1. Лекционное занятие. Первообразная, ее свойства. Неопределенный интеграл, его свойства.

1. Определение первообразной функции.

Ранее рассматривалось понятие производной функции, ее геометрический смысл, свойства, правила нахождения. Во многих технических задачах требуется решение обратной задачи: отыскание функции по заданной ее производной функции. Например, задача об определении закона прямолинейного движения материальной точки по заданной ее скорости .

Решение сформулированной задачи основано на понятии первообразной функции.

Определение. Функция , определенная на промежутке , называется первообразной функцией (или просто первообразной) для функции на , если в любой точке этого промежутка функция дифференцируема и имеет производную , равную : .

Пример. Функция является первообразной для на , так как для любого имеем .

Для одной и той же функции существует бесконечное множество первообразных. Например, для первообразными на являются также функции , и вообще , где – произвольное число, поскольку для любого .

Аналогичные рассуждения верны и для первообразной произвольной функции .

Свойства первообразных описываются легко проверяемыми теоремами.

Теорема 1. Если – первообразная для функции на , то функция , где – произвольное число, также является первообразной для на .

Теорема 2. Если и – произвольные первообразные для на , то значение разности этих первообразных в каждой точке есть одно и то же число, т.е. на , где – некоторое число.

Теоремы 1 и 2 показывают, что если функция имеет первообразную , то множество функций , где и , образует множество всех первообразных для функции на .

Для множество всех первообразных есть множество функций , , .

Определение. Множество всех первообразных для функции на промежутке называется неопределенным интегралом функции на и обозначается символом .

Выражение называется подынтегральным выражением, – подынтегральной функцией, – переменной интегрирования, – произвольной постоянной. Процедуру отыскания неопределенного интеграла функции называют интегрированием функции (будем говорить, что "интеграл вычисляется").

Если – какая-либо первообразная функции на , то в силу определения неопределенного интеграла и свойств первообразных имеем , , .

Для краткости это равенство записывается обычно в виде

.

Пример. Проверить формулу , или .

Решение. Используя определение абсолютной величины , можем записать

На интервале имеем , поэтому для функции на функция является первообразной.

На интервале имеем , поэтому для функции на первообразная имеет вид .

1.2 Свойства неопределенного интеграла

Свойства неопределенного интеграла базируются на свойствах дифференциала функции.

Напомним, что если – дифференцируемая в точке функция, то произведение

является дифференциалом функции в точке соответственно приращению аргумента .

Для дифференцируемых функций и правила действий над их дифференциалами аналогичны правилам вычисления производных (здесь и везде далее – произвольное число), а именно:

;

; ;

; ;

.

Для первообразной функции из соотношения , имеем или – подведение функции под дифференциал.

Используя указанные равенства, получаем следующие свойства неопределенного интеграла.

Свойство 1. ,

т.е. производная неопределенного интеграла (производная каждой функции множества всех первообразных ) равна подынтегральной функции.

Свойство 2. ,

т.е. дифференциал неопределенного интеграла (дифференциал каждой функции множества всех первообразных) равен подынтегральному выражению.

Иначе, знаки дифференциала и интеграла взаимно уничтожаются, если знак "" стоит перед знаком "".

Свойство 3. ,

т.е. неопределенный интеграл от дифференциала какой-либо функции равен сумме этой функции и произвольного числа . Иначе, если знак "" стоит рядом и перед знаком "", то эти знаки тоже взаимно уничтожаются, причем к функции прибавляется произвольное число .

Свойство 4. – аддитивность по функции операции интегрирования, т.е. неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме неопределенных интегралов от этих функций (предполагается, что все участвующие в равенстве интегралы существуют). При этом, если и , то записывают , объединяя и в одну произвольную постоянную .

Свойство 4 верно для суммы конечного множества слагаемых.

Свойство 5. , , –

Однородность операции интегрирования, т.е. при вычислении неопределенного интеграла постоянный ненулевой множитель можно выносить за знак интеграла (соответственно можно вносить под знак интеграла).

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. В силу свойства 4 имеем .

Согласно свойству 5 выполняются равенства: , , .

Из ранее рассмотренных примеров имеем и . Поэтому . Отсюда в силу свойства 3 .

Свойство 6. Пусть – первообразная для на ; функция – произвольная дифференцируемая на функция, множество значений которой совпадает с . Тогда равенство сохраняется, если заменить в обеих частях его переменную интегрирования функцией

, .

В самом деле, вычисляя дифференциал сложной функции , получим выражение

,

совпадающее с подынтегральным выражением интеграла, что доказывает справедливость формулы.

Свойство 6 называют обычно свойством инвариантности формул интегрирования и используют при вычислении интегралов (замена переменной).

Пример. Равенство в силу свойства 6 можно записать в виде , где (или ) – произвольная дифференцируемая функция, и использовать в качестве формулы для вычисления многих интегралов. Например, , , , .

Заметим, что более общая формула ( – произвольное число, ) следует из равенства , если использовать свойство 6.

Аналогично из каждой формулы дифференцирования элементарной функции путем ее обращения получается "интегральная" формула . Подобные формулы составляют таблицу основных интегралов, которые называются для краткости "табличными".

В практике вычисления неопределенных интегралов обычно пользуются специальными справочниками.

1.3 Таблица неопределенных интегралов

1. , . 2. .

3. , .

4. . 5. .

6. . 7. .

8. . 9. .

10. .

11. .

12. . 13. .

14. .

15. .

Все формулы таблицы интегралов можно проверить, опираясь на определение неопределенного интеграла. Например, справедливость формулы 12 следует из равенств

.

1.4 Непосредственное интегрирование с помощью табличных интегралов

Сведение исходного интеграла к табличному тесно связано с операцией подведения функции под знак дифференциала: . Функция – какая-то первообразная для и ее подбирают, используя формулы дифференцирования и правила дифференцирования. Например, имеем (для из ОДЗ функций):

; ;

; ;

; ;

;

; ;

; и т.д.

Оглавление

1.Лекционное занятие. Первообразная, ее свойства. Неопределенный интеграл, его свойства. 1

1.1Определение первообразной функции. 1

1.2 Свойства неопределенного интеграла 5

1.3 Таблица неопределенных интегралов 11

1.4 Непосредственное интегрирование с помощью табличных интегралов 13