Математика ЗО от Белоусовой / Алгебра и геометрия и ТДУ / Лекции по АГиТДУ / Лекция 7

Лекция 7. Элементы аналитической геометрии на плоскости R²

1.Уравнение линии в R² и понятие об уравнении прямой

Предположим, что на плоскости R² заданы:

1. прямоугольная система координат Оху;

2. некоторая линия (l) (эта линия называется плоской).

Рассмотрим некоторое уравнение, связывающее две переменные величины х и у: F(x,y)=0.

Определение. Уравнение F(x,y)=0 называется уравнением линии (l) (относительно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии (l), и не удовлетворяют координаты х и у точек, не лежащих на линии (l).

С точки зрения этого определения сама линия (l) представляет собой (в заданной системе координат) множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y)=0.

Параметрическое представление линии

Для аналитического представления линии (l) часто бывает удобно выражать переменные координаты х и у точек этой линии при помощи третьей вспомогательной переменной (или параметра) t: х=х(t), y=y(t), где х(t), y(t) – функции от t, tТ (аналогично параметрическому представлению линии (l) в R³). Исключая (если возможно) из параметри-ческих уравнений линии (l) параметр t, придем к уравнению F(x,y)=0.

Прямая на плоскости R²

При переходе от пространства R³ к плоскости R² получим общее уравнение прямой: Ax+By+C=0 (A²+B²0),

каноническое уравнение прямой: ,

параметрические уравнения прямой: .

Из канонического уравнения прямой можно получить уравнение , или ,

где - угловой коэффициент прямой (рис. 15).

Разрешив последнее уравнение относи-тельно у и обозначив , получим уравнение прямой (l) в виде y=kx+b – простейшее уравнение прямой (хорошо известное из школы). Простейшее уравнение прямой (l) можно получить из общего уравнения при условии, что .

Угловые соотношения между двумя прямыми

Угол между двумя прямыми можно определить по той же самой формуле, что и угол между прямыми в R³, т.е.

.

Если прямые заданы простейшими уравнениями, т.е.

то .

Действительно, из планиметрии известно, что (см. рис. 16). Отсюда .

Тогда .

Из этой формулы получается условие параллельности двух прямых: ; и условие перпендикулярности двух прямых: .

2. Кривые второго порядка в R²

Общее уравнение кривой второго порядка на плоскости имеет вид:

.

Справедлива следующая теорема (дается без доказательства).

Теорема. Общее уравнение кривой второго порядка на плоскости с помощью поворота и параллельного переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к одному из следующих канонических уравнений:

1. - эллипс (рис. 17);

2. - гипербола (рис. 18);

3. - парабола (рис. 19);

4. - пара пересекающихся прямых;

5. - пара параллельных прямых;

6. - прямая (пара совпадающих прямых);

7. - точка (вырожденный эллипс);

8. - пустое множество (мнимый эллипс).

Приведем основные геометрические свойства кривых 1-3, которые выводятся из их канонических уравнений, т.е. решим задачу первого типа, заключающуюся в изучении свойств линии при помощи заранее данного уравнения этой линии (см. лекцию 5). Такое изучение проведем средствами математического анализа.

1. . Эллипс имеет две оси симметрии Ох и Оу, называемые осями, центр симметрии О, называемый центром. Точки пересечения эллипса с осями называются его вершинами. Эллипс имеет четыре вершины. В силу симметрии эллипса разрешим его уравнение относительно у и положим . Получим функцию , исследуем ее

основные свойства и построим график. Функция – четная, т.к. у(-х)=у(х).

Найдем ;

Получим интервалы монотонности (-а;0), (0;а).

Исследуем знак у(х) на каждом из этих интервалов: .

Из достаточных условий монотонности следует, что функция у(х) возрастает на (-а,0) и убывает на (0,а). Точка х=0 – точка max функции.

Вторая производная функции показывает, что график функции выпуклый на (-а;а). (Дополнительные сведения к исследованию функции).

Согласно исследования построим эллипс (рис. 17).

На рис. 17 указаны точки , где , называемые фокусами эллипса; ось называется фокальной осью эллипса, а – большая, b – малая полуоси эллипса (при условии, что a>b).

Эллипс есть множество всех точек М плоскости, для которых . Форма эллипса (мера его сжатия) характеризуется его эксцентриситетом. Так как c<a, то

В частном случае, когда , эллипс превращается в окружность с уравнением .

2. . Гипербола имеет две оси симметрии Ох и Оу, называемые ее осями, и центр симметрии О, называемый ее центром. Точки пересечения гиперболы с осями называются вершинами. Гипербола имеет две вершины. Ось Ох пересекает гиперболу и называется ее действительной осью. Ось Оу не пересекает гиперболу и называется ее мнимой осью.

В

Рис. 18

силу симметрии можно изучить свойства той части гиперболы, которая расположена в первой координатной четверти и описывается уравнением .

Исследуя его, как в предыдущем случае, т.е. с помощью производных (сделать самостоятельно), можно прийти к выводу, что функция , возрастает от 0 до +, причем график ее расположен ниже прямой (рис.18).

Гипербола состоит из двух ветвей. Прямые с уравнениями называются ее асимптотами. Точки , где , называются фокусами гиперболы, а ось - фокальной осью гиперболы. Гипербола есть множество всех точек плоскости, для которых . Форма гиперболы характеризуется ее эксцентриситетом . Так как с>a, то .

Если a=b, то гипербола называется равнобочной.

Две гиперболы называются сопряженными.

3. . Парабола имеет ось симметрии Ох, называемую ее осью. Точка пересечения параболы с осью 0х– вершина параболы. Точка на-зывается ее фокусом, а прямая с уравнением - директрисой параболы. Парабола есть множество всех точек плоскости, равноудаленных от фокуса и директрисы.

4. Приведение общего уравнения кривой второго прядка

к каноническому виду.

Одним из способов приведения общего уравнения второго порядка (в котором В=0) к каноническому виду является способ «выделения полных квадратов».

Например, привести уравнение второго порядка к каноническому виду, установить тип кривой и построить.

Решение

Окончательно,

- каноническое уравнение эллипса с осями х=3 и у=-1, с центром О(3;-1), с полуосями .

Выполним построение эллипса.