11. Лекционное занятие. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ.

Положение точки в пространстве можно охарактеризовать с помощью сферических координат , где длина радиус-вектора точки (рис. 1, угол отклонения радиус-вектора точки от оси , угол отклонения проекции на плоскость радиус-вектора точки от оси

Установим связь между прямоугольными и сферическими координатами. Из прямоугольного треугольника имеем . Так как , то

Вычислим якобиан

.

Раскроем определитель по элементам третьей строки

Тогда элемент объема в сферических координатах

Для вычисления тройного интеграла следует

1) заменить на их выражения в сферической системе координат,

2) заменить область изменения переменных на область изменения переменных .

Замечания

1). К сферическим координатам целесообразно переходить, когда тело ограничено сферой , конусом или поверхностью, уравнение которой содержит .

2). Наиболее удобен порядок интегрирования (слева направо) по

3). Сначала расставить пределы интегрирования по (двигаясь по лучу из начала координат), потом ─ по (двигаясь от оси ), потом ─ по .

4). Если уравнение границы области или подынтегральная функция содержат , то следует перейти к обобщенным сферическим координатам

тогда ,

Пример 1. Вычислить момент инерции относительно плоскости однородного (с плотностью ) тела, ограниченного поверхностями

Решение. Момент инерции тела вычислим по формуле

Так как тело ограничено сферой и конусом (рис. 2), то перейдем к сферическим координатам. При этом, учитывая формулы (7.30), уравнение сферы примет вид или ; уравнение конуса примет вид

, или , или .

Используя формулы, получим

Пример 2. Найти объем тела, ограниченного поверхностью

.

Решение. Перейдем к обобщенным сферическим координатам

. В этих координатах

и уравнение поверхности примет вид

или .

По условию , поэтому и . Cоставим таблицу:

Построим точки с вычисленными координатами сначала при , т.е. в

плоскости (рис. 3). Так как уравнение поверхности от не зависит, то при любом получим такую же линию; все эти линии образуют поверхность вращения (рис. 3). Объем тела, ограниченного этой поверхностью, вычислим с учетом соотношения при :

Чтобы расставить пределы изменения , будем двигаться в области по лучам, выходящим из начала координат. На каждом таком луче меняется от значения в начале координат до значения на поверхности, ограничивающей область . Кроме того, эта область заключена между лучами и , . Поэтому

.

11.1 Поверхностный интеграл первого рода

Вычисление поверхностного интеграла 1 рода сводится к вычислению двойного интеграла. Рассмотрим несколько случаев.

Случай 1. Пусть гладкая поверхность задана параметрическими уравнениями

или .

По определению, поверхностный интеграл функции по поверхности есть предел интегральной суммы функции , который не зависит от способа разбиения поверхности на ячейки:

Удобно разбить поверхность на ячейки координатными линиями Выделим одну из таких ячеек (рис. 4). Рассмотрим радиус-векторы точек : Тогда

и площадь ячейки

По аналогии с этим элемент площади поверхности

.

Можно показать (строгое доказательство опускаем), что

Итак, получили следующее правило:

Для вычисления поверхностного интеграла следует

1) в подынтегральной функции подставить вместо их значения на поверхности , т.е. ,

2) заменить элемент площади на выражение ;

3) вычислить получившийся двойной интеграл по области изменения переменных .

Случай 2. Пусть гладкая поверхность задана уравнением, разрешенным относительно : . Присоединив два очевидных тождества, получим параметрические уравнения поверхности

(параметры); тогда ,

и по формуле (7.34) получим .

Итак, для вычисления поверхностного интеграла следует:

1) в подынтегральной функции заменить его значением на поверхности ,

2) заменить элемент площади на выражение ,

3) вычислить получившийся двойной интеграл по проекции поверхности на плоскость .

Случай 3. Пусть гладкая поверхность задана уравнением, разрешенным относительно : . Тогда

Здесь есть проекция поверхности на плоскость .

Случай 4. Пусть гладкая поверхность задана уравнением, разрешенным относительно : . Тогда

Здесь есть проекция поверхности на плоскость .

Пример 1. Найти массу однородной поверхности , , если .

Рис. 5

Решение. Построим поверхность методом сечений. В сечении получаем или . Это – пара прямых в плоскости (рис. 5). В сечении получаем окружность . Таким образом, уравнение определяет коническую поверхность. Массу поверхности найдем с помощью поверхностного интеграла: .

Для вычисления этого интеграла уравнение поверхности удобно разрешить относительно : . Найдем , и затем по первой из формул:

.

Теперь вычислим , подставляя значение на поверхности и

значение :

.

Здесь есть проекция конической поверхности на плоскость , т.е. круг радиусом (рис. 5). Двойной интеграл по кругу удобнее вычислять в полярной системе координат. Для этого заменим на , а на . Получим

.

Пример 2. Найти момент инерции относительно начала координат полусферы , , если плотность .

Решение. Момент инерции относительно начала координат поверхности найдем с помощью поверхностного интеграла по второй из формул (6.13) :

.

На поверхности сферы , . Поэтому

.

Для вычисления этого интеграла разрешим уравнение поверхности относительно , найдем , и затем по первой из формул:

;

.

Подставляя выражение для в интеграл, получим

.

Проекция полусферы на плоскость есть круг радиусом ; равен площади этого круга. Поэтому .

Оглавление

11. Лекционное занятие. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ. 1

11.1 Поверхностный интеграл первого рода 4

Оглавление 9