Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекция 17

.doc

Скачиваний:

132

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

409.09 Кб

Скачать

☆

17. Лекционное занятие. СОЛЕНОИДАЛЬНОЕ ПОЛЕ.

Поле называют соленоидальным, если оно является полем ротора некоторой векторной функции , т.е. ; при этом вектор называют векторным потенциалом поля .

17.1 Свойства соленоидального поля

1). Поле является соленоидальным тогда и только тогда, когда .

2). В соленоидальном поле поток через замкнутую поверхность, не содержащую внутри особых точек поля, равен нулю.

3). В соленоидальном поле потоки через замкнутые поверхности, окружающие все особые точки поля, равны между собой.

4). В соленоидальном поле поток через любое поперечное сечение векторной трубки сохраняет постоянное значение (называемое интенсивностью трубки).

Проверим эти свойства.

Пусть поле ─ соленоидально, т.е.

;

тогда

можно показать, что справедливо и обратное: если , то .

В соленоидальном поле и потому по формуле Остроградского поток через замкнутую поверхность, не содержащую внутри особых точек поля,

Пусть ─ поверхности, окружающие все особые точки поля; их ориентация указана на рис. 1. Обозначим через ─ тело с границей ; внутри тела поле определено, , и потому по формуле Остроградского

С другой стороны, и следовательно,.

Рис. 2

). Рассмотрим векторную трубку поля, т.е. совокупность его векторных линий, пересекающих некоторую замкнутую линию (рис. 79). Пусть

поперечные сечения векторной трубки с указанной на рис. 79 ориентацией;

поверхность векторной трубки, состоящая из векторных линий;

граница тела

Вычислим поток поля через поверхность : с одной стороны, по свойству 2) этот поток равен нулю; с другой стороны, , а , т.к. состоит из векторных линий, значит, вектор поля направлен по касательной к векторной линии, т.е. и . Следовательно, или .

Пример 1. Найти поток поля напряженностей , создаваемого зарядом , через произвольную замкнутую поверхность .

Решение. Дивергенция поля равна нулю, потому поле напряженностей является соленоидальным всюду, где определено (т.е. в точках , отличных от начала координат).

Тогда по свойству 2) соленоидального поля поток поля через любую замкнутую поверхность, не окружающую начала координат, равен нулю.

По свойству 3) соленоидального поля поток поля через замкнутую поверхность, окружающую начало координат, равен, например, потоку этого поля через сферу с центром в начале координат и равен .

17.2 Отыскание векторного потенциала

Прежде всего отметим, что векторный потенциал соленоидального поля определяется с точностью до градиента произвольной функции.

Действительно, так как поле потенциально, то и потому

;

значит, вектор также является векторным потенциалом поля . Поэтому подбором вектора можно добиться того, чтобы одна из координат векторного потенциала равнялась нулю, т.е. можно искать векторный потенциал, например, в виде . Тогда

Так как , то получим систему уравнений

Проинтегрируем первое и второе из равенств по :

;

здесь произвольные функции, не зависящие от переменной интегрирования . Подставляя найденные в третье из равенств, найдем функции

Пример 2. Проверить соленоидальность поля и найти его векторный потенциал.

Решение. Так как , то поле соленоидально, т.е. . Будем искать векторный потенциал в виде . Тогда

Так как то получим систему уравнений

Проинтегрируем первое и второе из этих равенств по :

Подставив эти выражения для в третье из равенств, получим

В частности, можно взять . Тогда векторный потенциал

17.3. Гармонические поля

17.3.1 Гармоническое скалярное поле

Скалярное поле называется гармоническим, если функция удовлетворяет уравнению Лапласа

Правая часть уравнения Лапласа называется оператором Лапласа и обозначается . Оператор Лапласа будет использован в дальнейшем при решении задач математической физики (задач колебания, теплопроводности, диффузии).

В прямоугольной системе координат

и уравнение Лапласа примет вид

Пример 1. Показать, что поле является гармоническим в пространстве , а поле является гармоническим в пространстве .

Решение. 1). По свойствам градиента .

По свойствам дивергенции .

Учитывая, что в пространстве , , получим:

2). В пространстве для поля имеем:

17.3.2 Гармоническое векторное поле

Векторное поле , являющееся одновременно и потенциальным, и соленоидальным, называется гармоническим векторным полем.

Отметим следующие свойства гармонического векторного поля.

1). Гармоническое векторное поле обладает скалярным и векторным потенциалом.

2). Скалярный потенциал является функцией гармонической.

3). Для гармонического векторного поля его координаты являются функциями гармоническими.

Проверим эти свойства.

1). Первое свойство следует из определения, т.к. потенциальное поле обладает скалярным потенциалом, а соленоидальное поле обладает векторным потенциалом.

2). Так как гармоническое поле потенциально, то оно обладает скалярным потенциалом и представимо в виде . С другой стороны, гармоническое поле является соленоидальным, поэтому