Учебник по математике Ч1 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с

62 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия

катится без скольжения по окружности х2 + у2 = Ъ2, оставаясь вне ее (в начальный момент точка М находится в положении А(Ь, 0)). В частном случае a = b соответствующая кривая называется кардиоидой.

й

кривая совпадает с траекторией точки М окружности радиуса а, которая

катится без скольжения по окружности х2 + у2 = Ь2, оставаясь внутри ее (в начальный момент точка М находится в положении А(Ь, 0)). В част-

ном случае а —-b эта кривая совпадает с астроидой.

13.Полукубическая парабола у3 = ах2 (рис. 23).

14.Петлевая парабола ау2 = х(х —а)2 (рис. 24).

15.Декартов лист х3 + yz —Ъаху = 0 (рис. 25).

8аз 16. Локон Аньези у = 2 ■^ 2 (рис. 26).

§4. Поверхности и кривые в пространстве

1.Уравнения поверхности и кривой в декартовой прямоугольной си стеме координат. Говорят, что поверхность S в системе координат Oxyz имеет уравнение

если выполнено следующее условие: точка М(х, у, z)принадлежит по­ верхности S в том и только том случае, когда ее координаты х ,у и z удо­ влетворяют соотношению (1). Если, в частности, F(x, у, z) = f(x , y)—z, то уравнение (1) может быть записано в виде

и в этом случае поверхность S совпадает с графиком функции двух пере­ менных f(x , у).

Кривая Г в пространстве в общем случае определяется как линия

Пример 1. Вывести уравнение поверхности, каждаяточка которой расположена вдвое ближе к точке А(2, 0, 0), чем к точке В ( —4, 0, 0).

< Если 5 — поверхность, заданная условиями задачи, то М(х, у, z) G S в том и только том случае, когда р(М, В ) = 2р{М, А) или

\/(х + 4) 2 + у2 + z2 = 2\/(х - 2) 2 + у2 + z2.

Уравнение (4) и есть искомое уравнение поверхности. Из него видно, что заданная поверхность Б есть сфера радиуса 4 с центром в точке М0 (4, 0, 0). о

Пример 2. Исследовать форму кривой Г, заданной уравнениями

Определить вид ее проекции на плоскость Оху.

<1 Кривая Г задана как линия пересечения сферы (а; - I) 2 + у2 + г 2 = 36 с плоскостью у + г = 0 и, следовательно, есть окружность. Так как

центр сферы (7(1, 0 , 0) лежит в плоскости сечения у + г = 0, то центр окружности совпадает с точкой С, а ее радиус равен радиусу сферы, т. е. Я = 4.

Установим форму проекции окружности Г на плоскость Оху. Ис-

1.356. Вывести уравнение поверхности, разность квадра­ тов расстояний от каждой точки которой до точек 1*1 (2 , 3, —5) и 1*2 (2 , —7, —5) равна 13.

1.357. Вывести уравнение поверхности, сумма квадратов рас­ стояний от каждой точки которой до точек 1*1 (—а, 0 , 0 ) и 1*2 (а, 0 , 0 ) равна постоянному числу 4а2.

64 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия

1.358. Вывести уравнение поверхности, сумма расстояний от каждой точки которой до точек Рг(0, 0, - 4 ) и ^ ( 0 , 0, 4) равна 10.

1.359. Вывести уравнение поверхности, модуль разности рас­ стояний от каждой точки которой до точек Ру (0, —5, 0) и 1^(0, 5, 0) равен 6 .

1.360. Установить, что каждое из следующих уравнений опре­ деляет сферу, найти ее центр С и радиус Я :

а) х 2 + у2 + г 2 - 6г = 0 ; б) х 2 + у2 + г 2 — Ах — 2у + 2г — 19 = 0.

1.361. Составить уравнение сферы в каждом из следующих слу­

1.362. Составить уравнение сферы, центр которой лежит на прямой

Г 2х + Ау — г — 7 = 0 , [ Ах + Ъу + г — 14 = 0

и которая касается плоскостей х + 2 у —2 г —2 = 0 и х + 2 у —2г+А ~ 0. 1.363. Составить уравнение сферы, вписанной в тетраэдр, обра­

зованный плоскостями

Зх — 2у + 6 г — 8 = 0, х = 0 , у = 0 , г = 0.

1.364. Составить параметрические уравнения диаметра сферы х 2 + у2 + г 2 —2х —6 у + г —11 = 0 , перпендикулярного к плоскости 5х — у + 2г — 17 = 0.

1.365. На сфере (х —1)2+ (у + 2 )2+ ( г —З)2 - 25 найти точку Мо, ближайшую к плоскости Зх —4г + 19 = 0, и вычислить расстояние от этой точки до плоскости.

1.366. Определить, как расположена плоскость относительно сферы (пересекает, касается или проходит вне ее), если плоскость

в) х = 5, х 2 + у2 + г 2 — 2х + 4у — 2г — А = 0.

1.367. Установить, какие кривые определяются следующими уравнениями:

Указание . Центр окружности есть проекция центра сферы на плос­ кость.

1.369. Найти проекцию на плоскость г — 0 сечения сферы х 2 + + у 2 + г 2 — 4(х — 2 у — 2г) плоскостью, проходящей через центр сферы и перпендикулярной к прямой х = 0 , у + г = 0 .

1.370. Точки А (3, —2, 5) и В ( —1, 6 , —3) являются концами диаметра окружности, проходящей через точку (7(1, —4, 1). Со­ ставить уравнения этой окружности.

1.371. Составить уравнения окружности, проходящей через три точки М\(Ъ, —1, - 2 ) , М2 (1 , 1, —2) и М з(-1 , 3, 0).

2. Алгебраические поверхности второго порядка. Алгебраической по верхностью второго порядка называется поверхность Б, уравнение ко­ торой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид

Ах2 + В у 2 + С г2 + 2Оху + 2Е хг + 2Руг + й х + Ну + 1г + К —0,

(6)

где не все коэффициенты при членах второго порядка одновременно равны нулю (в противном случае Б — алгебраическая поверхность первого по­

рядка, т. е. плоскость).

Может оказаться, что уравнение (6 ) определяет так называемую вы­ рожденную поверхность (пустое множество, точку, плоскость, пару плос­ костей). Если же поверхность невырожденная, то преобразованием де­ картовой прямоугольной системы координат ее уравнение (6 ) может быть приведено к одному из указанных ниже видов, называемых канониче­ скими и определяющих тип поверхности.

68 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия

5. Цилиндр второго порядка х и

в) параболический: у2 = 2рх, р > 0 (рис. 31в).

Общие методы приведения уравнения (6 ) к каноническому виду опи­ раются на теорию квадратичных форм и рассматриваются в п. 4 § 3 гл. 3. Цель настоящего пункта состоит в изучении основных геометрических свойств невырожденных поверхностей второго порядка с использованием их канонических уравнений.

Одним из основных методов исследования формы поверхности по ее уравнению является метод сечений.

Пример 3. Методом сечений исследовать форму и построить по­ верхность, заданную уравнением

< В сечении поверхности горизонтальной плоскостью г = Н имеем кри­ вую Гд, проекция которой на плоскость Оху определяется уравнением

или

(8)

Уравнение (8 ) при И > 2 не имеет решений относительно (х, у). Это означает, что соответствующее сечение пусто, т. е. рассматриваемая по­ верхность целиком расположена ниже плоскости г = 2. При Л ^ 2 урав­

нение (8 ) определяет эллипс с полуосями а = 4\/2 —Л и Ъ = 5%/2 —Л, вырождающийся в точку х = у = 0 при И = 2. Заметим, что все эл­ липсы, получающиеся в сечениях поверхности плоскостями г = Н ^ 2,

подобны между собой причем с уменьшением к их

полуоси неограниченно и монотонно возрастают.

Полученной информации достаточно, чтобы построить эскиз поверх­ ности. Дальнейшее уточнение ее формы можно получить, если рассмо­ треть сечения координатными плоскостями Оху и Оух. Сечение плоско­

стью Охг: у = 0 дает кривую х2 = 16(2 —г), т.е. параболу с параметром р = 8 , вершиной в точке х = 0 , г = 2 и ветвями, направленными в сторону убывания значений г. Наконец, сечение плоскостью Оуг: х = 0

25 дает параболу у2 = 25(2 —£) с параметром р = — , вершиной в точке

у = 0 , г = 2 и аналогично направленными ветвями.

Выполненное исследование позволяет теперь достаточно детально изо­ бразить заданную поверхность (рис. 32).

Заданная поверхность есть эллиптический параболоид. Преобразо­ вание координат

х' = х, у' = у, г' = 2 - г

(которое сводится к сдвигу начала в точку (0 , 0 , 2 ) — вершину параболо­ ида и обращению направления оси Ог) приводит его исходное уравнение

Установить тип заданных поверхностей и построить их:

X 2 II2 Т 2 1]2 2 2

70 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия

1.387. Составить уравнения проекций на координатные плос­ кости сечения эллиптического параболоида у 2 + г 2 = х плоскостью

Указание. Перейти и параметрическим уравнениям прямой.

1.390. Доказать, что в каждом из указанных ниже случаев за­ данные поверхность и плоскость имеют одну общую точку, найти ее координаты:

образующим (т. е. прямым, целиком лежащим на этой поверхно­ сти). Составить уравнения этих образующих.

1.392. Доказать, что плоскость 4х —5у —1 0 2 — 20 = 0 пересекает

ства. Выделяют три класса поверхностей: цилиндрические, конические и поверхности вращения,— инвариантных относительно преобразова­ ний соответствующего типа.