Математика ЗО от Белоусовой / Алгебра и геометрия и ТДУ / Лекции по АГиТДУ / Лекция 15

Лекция 15. Обращение матриц методом Гаусса

Вы познакомились с одним из способов нахождения обратной матрицы по формуле обращения (лекция 13).

В этой лекции познакомимся еще c одним способом обращения матриц - методом Гаусса.

Метод Гаусса. Для обратимой матрицы порядка n строим расширенную матрицу . С помощью элементарных преобразований строк матрицы приводим ее к виду . Тогда В совпадает с . Это следует из решения линейной системы методом Гаусса с переменным столбцом , j=1,2,…,n.

Например, - обратимая матрица.

Найти методом Гаусса.

Решение матричных уравнений методом Гаусса

Пусть - матричное уравнение, где матрицы А и В – известные квадратные матрицы порядка n, причем матрица А - обратимая.

Х- неизвестная квадратная матрица порядка n. Для отыскания матрицы Х составим расширенную матрицу и с помощью элементарных преобразований ее строк приведем к виду . Тогда С- искомая матрица, т.е. матрица, которая является решением данного матричного уравнения.

Пусть - матричное уравнение с теми же исходными данными, что и в предыдущем уравнении. Чтобы решить это уравнение методом Гаусса, надо привести его к уравнению предыдущего вида. Это можно сделать с помощью операции транспонирования, т.е. .

Тогда .

Пример. Решить матричное уравнение

, где , .

Решение

, .

Проверка: .

Ответ: .

Понятие линейного пространства. Примеры

Рассмотрим еще одну алгебраическую структуру, которая является основным объектом изучения линейной алгебры – линейное пространство.

Определение. Пусть множество элементов ; - числовое поле. называется линейным пространством над полем Р , если на L определены две операции (бинарная и унарная).

1. Бинарная операция- сложение, т.е. определено правило (закон), по которому ставится в соответствие единственный элемент из L, называемый суммой этих элементов и обозначаемый x+y, которая постулируется следующими аксиомами:

1. x+y=y+x (коммутативность);

2. (x+y)+z=x+(y+z) (ассоциативность существования);

3. ; (существование нулевого элемента);

4. (существование противоположного элемента).

2. Унарная операция- умножение элемента на число, т.е. задано правило (закон), по которому , ставится в соответствие единственный элемент из L, называемый произведением элемента на число, обозначаемый , которое постулируется следующими аксиомами:

3. , ;

4. , (ассоциативность).

3. Линейные операции ( сложение и умножение) связаны между

собой аксиомами дистрибутивности:

3. ;

4. , .

Примеры линейных пространств

1. V-пространство геометрических векторов (векторное пространство) по сложению и умножению вектора на число. Свойства этих операций позволяют сделать вывод, что V-линейное пространство над вещественным полем R.

2. Множество всех матриц размера над произвольным полем Р. Рассмотренные нами линейные операции- сложение матриц и умножение матриц на число и свойства, которыми они обладают, позволяют сделать заключение, что эта алгебраическая структура – линейное пространство над Р.

3. Рассмотрим множество всех строчных матриц над полем Р.

Такие матрицы называются n-мерными арифметическими векторами с компонентами .

Это множество с операциями сложения и умножения на число образует линейное пространство над P, которое будем называть n-мерным арифметическим пространством и обозначать .

4. Пример из математического анализа.

- линейное пространство действительно – значных +, функций f(x) одной вещественной переменой .

5. ; +;  - линейное пространство непрерывных функций x(t) на [a,b].

Простейшие свойства линейного пространства, которые являются следствиями его аксиом.

. .

Доказательство: .

. .

Доказательство: .

..

Доказательство:.

..

Доказательство: .

. или .

Проверить самостоятельно.

Линейное подпространство

Пусть .

Множество l называется линейным подпространством пространства L, если оно замкнуто относительно линейных операций пространства, т.е. ,

.

Примеры.

1. Линейное пространство V₁ всех коллинеарных между собой векторов есть подпространство линейного пространства V геометрических векторов.

2. - линейное подпространство функционального пространства . Если l - подпространство линейного пространства L, то будем записывать: .

Линейная оболочка конечного числа элементов из L

Пусть .

Возьмем произвольный набор чисел .

Выражение называется линейной комбинацией элементов системы А с числами .

Числа называются коэффициентами этой линейной комбинации.

Очевидно, что .

Если , то говорят , что элемент b линейно выражается через элементы системы А и обозначается b A

Пусть A,B,C- некоторые системы элементов из L .

Докажем, что

(А В и В С)(А С) (свойство транзитивности). Запись А В означает, что каждый элемент из А линейно выражается через элементы системы В. Аналогичное значение имеют записи В С и А С.

Пусть А={a}, В={b_i}, . Тогда ,

. Подставляя b_i в первое равенство, получим

где - число.

Отсюда следует, что a C. В силу произвольности элемента a, имеем А С.

Пусть А = {a₁,a₂,…a_n}  L. Если - два разных набора чисел из поля P, то и - два различных элемента из L. Таким образом, из элементов системы А можно составить бесконечное множество различных линейных комбинаций.

Определение. Множество всех линейных комбинаций из n элементов системы А называется линейной оболочкой системы А и обозначается <A> или <a₁,a₂,…,a_n>.

Итак, .

{a₁,a₂,…,a_n} называется системой образующих.

Лемма. <A> является линейным подпространством в L.

Доказательство: Пусть А={а₁,…,а_n}, x и y – две произвольных линейных комбинации элементов системы А, т.е. и - есть линейная комбинация элементов из А с коэффициентами .

- линейная комбинация элементов из А с коэффициентами .

Отсюда , , что означает, что <A>L.

Ввиду этой леммы <A> называют также подпространством, порожденным системой элементов А или натянутым на А.