Лекция 3

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

398.85 Кб

Скачать

☆

Лекция 3. Векторная алгебра

Эту лекцию можно рассматривать как повторение и продолжение школьного материала о векторах.

Векторные величины, как известно из школы, характеризуются не только своим численным значением, но еще и направленностью. Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на нее сила.

Абстрагируясь от конкретных свойств, встречающихся в природе физических векторных величин, мы приходим к понятию геометрического вектора или просто вектора.

Введение метода координат на плоскости и в пространстве позволяет дать координатное представление вектора.

Весь школьный материал о векторах сведем в таблицу:

N п/п	Геометрическое представление векторной алгебры	Аналитическое (координатное) представление векторной алгебры в R³
1	Вектор – нап-равленный отре-зок. Направление принято обозначать стрелкой. Вектор обозначается (А – начало, В – конец век-тора) или .	Если А (x₁, y₁, z₁) и В (x₂, y₂, z₂), то вектор ; числа в скобках x₂-x₁=a_x, y₂-y₁=a_y, z₂-z₁=a_z называются прямоуголь-ными декартовыми координа-тами вектора .
2	Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной (или модулем). Длина вектора обозначается или .	Если , то
3	Нулевой вектор – вектор, имеющий длину, равную нулю. Нулевой вектор обозначается .
4	Коллинеарные векторы – векторы, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых. Обозначение коллинеарных векторов:. Для сонаправ-ленных векторов вводится обозначение , для проти-воположно направленных векто-ров – .
5	Равные векторы:
6	Равнопротивоположные векторы:
7	Сложение векторов. Суммой двух векторов и называется вектор, идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что приложен к концу вектора . Правило сложения двух векторов, содержащееся в определении, обычно называют «правилом треугольника». Свойства сложения. 1. (коммутативное свойство). Свойство дает другое правило сложения под названием «правила параллелограмма». 2. (ассоциативное свойство). Свойство указывает на то, что можно складывать три и более векторов по правилу «замыкающей». 3. . 4. .
8	Вычитание векторов. Разностью двух векторов и называется вектор , который в сумме с вектором дает вектор . Вектор соединяет концы векторов и , направлен в сторону уменьша-емого вектора , при условии, что и выходят из одной точки пространства.
9	Умножение вектора на число.
10	Критерий коллинеарности двух векторов.
11	Векторы называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости.
12	Критерий компланарности трех векторов. Замечание. Если и - неколлинеарные векторы, то называется формулой разложе-ния вектора по двум некол-линеарным векторам и , и это разложение единственное.
13	Векторы называются ортами, если длина этих векторов равна единице и они взаимно перпендикулярны (ортогональны), и () составляют правую тройку векторов.
14	Упорядоченную систему орт называют ортонор-мированным базисом (ОНБ) пространства R³.
15	Теорема. Любой вектор в R³ может быть разложен по ОНБ () единственным образом.	, называются прямоугольными декартовыми координатами вектора . Имеет место запись: .
16	В прямоугольной декартовой системе координат Oxyz вектор, соединяющий начало координат О с заданной точкой М, называется радиус – вектором точки М и обозначается .	Если , то числа x, y, z являются коорди-натами точки М. Запись: М(x, y, z).
17	Скалярное произведение двух векторов: Свойства скалярного произведения: 1. (симметричность). Справедливость равенства непосредственно следует из определения скалярного произведения. 2. Доказательство: (однородность) 3. . Доказательство:(аддитивность) 4. - скалярный квадрат вектора . .	, если , . Вывод формулы: т.к. все скалярные произведения разноименных орт равны нулю, а одноименных орт – единице согласно свойств см. 4 – 5.
18	5. Критерий ортогональности (перпендикулярности) двух векторов.
19	Применение скалярного произведения для некоторых метрических понятий. 1). Длина вектора :. 2). Угол между векторами . 3). .
20	Направляющие косинусы вектора Обозначим угол между вектором и ортом через , угол между вектором и ортом через и угол между вектором и ортом через . называются направляющими косинусами вектора . , , , (проверить самостоятельно). - координаты единичного вектора направления вектора .	.
z 21	Физические приложения скаляр-ного произведения , где . - работа, которую произ-водит сила , когда ее точка приложения, двигаясь прямо-линейно, перемещается из положения А в положение В.	где ,