Учебник по математике Ч1 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с

Цилиндрической поверхностью (цилиндром) называется поверх­ ность, инвариантная относительно преобразований параллельного пере­ носа T(tq), определяемых любым вектором, коллинеарным некоторому

линдру, называются его образующими; всякая кривая Г, лежащая на цилиндре и пересекающая все его образующие, называется направляю­ щей этого цилиндра.

Пусть q = .{/, m, n} — любой вектор, коллинеарный оси цилиндра 5, а направляющая Г задана уравнениями

Fi{x, у, z) = 0, F2{x, у, Z ) = 0.

Точка М(х, у, z) принадлежит цилиндру 5 в том и только том случае, когда существует число t такое, что точка с координатами x + tl, у + tm, Z + tn лежит на образующей Г, т. е.

Исключая параметр t из системы (10), получим соотношение вида F (x, у, z) —0, которое и является уравнением заданного цилиндра.

Пример 4. Написать уравнение цилиндра, ось которого совпадает с координатной осью Oz, а направляющая задана уравнениями F (x, у) — = 0 , г —h = 0 .

<3 Полагая q = к = {0, О, 1), получим систему (10) в виде F (x , у) = 0, z+ t —h = 0. Этот результат означает, что точка М(х, у, z) принадлежит цилиндру в том и только том случае, когда ее координаты х и у удовле­ творяют уравнению F(x, у) = 0 при произвольном значении координаты 2 . Следовательно, уравнение F(x, у) = 0, описывающее проекцию на­ правляющей на плоскость Оху, и есть уравнение заданного цилиндра, о

Построить заданные цилиндрические поверхности:

72 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия

1.403. Составить уравнения трех цилиндрических поверхно­ стей, описанных около сферы х 2 + у2 + z 2 — 2 ax = 0 с осями, параллельными соответственно: а) оси Ох; б) оси Оу; в) оси Oz.

1.404. Найти уравнение цилиндра, проектирующего окружность

на плоскость: а) Оху; б) Oxz; в) Oyz.

1.406. Составить уравнение поверхности, каждая точка которой

1.408. Сфера x 2+ y 2+ z 2 = 4z освещена лучами, параллельными прямой х = 0, у — z. Найти форму тени сферы на плоскости Оху.

Конической поверхностью (конусом) называется поверхность, ин­ вариантная относительно преобразований гомотетии Н(к, Мо) с произ­

вольным коэффициентом к и центром в некоторой точке Мо(хо, уо, z0), называемой вершиной конуса. Из этого определения следует, что если

зываемая образующей конуса, целиком лежит на конусе. Всякая кривая Г, лежащая на конусе и пересекающая все его образующие, называется

направляющей этого конуса.

Пусть задан конус 5 с вершиной Мо(хо> Уо, zo) и направляющей

Fx{x, у, z) = 0,

Щ х , у, z) = 0 .

74 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия

1.411. Составить уравнение конуса, вершина которого нахо­ дится в начале координат, а направляющая задана уравнениями:

Построить соответствующие конусы.

1.412. Составить уравнение конуса, если заданы координаты

1.414. Составить уравнение кругового конуса, для которого оси координат являются его образующими.

1.415. Составить уравнения проекций линии пересечения сферы х 2 + у2 + г 2 = а2 с конусом ж2 + у2 — г 2 = 0 на координатные плос­ кости:

а) Ожу; б) Охг\ в) Оуг.

1.416. Источник света, находящийся в точке Мо(5, 0, 0), осве­ щает сферу а:2 + у2 + х 2 = 9. Найти форму тени на плоскости

Оуг.

Поверхностью вращения называется поверхность, инвариантная от­ носительно поворотов и) на любой угол у вокруг некоторой фик­ сированной оси и. Эта поверхность может быть получена вращением вокруг оси и кри­ вой, получающейся в сечении поверхности любой плоскостью, проходящей через эту

2 ) = 0. (14)

Уравнение (14) и есть искомое уравнение заданной поверхности вра­ щения. [>

1.417. Составить уравнение поверхности, образованной враще­

Построить обе поверхности.

1.418. Составить уравнение поверхности, образованной враще­

Построить обе поверхности.

1.419. Составить уравнение поверхности, образованной враще­

сти вращения с осью вращения Ох. Написать уравнение кривой в плоскости г = 0 , вращением которой получена эта поверхность.

х 2 + у2 г 2

1.421. Показать ч то ----- х--------- - = 1 есть уравнение поверхно-

ог с

сти вращения. Найти ее ось вращения и уравнения какой-нибудь кривой, вращением которой образована эта поверхность.

Г л а в а 2

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

§1. Определители

1.Определители 2-го и 3-го порядков. Квадратная таблица

оц а \2

021 022

составленная из четырех действительных (или комплексных) чисел, на­ зывается квадрат ной матрицей 2-го порядка. Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице А (или просто — определителем матрицы А), называется число

— квадратная матрица 3-го порядка, то соответствующим ей определи­ телем 3-го порядка называется число

= апОггОзз + 021032013 + + 012023031 —013022031 —

—012021033 —ацагзазг- (1)

Определители 3-го порядка обычно вы­ Рис. 34 числяются с использованием следующего правила Саррюса: одно из трех сла­

гаемых, входящих в правую часть (1) со знаком плюс, есть произведе­ ние элементов главной диагонали матрицы А, каждое из двух других — произведение элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, и

элемента из противоположного угла матрицы (рис. 34а), а слагаемые, входящие в (1) со знаком минус, строятся таким же образом, но относи­ тельно второй (побочной) диагонали (рис. 346).

рядка необходимо и достаточно, чтобы его строки были пропорци­ ональны (т.е. чтобы элементы одной строки получались из соот­ ветствующих элементов другой строки умножением на одно и то же число). То же верно и для столбцов.

78 Гл. 2. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений

Решить уравнения:

б) если все элементы строки (столбца) умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число;

в) если переставить две строки (столбца) определителя, то он изменит знак; в частности, если две строки (столбца) определи­ теля равны, то он равен нулю;

г) если каждый элемент некоторой строки (столбца) определи­ теля представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом опре­ делителе стоят первые, а во втором — вторые слагаемые;

д) если одна строка (столбец) является линейной комбинацией остальных строк (столбцов), то определитель равен нулю.

Используя свойства определителя 3-го порядка, перечисленные в задаче 2.23, доказать следующие тождества (определители не

80 Гл. 2. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений

Говорят, что пара элементов (г, э) образует инверсию в подстановке 7Г, если г < .7, но а* > Число 5(7г) всех инверсных пар определяет четность подстановки: подстановка называется четной, если в(7г) — четное число, и нечетной, если в(7г) — число нечетное.

Пример 1. Определить четность подстановки

и подсчитаем число инверсий. Так как инверсии образуют пары (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), то в(7г) = 4 и 7г — четная подстановка. >

Определителем п-го порядка, соответствующим квадратной матрице

где сумма берется по всем подстановкам 7г п-го порядка.

Для определителя п-го порядка выполняются основные свойства, ана­ логичные свойствам а)-д) из задачи 2.23.

2.34.На множестве {1, ..., 6} найти подстановку 7г, если 7г(А:) является остатком от деления числа ЗА; на 7. Определить ее чет­ ность.

2.35.На множестве {1, . . 8 } найти подстановку 7г, если тт(к) является остатком от деления числа 5к на 9. Определить ее чет­ ность.