4. Лекционное занятие. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН.

Рассмотрим интегралы следующих трех типов:

где или . Отметим, что интегралы 1-го и 2-го типа при возникают при интегрировании дробно-рациональных функций.

Укажем общие рекомендации по отысканию интегралов этих трех типов.

В интеграле выделить из квадратного трехчлена полный квадрат.

В интеграле выделить в числителе производную квадратного трехчлена.

В интеграле вынести из-под корня.

Пример 1. Найти интеграл .

Имеем интеграл первого типа при . Выделим из квадратного трехчлена полный квадрат: .

Используя это равенство и формулу (13) п.12.3, получим

Пример 2. Найти интеграл .

Имеем интеграл второго типа при . Найдем производную квадратного трехчлена и выделим ее в числителе следующим образом:

.

Тогда

Второй интеграл в этой сумме был найден в примере 1:

В первом интеграле воспользуемся тем, что

Обозначив , окончательно получим:

Пример 3. Найти интеграл .

Имеем интеграл третьего типа. Вынесем из-под корня:

.

Воспользуемся тем, что ,

.

Используя эти равенства и формулу (12) п.12.3, получим

.

Интегрирование дробно-рациональных функций

Дробно-рациональной функцией или рациональной дробью называется отношение двух многочленов: .

Если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, т.е. , то рациональная дробь называется правильной. В противном случае рациональная дробь называется неправильной.

Интегрирование дробно-рациональной функции проводится в несколько этапов. Сначала мы перечислим эти этапы, а потом подробно поясним каждый из них на примере. Итак, для интегрирования дробно-рациональной функции следует:

1) если рациональная дробь неправильная, то выделить из нее целую часть и правильную рациональную дробь : ;

2) знаменатель дроби разложить на линейные множители , и квадратные множители , … с действительными коэффициентами;

3) правильную рациональную дробь разложить методом неопределенных коэффициентов на простейшие дроби

4) найти неопределенные (неизвестные пока) коэффициенты

;

5) найти интегралы от целой части и простейших дробей.

Поясним все сказанное на примерах.

Пример 4. Найти интеграл .

Подынтегральная функция есть правильная рациональная дробь, так как степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе. Кроме того, знаменатель уже разложен на линейные множители. Поэтому сразу переходим к разложению рациональной дроби на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами:

.

Умножив это равенство на , получим:

.

Подставив в это равенство последовательно , получим , , . Таким образом,

Мы нашли коэффициенты разложения методом частных значений.

Теперь подставим найденные значения в равенство:

.

Проинтегрируем полученные простейшие дроби:

Пример 5. Найти интеграл .

Подынтегральная функция есть неправильная рациональная дробь, так как степень многочлена в числителе больше степени многочлена в знаменателе. Поэтому выделим из неправильной дроби ее целую часть, поделив числитель на знаменатель. В результате деления получим

.

Теперь знаменатель получившейся правильной дроби разложим на множители , а саму правильную дробь на простейшие дроби:

.

Умножив это равенство на , получим:

.

Подставив в это равенство значения , получим

Для отыскания коэффициента можно либо в равенстве (14.5) подставить еще одно частное значение , либо в правой и левой частях равенства (14.5) приравнять коэффициенты при одинаковых степенях , например, при : .

Тогда Подставляя найденные в равенство (14.4) и используя равенство (14.3), окончательно получим

Пример 6. Найти интеграл .

Подынтегральная функция есть правильная рациональная дробь, так как степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе. Квадратный трехчлен в знаменателе имеет отрицательный дискриминант, следовательно, он не имеет действительных корней и не разлагается на линейные множители с действительными коэффициентами. Поэтому перейдем к разложению рациональной дроби на простейшие:

.

Умножив это равенство на , получим

.

Подставив в это равенство значения получим:

или .

Кроме того, в правой и левой частях равенства сравним коэффициенты при : Итак, Используя равенство, получим

.

Найдем первый интеграл: .

Для отыскания второго интеграла выделим в числителе производную квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе:

Складывая , и вводя , получим искомый интеграл:

Пример 7. Найти интеграл .

Здесь разложение знаменателя на линейные и квадратичные множители и разложение дроби на простейшие требуют громоздких выкладок. Значительно проще вынести из скобки :

и воспользоваться тем, что .

Тогда

Пример 8. Найти интеграл .

Решение. Как и в предыдущем примере, разложение знаменателя на линейные и квадратичные множители и разложение дроби на простейшие требуют громоздких выкладок. Удобнее воспользоваться тем, что . Тогда

.

Интегрирование по справочникам

Для отыскания неопределенных интегралов издаются обширные справочники (см. [5], [6]). При пользовании такими справочниками надо внимательно познакомиться с принципами, по которым в них группируются интегралы. Для успешного использования справочников надо знать свойства неопределенных интегралов и основные методы интегрирования, так как многих интегралов в справочниках нет, но их легко можно привести к табличным интегралам с помощью некоторых преобразований.

Например, интеграл отсутствует в справочниках. Прежде чем использовать справочники, надо выделить из квадратного трехчлена полный квадрат и сделать замену переменной , .

Тогда

.

Каждый из трех получившихся интегралов есть в справочниках. После их отыскания надо подставить .

Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции

Мы рассмотрели классы элементарных функций, интегралы от которых выражаются через элементарные функции.

На практике часто встречаются и такие элементарные функции, интегралы от которых нельзя выразить через элементарные функции.

Отметим ряд интегралов, не выражающихся через элементарные функции, но имеющих большое прикладное значение:

С некоторыми из этих интегралов вы позднее встретитесь, например с первым интегралом – в теории вероятностей, со вторым и третьим интегралами – в физике.

Оглавление

4. Лекционное занятие. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН. 1

Интегрирование дробно-рациональных функций 2

Интегрирование по справочникам 6

Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции 6

Оглавление 7