Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекция 12

.doc

Скачиваний:

117

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

650.24 Кб

Скачать

☆

12. Лекционное занятие. ТЕОРИЯ СКАЛЯРНОГО И ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

12.1 Скалярное поле

Скалярное поле – это область пространства, в которой задана скалярная функция , называемая функцией поля. Например, это может быть поле температур, поле давлений и т.д.

Множество точек поля, в которых функция поля принимает постоянное значение , образует поверхность с уравнением , называемую поверхностью уровня поля. Если скалярное поле плоское, например, находится в плоскости , то его функция поля зависит от двух переменных и , а множество точек, в которых , образуют линию уровня. Линии уровня используются при составлении географических карт (для изображения точек, расположенных на одинаковой высоте над уровнем моря), при составлении метеорологических карт (для изображения линий одинаковых температур – изотерм и линий одинакового давления – изобар).

12.2 Производная поля по направлению

Для характеристики скорости изменения поля в направлении вектора введем понятие производной поля по направлению. Пусть задана точка и вектор , выходящий из точки (рис. 1). Рассмотрим точку , лежащую на векторе , и величину – приращение функции поля в точке в направлении .

Производной поля в точке в направлении называют величину

12.3 Свойства производной по направлению

1). Скорость изменения функции в точке в направлении равна .

2). Поле в точке в направлении возрастает тогда и только тогда, когда .

3). Поле в точке в направлении убывает тогда и только тогда, когда .

4). Если , то ; если , то .

Действительно, 1) есть изменение функции на участке ,

есть средняя скорость изменения функции на участке ,

есть скорость изменения функции в точке в направлении ;

2) в направлении поле возрастает

;

следующее свойство проверяется так же, как предыдущее свойство;
если, например, , то и потому .

12.4 Формула для вычисления производной по направлению

Пусть функция – дифференцируема в точке . Тогда

где и .

Поделим равенство (8.1) на :

Рассмотрим вектор , называемый градиентом поля , и вектор , равный единичному вектору направления . Тогда равенство (8.2) можно записать в виде

где первое слагаемое есть скалярное произведение векторов и .

В пределе при , стремящемся к нулю, получим:

где ─ градиент скалярного поля , ─ единичный вектор направления .

12.5 Градиент поля и его свойства

Вектор является важной характеристикой скалярного поля. Введем условный оператор (оператор Гамильтона или вектор “набла”). С его помощью удобно записать градиент скалярного поля

Отметим ряд свойств градиента.

1). Скалярное поле в точке быстрее всего возрастает в направлении вектора со скоростью, равной .

2). Скалярное поле в точке быстрее всего убывает в направлении, противоположном вектору , со скоростью, равной .

3). Вектор направлен по нормали к поверхности уровня поля , проходящей через точку .

4). Дифференциальные свойства:

Проверим эти свойства.

1. Из формулы и определения скалярного произведения следует, что

где ─ угол между векторами и . Так как длина единичного вектора равна единице, то

Поэтому принимает наибольшее значение, равное , когда =1, то есть угол между векторами и равен нулю и .

2. Производная будет принимать наименьшее значение, когда , т.е. угол = и .

3. Поверхность уровня поля имеет уравнение . Нормальный вектор этой поверхности совпадает с . Значит, вектор направлен по нормали к поверхности уровня поля , проведенной в точке .

4.1.

аналогично проверяются свойства 4.2), 4.3), 4.4);

для проверки свойства 4.5) учтем, что аналогично, и поэтому

Из первого и третьего свойств следует инвариантное определение градиента, т.е. определение, не зависящее от системы координат:

Градиент скалярного поля в точке есть вектор, который

а) по величине равен наибольшей скорости возрастания поля в точке ,

б) направлен по нормали к поверхности уровня поля , проходящей через точку , в сторону наибольшего возрастания поля.

Пример 1. Найти наибольшую скорость возрастания поля в точке .

Решение. Найдем градиент поля:

Наибольшая скорость возрастания поля в точке равна

Пример 2. Доказать оптическое свойство эллипса: лучи, выходящие из одного фокуса эллипса, после отражения от эллипса проходят через другой фокус эллипса.

Решение. Пусть фокусы эллипса; . Рассмотрим

скалярное поле . По определению эллипса точка принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда , т.е. эллипс есть линия уровня скалярного поля ; поэтому направлен по нормали к эллипсу в точке . Кроме того, этот вектор направлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторах . Длины этих векторов равны единице, поэтому параллелограмм является ромбом и его диагональ является биссектрисой угла ромба, т.е. . Тогда , как углы дополнительные до прямого. Так как то т.е. луч, выходящий из фокуса эллипса, после отражения от эллипса пройдет через другой фокус .

12.6 Векторное поле и векторные линии

Векторное поле – это область пространства, в каждой точке которой задан вектор .

Пример 1. Пусть на материальную точку в области действует сила . Тогда в области определено векторное поле .

Пример 2. Пусть в области происходит течение жидкости и в каждой точке задан вектор скорости частицы жидкости. Тогда в области определено векторное поле скоростей жидкости.

Пример 3. Поместим заряд в начало координат. Тогда сила, с которой этот заряд действует на единичный положительный заряд, помещенный в точку , определяется по закону Кулона:

где ─ вектор, идущий из начала координат в точку (радиус-вектор точки ), ─ его длина. Имеем векторное поле напряженностей , создаваемое зарядом .

Мы будем рассматривать только стационарные поля, для которых вектор поля зависит от точки и не зависит от времени. Проекции вектора на оси координат обозначим . Тогда:

Далее всюду предполагаем, что функции непрерывны вместе со своими частными производными; в противном случае точку поля назовем особой.

Одной из характеристик векторного поля являются векторные линии.

Векторной линией векторного поля называют линию, в каждой точке которой касательный вектор коллинеарен вектору поля (рис. 3).

Векторные линии в конкретных полях имеют ясный физический смысл.

В поле скоростей текущей жидкости векторные линии – это линии тока этой жидкости, т. е. линии, по которым движутся частицы жидкости.

В электрическом поле векторные линии – это силовые линии и их расположение очень важно в физике.

Выведем уравнения векторных линий для поля (для краткости аргументы функций не выписаны).

Пусть уравнения векторной линии , (параметр). Касательным вектором этой линии является вектор и вектор .

По определению векторной линии ее касательный вектор и вектор поля коллинеарны. Поэтому координаты этих векторов пропорциональны, т. е.

Пример 4. Магнитное поле создано электрическим током силы , текущим по бесконечно длинному прямому проводу . Найти силовые линии этого поля.

Решение. Если провод принять за ось некоторой декартовой системы координат, то, как известно из физики,

Запишем уравнения векторных линий для поля :

или .

Из первого уравнения имеем . Из второго уравнения . Таким образом, силовые линии поля есть окружности , расположенные в плоскостях , параллельных плоскости .

Пример 5. Найти векторные линии поля .

Решение. Учитывая, что , запишем систему:

В одном из уравнений этой системы разделим переменные: .

Теперь проинтегрируем и получим

или .

Чтобы решить другое уравнение системы, воспользуемся известным свойством пропорций: если , то . В нашем примере удобно взять , и записать систему уравнений следующим образом: