): .

3.Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве R³

Пусть заданы уравнение плоскости () и параметрические уравнения прямой (l)

.

Требуется определить взаимное расположение () и (l).

Будем различать следующие случаи взаимного расположения прямой и плоскости:

1. прямая пересекает плоскость в одной точке;

2. прямая параллельна плоскости и не лежит в ней;

3. прямая принадлежит плоскости.

Найдем для каждого из этих случаев условия, которым удовлетворяют коэффициенты уравнений прямой (l) и плоскости ().

Подставляя выражения для x,y,z из уравнений прямой (l) в уравнение плоскости (), получаем

Значения параметра t, удовлетворяющие этому равенству, соответствуют тем точкам прямой (l), которые лежат в плоскости (). Теперь легко получить необходимые и достаточные условия для каждого из перечисленных случаев взаимного расположения прямой (l) и плоскости (), а именно:

– есть условие того, что прямая пересекает плоскость в одной точке;

– есть условия того, что прямая параллельна плоскости и не лежит в ней;

– есть условия того, что прямая принадлежит плоскости.

Угол между прямой и плоскостью

Обозначим буквой величину угла, образованного прямой (l) с ортогональной проекцией этой прямой на плоскость () (рис. 11). Если прямая перпендикулярна к плоскости, то положим . Будем считать, что . Так как вектор перпендикулярен к плоскости (), то направляющий вектор прямой (l) образует с вектором угол или . Поэтому

.

Расстояние от точки до плоскости

Пусть дана точка и плоскость (): , - нормальный вектор плоскости () (рис. 12). Расстояние от точки М₀ до плоскости () равно , где - ортогональная проекция точки М₀ на ().

Расстояние

Поскольку , то .

Поэтому - формула расстояния от точки М₀ до плоскости ().

Расстояние от точки до прямой

Пусть даны точка М₀(x₀,y₀,z₀) и прямая (l):

, - направляющий вектор прямой (l). Найти расстояние от точки М₀ до прямой (l), .

Расстояние d( M₀, (l) ) от точки М₀ до (l) равно длине высоты параллелограмма, построенного на векторах и , приложены к точке М₁ (рис. 13). Поэтому - формула расстояния от точки до прямой (l).

Кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми

Пусть даны две скрещи-вающиеся прямые:

и

.

Прямые (l₁) и (l₂) скрещиваются, поэтому векторы не компланарны, т.е. . Расстояние d((l₁), (l₂)) между прямыми (l₁) и (l₂) равно длине высоты параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на сторонах (рис. 14). Поэтому

- формула расстояния между прямыми (l₁) и (l₂).

Пример. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми с уравнениями x=2-t, y=1+2t, z=-1+t и .

Решение. Для вычисления расстояния между двумя параллельными прямыми применим формулу расстояния от точки (расположенной на одной прямой) до прямой (другой).

, где .

.

Ответ: .