
Математика ЗО от Белоусовой / Алгебра и геометрия и ТДУ / Лекции по АГиТДУ / Лекция 1
.docЛекция 1. Предмет алгебры. Логическая и теоретико – множественная символика
Что такое алгебра? Алгебра издревне составляла существенную часть математики. Истоки алгебры кроются в искусстве складывать, умножать, делить, возводить в степень числа. Формальная замена чисел буквами позволяет действовать по аналогичным правилам в пределах гораздо более общих алгебраических систем. Последняя точка зрения относится к уровню математики конца XVI века.
Важным рубежом на пути развития алгебры стали создание аналитической геометрии, теории определителей и ее применение к решению систем линейных уравнений (XVI-XVIII вв.)
В начале XX века произошла перестройка всего здания математики; алгебра, перестав быть наукой только о решении алгебраических уравнений, перешла к абстрактному аксиоматическому развитию.
Современная алгебра – это наука о множествах с заданными на них операциями. Алгебраические операции выполняются над элементами различных множеств. Сами алгебраические операции выросли из элементарной арифметики.
Значение алгебраических структур – множеств с алгебраическими операциями – далеко выходит за рамки теоретико – множественных применений. Многие математические объекты (топологические пространства, дифференциальные уравнения, функции нескольких переменных и др.) изучаются путем построения надлежащих алгебраических структур. Нечто подобное относится и к объектам реального мира.
Определенное мнение на этот счет было высказано около 70 лет назад одним из творцов квантовой механики П. Дираком: «… Современная физика требует все более абстрактной математики и развития ее основ. Так, неевклидова геометрия и некоммутативная алгебра, считавшиеся одно время просто плодом воображения или увлечения логическими рассуждениями, теперь признаны весьма необходимыми для описания общей картины физического мира».
Алгебраические средства весьма полезны в квантовой механике, при анализе модельных задач экономики, при конструировании современных ЭВМ, в теории автоматического регулирования, в радиотехнике, электронике и т.д., и т.п.
Введем необходимый нам минимум логической символики, а также обозначений и определений из теории множеств.
-
- влечение; если, то;
-
- равносильно, эквивалентно, тогда и только тогда, необходимо и достаточно;
- заменяет слово “называется”
в определени того или иного понятия;
- для всех, для любого;
- существует, найдется;
! - существует (найдется) единственный;
Множество – это совокупность (группа) некоторых объектов, называемых элементами, объединенных каким-нибудь общим свойством. Множества будем обозначать большими латинскими буквами: A, B, C, …, X, Y, … .
Множество задается либо перечислением всех его элементов, либо указанием определяющего его свойства. Например, X={1,3,9}={x| х – натуральный делитель числа 9}. Запись {x | P(x)} обозначает множество всех таких х, для которых выполняется свойство Р.
хХ – элемент х принадлежит множеству Х;
хХ – элемент х не принадлежит множеству Х;
- пустое множество, т.е. множество, не имеющее элементов;
ХY – Х – подмножество в Y (Х содержится в Y), т.е. хХ: хY;
ХY – Х не содержится в Y;
ХY – Х равно Y, т.е. ХY и YX;
ХY - Х строго содержится в Y, т.е. ХY и ХY;
XY – пересечение множеств Х и Y, т.е. множество {x | xX и xY};
XY – объединение Х и Y, т.е. множество {x | xX или хY};
X \ Y - разность множеств X и Y, т.е. множество {x | xX и xY}.
N – множество натуральных чисел.
Z – множество целых чисел.
Q – множество рациональных чисел.
R – множество действительных (вещественных) чисел.
Ясно, что NZQR.
Пусть
Х и Y – два непустых
множества. Если каждому элементу хХ
ставится в соответствие единственный
элемент yY,
то говорят, что задано отображение
множества Х в множество Y,
причем Х называется областью определения,
Y – областью значений
этого отображения, y –
образом элемента х, х – прообразом
элемента y. Запись f:
ХY
или ХY
означает, что f – отображение
множества Х в множество Y,
и записывают y=f(x)
или y=fx.
Обычно, отображение числового множества в числовое множество называют функцией; это объект изучения математического анализа.
Равенство
f=g двух
отображений означает по определению,
что их соответствующие области совпадают;
т.е. ХY
и Х
Y,
причем хХ:
f(x)=g(x).
Отображение f: ХY называется инъективным, или инъекцией, или взаимно однозначным отображением ХY, если различные элементы х1 и х2 из Х имеют различные образы y1=f(x2) и y2=f(x2). Обозначение инъекции Х ↣ Y.
Отображение f: XY называется сюръективным, или сюръекцией, или отображением Х на Y, если yY xX: y=f(x).
Обозначение
сюръекции:
.
Отображение
f: ХY
называется биективным, или биекцией,
или взаимно однозначным отображением
Х на Y, если оно одновременно
и инъективно, и сюръективно. Обозначение
биекции:
.
Пусть nN; n-й декартовой степенью непустого множества Х называется множество Хn={f | f: {1,2,…,n}X} всех отображений множества {1,2,…,n} в множество Х. Каждое такое отображение f: {1,2,…,n}X можно отождествить с упорядоченной системой (х1,х2,…хn), составленной из элементов х1,х2,…хn множества Х, являющихся образами чисел 1,2,…,n соответственно. Такая упорядоченная система (х1,х2,…хn) называется упорядоченной n-й с компонентами х1,х2,…хn.
Х2 называется декартовым квадратом множества Х. Элементами его являются упорядоченные пары (х1,х2) элементов х1,х2 множества Х. Заметим, что введение координат на плоскости приводит к декартовому квадрату R2, а в стереометрическом пространстве – к декартовому кубу R3.