Учебник по математике Ч1 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с

1.296. На параболе у2 = 64х найти точку Мо, ближайшую к ррямой 4ж 4- Зу — 14 = 0, и вычислить расстояние от точки Мо до этой прямой.

1.297. Доказать, что касательная к параболе в ее произвольной

плоскости введена полярная система координат (О, и), если заданы: 1) некоторая точка О, называемая полюсом;

2) некоторый луч и, исходящий из точки О и называемый полярной осью.

Полярники координатами точки М ф О называются два числа: по­

лярный радиус г(М ) = \ОЙ\ > 0 и полярный угол <р(М) — угол, на который следует повернуть ось и для того, чтобы ее направление совпало

Полярный угол -уз(М) имеет бесконечно много возможных значений (отличающихся друг от друга на величину вида 27гп, n € Z). Значение

ным,. В некоторых случаях главным значением полярного угла называют значение </з, удовлетворяющее условию —7Г < </з ^ 7г.

Пусть на плоскости введены правая декартова прямоугольная си­ стема координат Оху (т. е. такая, что кратчайший поворот от оси Ох к

оси Оу происходит против часовой стрелки) и полярная система (О, и), причем полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. То­ гда связь между декартовыми прямоугольными и полярными координа­

Уравнение кривой в полярных координатах имеет вид F(r, ф) = О или г — /(</з). Оно может быть получено либо непосредственно, исходя из геометрических свойств кривой, либо переходом к полярным коорди­ натам в уравнении этой кривой, заданном в декартовых прямоугольных координатах.

Пример 2. Построить кривую, заданную уравнением г = 6 cos уз. <3 Прежде всего заметим следующее: если точка М(г, ф) принадлежит

заданной кривой, то для этой точки cos w = -г ^ 0 , и, следовательно, вся

6

Для того чтобы построить кривую, перейдем в ее уравнении к де­ картовым координатам. Умножив обе части уравнения г = 6 cos </з на г,

получаем г2 = 6 r cos <р, откуда на основании формул перехода (8 ) имеем

х2 + у2 = 6 ж, или (х —З) 2 + у2 = 9. Таким образом, заданная кривая — окружность радиуса 3 с центром в точке Мо с координатами XQ = 3, 7/0=0 ИЛИ Г0 = 3 , ifio = 0. >

Пример 3. Вывести уравнение прямой в полярной системе коорди­ нат.

<3 Если прямая L проходит через полюс и ее угловой коэффициент по отношению к полярной оси равен к, то уравнение этой прямой имеет вид

tg V» = к.

Пусть теперь прямая L не проходит через полюс. Напишем нормаль­ ное уравнение этой прямой в декартовой прямоугольной системе коорди­ нат

х cos а + у cos / —р = 0

и перейдем в этом уравнении к полярным координатам. Получаем (учи­ тывая, что cos / = sin о ):

г cos <р cos а + г sin ipsin а —р = 0 , г cos (ip —а) = р ,

или

54 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Записать уравнения заданных кривых в декартовых прямо­ угольных координатах и построить эти кривые:

1.317. Написать в полярных координатах уравнения:

а) прямой, перпендикулярной полярной оси и отсекающей на ней отрезок, равный 3;

о) луча, исходящего из полюса под углом — к полярной оси;

оси.

1.318. Написать в полярных координатах уравнение окружно­ сти, если:

а) радиус Л = 5, окружность проходит через полюс, а ее центр лежит на полярной оси;

б) радиус R = 3 и окружность касается в полюсе полярной оси. 1.319. Определить полярные координаты центра и радиус ка­

е) r = 8 s i n ( j - < p ) .

1.320. В полярной системе координат вывести уравнение окруж­ ности радиусаЯ с центром в точке С (го, <ро)-

считая, что полярная ось сонаправлена с осью абсцисс, а полюс находится:

лярное уравнение, считая, что полярная ось сонаправлена с осью абсцисс, а полюс находится:

а) в левом фокусе; б) в правом фокусе.

1.323. Для параболы у2 = 6х написать полярное уравнение, считая, что полярная ось сонаправлена с осью абсцисс, а полюс находится в фокусе параболы.

1.324. Написать канонические уравнения следующих кривых 2 -го порядка:

условии, что полярная ось сонаправлена с осью Ох, а полюс нахо­ дится в центре эллипса.

при условии, что полярная ось сонаправлена с осью О х, а полюс находится в центре гиперболы.

1.327. Вывести полярное уравнение параболы у2 = 2рх при условии, что полярная ось сонаправлена с осью Ох, а полюс нахо­ дится в вершине параболы.

4.Параметрические уравнения кривой. Пусть заданы функции tp(t)

цip(t), непрерывные на некотором промежутке I числовой оси (проме­ жуток I может быть интервалом (а, Ь), отрезком [а, Ь], a также одним из полуинтервалов (a, b] или [а, Ь), причем не исключаются случаи, когда a = —ос и (или) b = +оо). Уравнения

называются параметрическими уравнениями кривой Г в декартовой прямоугольной системе координат, если выполнено следующее условие:

для всякого значения параметра t £ I точка M(ip(t), i/>(<)) принад­ лежит кривой Г и, наоборот, для всякой точки М (х, у) кривой Г су­ ществует такое значение параметра t £ I, что x = tp(t) и у = Исключением параметра t из (12) уравнение кривой может быть пред­ ставлено в виде F(x, у) = 0.

Аналогично определяются параметрические уравнения кривой в по­ лярных координатах.

Пример 5. Показать, что параметрические уравнения z = acost, y = asint, f € [0, 27г),

определяют окружность х2 + у2 = а2.

< Если точка М(х, у) такова, что х —a cos t и у = a sin t для некоторого значения t € [0 , 2 л-), то

х2 + у2 = a2 cos21 + a2 sin2 t = а2,

т. е. точка М(х, у) принадлежит окружности х2 + у2 = а2.

56 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Верно и обратное: если точка М(х, у) принадлежит окружности х2 +

+ у2 = а2, то, полагая t = (СШ, i), t € [0 , 2к), получим х = a cost и у = asintf. >

Пример 6 . Кривая Г задана полярным уравнением г = 2Rsmip. Составить параметрические уравнения этой кривой в полярных и де­ картовых прямоугольных координатах, выбирая в качестве параметра полярный угол ц>.

<Нетрудно убедиться, что заданная кривая — окружность радиуса R

сцентром в точке <7(0, R). Параметрические уравнения этой кривой в полярных координатах:

r = 2Rsint, ip = t, t 6 [0,7г).

Параметрические уравнения в декартовых прямоугольных координатах получаются, если в формулы перехода х = г cos <р, у = г sin ip вместо г и ip подставить их выражения в виде функций параметра t. В итоге получим

( х = r(t) cos <p(t) = -Rsin 2 £,

\y = r(t)smip(t) = R (l- c o s 2 t), t e [0, 7r). >

1.328. Составить параметрические уравнения луча Г = {(ж, у)| х - у + 1 = 0 , у ^ 0 },

принимая в качестве параметра: а) абсциссу х; б) ординату у;

в) расстояние р ( М , M Q) от точки М G Г до вершины M Q луча; г) полярный 'угол, если полюс совпадает с началом координат,

а полярная ось сонаправлена с осью Ох.

1.329. Составить параметрические уравнения отрезка с кон­ цами в точках M \(l, 1) и Мч(2, 3), принимая в качестве пара­ метра:

а) расстояние р{М , M i); б) расстояние р(М , М 2).

1.330. Составить параметрические уравнения окружности ра­ диуса R с центром в точке MQ(XQ, уо), принимая в качестве па­

раметра t угол между осью Ох и вектором Maivl, отсчитываемый против часовой стрелки.

1.331. Составить параметрические уравнения окружности х 2 + + у2 = 2 R x, принимая в качестве параметра полярный угол, если полярная ось сонаправлена с осью Ох, а полюс находится:

а) в начале координат; б) в центре окружности.

В задачах 1.332-1.340 требуется исключением параметра t найти

радиус-вектором 6 Й , отсчитываемый против часовой стрелки.

х 2

1.342. Составить параметрические уравнения гиперболы —г — сг

у2

— - г = 1 , принимая в качестве параметра 4 угол между осью Ох

о

и радиус-вектором О М , отсчитываемый против часовсф стрелки. 1.343. Составить параметрические уравнения параболы у2 =

= 2рх, принимая в качестве параметра: а) ординату у;

б) угол между осью Ох и вектором Ол1, отсчитываемый против часовой стрелки;

в) угол между осью Ох и фокальным радиус-вектором F ill, отсчитываемый против часовой стрелки.

5. Некоторые кривые, встречающиеся в математике и ее приложе­ ниях. В настоящем пункте, имеющем справочный характер, приведены уравнения и указаны основные геометрические свойства ряда специ­ альных кривых (алгебраических и трансцендентных), встречающихся в практике инженерных расчетов. Вывод уравнений этих кривых может быть предложен в качестве задач повышенной трудности при изучении курса аналитической геометрии. Достаточно детальное изучение формы кривых может быть выполнено с привлечением методов дифференциаль­ ного исчисления.

1 . Спирали: спираль Архимеда г — ар (рис. 9), гиперболическая

спираль г = — (рис. 1 0 ), логарифмическая спираль г = а* (рис. 11);

V

стрелкой указано направление обхода кривой, соответствующее возраста­ нию у.

2. Лемниската Бернулли (х2+ у2)2 = 2а2(х2 —у2) (рис. 12), или г2 = = 2 а2 cos2 w (полюс помещен в точку О). Характеристическое-свойство:

± a ig ip (полюс помещен в точку А(—а, 0 )). Характеристическое свойс­

(полюс помещен в точку А(—а, 0 )). Характеристическое свойство: для

всякого луча ip = ip0 € ( - ^> ^ ) ) = ISA''! = const = Ь.

6 . Улитка Паскаля (х2 + у 2 -2аж ) 2 = Ь2(х2 + у 2) (рис. 16), или г = = 2 acos<p±b (полюс помещен в точку О). Характеристическое свойство:

г = a| sin 2 <^| (полюс помещен в точку О). Характеристическое свойство: всякая точка М этой кривой есть основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на отрезок АВ постоянной длины 2а, движущийся так, что концы его все времк находятся на координатных осях.

кривой есть основание перпендикуляра РМ к отрезку АВ постоянной длины а, движущемуся так, что концы его все время находятся на ко­ ординатных осях.

9. Эвольвента (развертка) окружности х = a(cost + tsiat), у =

= a(sinf - tcost), t 6 [0, + 0 0 ) (рис. 19). Характеристическое свойство: каждая точка М этой кривой есть конец нити, которая, оставаясь натя­

нутой, разматывается с окружности х2 + у2 = а2 (в начальный момент конец нити находится в точке А(а, 0 )).

10. Циклоида х = a(t — sin£), у = о(1 — cost), t € (—00, +00)

(рис. 20). Характеристическое свойство: кривая совпадает с траекторией точки М окружности радиуса а, которая катится без скольжения по оси Ох (в начальный момент точка М находится в начале координат).

а

кривая совпадает с траекторией точки М окружности радиуса а, которая