6. Лекционное занятие. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

6.1 Площадь плоской фигуры

Пусть фигура в плоскости ограничена линиями , причем непрерывная неотрицательная функция на (рис. 1). Разобьем отрезок на частичных отрезков с длинами . Через точки деления проведем вертикальные прямые, которые разделят фигуру на

Рис. 1

вертикальных полосок. Каждую -ю вертикальную полоску заменим прямоугольником с основанием, равным , и высотой, равной , где − произвольно выбранная точка на -м частичном отрезке. Площадь такого прямоугольника

Суммируя площади всех прямоугольников, получим

Площадь заданной фигуры определяется как предел полученной суммы при стремлении к нулю . Мы получили предел интегральной суммы непрерывной функции по отрезку , то есть интеграл . Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями , при условии, что , вычисляется по формуле

или .

Пример 1 . Вычислить интеграл

Р

Рис. 2

ешение. Интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной линиями , , . Построим эти линии, учитывая, что уравнение определяет ту часть окружности , где (рис. 2). Полученная фигура есть четверть круга с площадью . Таким образом,

Перейдем к более общему случаю. Пусть фигура в плоскости ограничена линиями причем на (рис. 3). Как и в предыдущем случае, можно получить следующую формулу для площади такой фигуры:

Иногда вычисления значительно упрощаются, если поменять ролями оси и . Пусть фигура в плоскости ограничена линиями , причем на отрезке (рис. 4). Тогда

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Р

Рис. 4

ешение. Построим заданные линии и заштрихуем фигуру, ограниченную этими линиями (рис. 5). Снизу фигура ограничена линией , сверху – линией , . Для вычисления площади фигуры воспользуемся формулой (7.11):

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Р

Рис. 5

ешение. Уравнение или определяет параболу с вершиной , осью симметрии − осью OX (рис. 6). Уравнение определяет прямую, проходящую через точки , . Найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений: , . Получим точку и точку .

Вычислим площадь фигуры по формуле. Для этого нужно записать уравнения кривых, ограничивающих фигуру, в виде, разрешенном относительно . Слева фигура ограничена дугой параболы CAB, на которой , справа – отрезком прямой BC, на котором ; y меняется от до . Поэтому по формуле имеем

6.2 Объем тела вращения

Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси фигуры, ограниченной непрерывной кривой , осью и прямыми (рис. 7). Разобьем отрезок на частей точками Проведем через точки деления плоскости, перпендикулярные оси . Сечение тела вращения плоскостью есть круг радиусом с площадью . Проведенные плоскости разобьют тело на слои. Каждый -й слой

приближенно заменим прямым цилиндром (рис. 7) с радиусом , высотой и объемом

Сумма объемов всех цилиндров равна .

Объем тела вращения определяется как предел этой суммы

при стремлении к нулю величины . Мы получили предел интегральной суммы непрерывной функции по отрезку , который существует и равен интегралу

Итак, объем тела, полученного при вращении вокруг оси фигуры, ограниченной кривой , осью и прямыми , вычисляется по формуле

или .

Аналогично вычисляется объем тела, полученного при вращении вокруг оси фигуры, ограниченной линией , осью , прямыми (рис. 8):

или .

Пример 1. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями ,

а) вокруг оси , б) вокруг оси .

Решение. Построим параболу прямые и заштрихуем фигуру, ограниченную этими линями (рис. 31).

а

Рис.9

). Объем тела, полученного при вращении этой фигуры вокруг оси , вычислим по формуле:

Подынтегральная функция − четная, поэтому используем следствие 2 к теореме.

б). Для вычисления объема тела вращения фигуры вокруг оси нельзя непосредственно воспользоваться формулой, так как фигура сверху ограничена не прямой, а параболой. Поэтому сначала рассмотрим фигуру, ограниченную прямой , осью , прямыми . При ее вращении вокруг оси получим цилиндр, объем которого можно вычислить по формуле или по формуле

Теперь рассмотрим фигуру, ограниченную линиями осью и прямой . При ее вращении вокруг оси получим тело, объем которого вычислим по формуле:

Тогда искомый объем будет равен

Оглавление

6. Лекционное занятие. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 1

6.1 Площадь плоской фигуры 1

6.2 Объем тела вращения 4

Оглавление 6