Учебник по математике Ч1 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с

82 Гл. 2. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений

б) из каждой строки, кроме последней, вычесть все последую­ щие строки;

в) из каждой строки, кроме последней, вычесть последующую строку, из последней строки вычесть прежнюю первую строку;

г) его матрицу «повернуть на 90° вокруг центра»; д) первый столбец переставить на последнее место, а остальные

передвинуть влево, сохраняя их расположение.

3. Основныеметодывычисления определителейп-го порядка. Метод понижения порядка определителя основан на следующем соотно­ шении (г фиксировано):

собой (с точностью до знака (—1)г+*) определитель (п —1)-го порядка, получающийся из исходного определителя вычеркиванием г-й строки и

столбцу. Прежде чем применять метод понижения порядка, полезно, используя основные свойства определителя, обратить в нуль все, кроме одного, элементы его некоторой строки (столбца).

< Из первой строки вычтем, а ко второй прибавим удвоенную третью. Полученный определитель разложим по первому столбцу. Имеем

84 Гл. 2. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений

Пусть наше утверждение доказано для определителей Вандермонда по­ рядка п —1, т.е.

1) п—\~ Н (а*

Преобразуем определитель Ип следующим образом: из последней п-й строки вычитаем (п —1)-ю, умноженную на ах и, вообще, последова­ тельно вычитаем из к-й строки (к —1)-ю, умноженную на ах. Получаем

Разложим последний определитель по первому столбцу и вынесем из всех столбцов общие множители. Определитель принимает вид

1 1 1 1

Получили рекуррентное соотношение. Используя предположение индук­ ции, окончательно выводим:

= (а2 - а х) { а з - а 1) ... ( а п - а 1) Д (а * -^ ) = Д (а » -^ )- > 2^'<г^п 1^‘<г^п

Вычислить определители, используя подходящее разложение по строке или столбцу:

Суммой А + В ( т х п) -матриц А = (о^) и В = (6^) называется матрица С — (с^) того же порядка, каждый элемент которой равен сумме соответственных элементов матриц А и В:

ное или комплексное) называется матрица В = (Ь^), получающаяся из матрицы А умножением всех ее элементов на а:

Ьч = аац , г = 1 , 2 , ... ,т , j = 1 , 2 , ... , п.

Произведением АВ (т х п)-матрицы А = (а^) ка (п х к)-матрицу

В = (Ьу) называется (т х А:)-матрица С = (с*.,), элемент которой с^-, стоящий в г-й строке и ]-и столбце, равен сумме произведений соответ­ ственных элементов г-й строки матрицы А и ^'-го столбца матрицы В\

Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ = В А.

Найти все матрицы, перестановочные с данной: I

2.101. Как изменится произведение А В матриц А и В , если: а) переставить г-ю и З-ю строки матрицы А, б) к г-й строке матрицы А прибавить ^-ю строку, умноженную

Квадратная матрица В называется симметричной, если В Т = В. Квадратная матрица С называется кососимметричной, если Ст = —С.

2.105. Доказать, что любую матрицу А можно представить, и при этом единственным образом, в виде А = В + С, где В — симметричная, а С — кососимметричная матрицы.

2. Обратная матрица. Квадратная матрица А называется вырожден­ ной (особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (неособенной) в противном случае. Если А — невырожденная матрица, то существует и притом единственная матрица А~1 такая, что

АА-1 — А~1А = Е,

90 Гл. 2. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений

где Е — единичная матрица (т. е. такая, на главной диагонали которой

стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю). Матрица А-1 называется обратной к матрице А.

Укажем основные методы вычисления обратной матрицы.

Метод присоединенной матрицы. Присоединенная матрица А''/определяется как транспонированная к матрице, составленной из ал­ гебраических дополнений соответствующих элементов матрицы А (см.

формулу (5) из §1). Таким образом,

Справедливо равенство

А^А = АА^ = й& А - Е.

Отсюда следует, что если А — невырожденная матрица, то

Пример 1. Методом присоединенной матрицы найти А 1, если

< Имеем det А = —4. Найдем алгебраические дополнения соответству­ ющих элементов матрицы А:

Поэтому