Математика ЗО от Белоусовой / Алгебра и геометрия и ТДУ / Лекции по АГиТДУ / Лекция 1

Лекция 1. Предмет алгебры. Логическая и теоретико – множественная символика

Что такое алгебра? Алгебра издревне составляла существенную часть математики. Истоки алгебры кроются в искусстве складывать, умножать, делить, возводить в степень числа. Формальная замена чисел буквами позволяет действовать по аналогичным правилам в пределах гораздо более общих алгебраических систем. Последняя точка зрения относится к уровню математики конца XVI века.

Важным рубежом на пути развития алгебры стали создание аналитической геометрии, теории определителей и ее применение к решению систем линейных уравнений (XVI-XVIII вв.)

В начале XX века произошла перестройка всего здания математики; алгебра, перестав быть наукой только о решении алгебраических уравнений, перешла к абстрактному аксиоматическому развитию.

Современная алгебра – это наука о множествах с заданными на них операциями. Алгебраические операции выполняются над элементами различных множеств. Сами алгебраические операции выросли из элементарной арифметики.

Значение алгебраических структур – множеств с алгебраическими операциями – далеко выходит за рамки теоретико – множественных применений. Многие математические объекты (топологические пространства, дифференциальные уравнения, функции нескольких переменных и др.) изучаются путем построения надлежащих алгебраических структур. Нечто подобное относится и к объектам реального мира.

Определенное мнение на этот счет было высказано около 70 лет назад одним из творцов квантовой механики П. Дираком: «… Современная физика требует все более абстрактной математики и развития ее основ. Так, неевклидова геометрия и некоммутативная алгебра, считавшиеся одно время просто плодом воображения или увлечения логическими рассуждениями, теперь признаны весьма необходимыми для описания общей картины физического мира».

Алгебраические средства весьма полезны в квантовой механике, при анализе модельных задач экономики, при конструировании современных ЭВМ, в теории автоматического регулирования, в радиотехнике, электронике и т.д., и т.п.

Введем необходимый нам минимум логической символики, а также обозначений и определений из теории множеств.

• - влечение; если, то;

• - равносильно, эквивалентно, тогда и только тогда, необходимо и достаточно;

- заменяет слово “называется” в определени того или иного понятия;

 - для всех, для любого;

 - существует, найдется;

! - существует (найдется) единственный;

Множество – это совокупность (группа) некоторых объектов, называемых элементами, объединенных каким-нибудь общим свойством. Множества будем обозначать большими латинскими буквами: A, B, C, …, X, Y, … .

Множество задается либо перечислением всех его элементов, либо указанием определяющего его свойства. Например, X={1,3,9}={x| х – натуральный делитель числа 9}. Запись {x | P(x)} обозначает множество всех таких х, для которых выполняется свойство Р.

хХ – элемент х принадлежит множеству Х;

хХ – элемент х не принадлежит множеству Х;

 - пустое множество, т.е. множество, не имеющее элементов;

ХY – Х – подмножество в Y (Х содержится в Y), т.е. хХ: хY;

ХY – Х не содержится в Y;

ХY – Х равно Y, т.е. ХY и YX;

ХY - Х строго содержится в Y, т.е. ХY и ХY;

XY – пересечение множеств Х и Y, т.е. множество {x | xX и xY};

XY – объединение Х и Y, т.е. множество {x | xX или хY};

X \ Y - разность множеств X и Y, т.е. множество {x | xX и xY}.

N – множество натуральных чисел.

Z – множество целых чисел.

Q – множество рациональных чисел.

R – множество действительных (вещественных) чисел.

Ясно, что NZQR.

Пусть Х и Y – два непустых множества. Если каждому элементу хХ ставится в соответствие единственный элемент yY, то говорят, что задано отображение множества Х в множество Y, причем Х называется областью определения, Y – областью значений этого отображения, y – образом элемента х, х – прообразом элемента y. Запись f: ХY или ХY означает, что f – отображение множества Х в множество Y, и записывают y=f(x) или y=fx.

Обычно, отображение числового множества в числовое множество называют функцией; это объект изучения математического анализа.

Равенство f=g двух отображений означает по определению, что их соответствующие области совпадают; т.е. ХY и ХY, причем хХ: f(x)=g(x).

Отображение f: ХY называется инъективным, или инъекцией, или взаимно однозначным отображением ХY, если различные элементы х₁ и х₂ из Х имеют различные образы y₁=f(x₂) и y₂=f(x₂). Обозначение инъекции Х ↣ Y.

Отображение f: XY называется сюръективным, или сюръекцией, или отображением Х на Y, если yY xX: y=f(x).

Обозначение сюръекции: .

Отображение f: ХY называется биективным, или биекцией, или взаимно однозначным отображением Х на Y, если оно одновременно и инъективно, и сюръективно. Обозначение биекции: .

Пусть nN; n-й декартовой степенью непустого множества Х называется множество Хⁿ={f | f: {1,2,…,n}X} всех отображений множества {1,2,…,n} в множество Х. Каждое такое отображение f: {1,2,…,n}X можно отождествить с упорядоченной системой (х₁,х₂,…х_n), составленной из элементов х₁,х₂,…х_n множества Х, являющихся образами чисел 1,2,…,n соответственно. Такая упорядоченная система (х₁,х₂,…х_n) называется упорядоченной n-й с компонентами х₁,х₂,…х_n.

Х² называется декартовым квадратом множества Х. Элементами его являются упорядоченные пары (х₁,х₂) элементов х₁,х₂ множества Х. Заметим, что введение координат на плоскости приводит к декартовому квадрату R², а в стереометрическом пространстве – к декартовому кубу R³.