Учебник по математике Ч1 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с

1.234. Написать уравнение кривой, разность квадратов рас­ стояний от каждой точки которой до точек М\(—а , 0) и М2 (а, 0) равна с.

1.235. Написать уравнение кривой, расстояние от каждой точки которой до оси Ох вдвое больше расстояния до оси Оу.

1.237. Написать уравнение кривой, расстояние от каждой точки которой до точки М 1 (—1 , 1 ) вдвое меньше расстояния до точки М 2 ( - 4, 4).

1.238. Написать уравнение кривой, сумма расстояний от каж­ дой точки которой до точек ^ ( —2 , 0 ) и Р2 (2 , 0 ) равна 2\Д>.

1.239. Написать уравнение кривой, модуль разности расстоя­ ний от каждой точки которой до точек 1*1 (—2 , —2 ) и Р2 (2 , 2 ) ра­ вен 4.

1.240. Написать уравнение кривой, каждая точка которой на­ ходится на одинаковом расстоянии от точки Р (2, 2) и от оси Ох.

1.241. Установить, что каждое из следующих уравнений опре­ деляет окружность, найти еецентр С и радиус Л:

в) х2 + у2 + Ау = 0.

1.242. Написать уравнение окружности в каждом из следующих случаев (обозначено: С — центр окружности, Я — радиус, М , М \,

а) С (2 , - 3 ) , Д = 7 ; б) М (2 , 6 ), <7(—1, 2 );

в) Му(3, 2), М 2 (—1, 6 ) — концы диаметра окружности;

г) <7(1, —1), прямая Ьх — 12у + 9 = 0 — касательная к окруж­ ности;

д) М ( 1 , 2 ), окружность касается координатных осей; е) Мх(3, 1), М 2 (—1, 3), <7 е Ь: Зх - у - 2 = 0; ж)* М а - 1 , 3), М 2 (0 , 2 ), М 3 (1 , - 1 ).

1.243. Написать уравнение диаметра окружности х 2 + у 2+ Ах —

— 6 у — 17 = 0, перпендикулярного прямой Ьх + 2у — 13 = 0. 1.244. Вычислить кратчайшее расстояние от точки Мо до ок­

ружности Г, если:

а) М 0 (6 , - 8 ), Г: х 2 + у2 = 9; б) М 0 (—7, 2 ), Г: х 2 + у2 - 10х - 1Ау - 151 = 0.

1.245. Определить, как расположена прямая относительно ок­ ружности — пересекает, касается или проходит вне ее, если пря­

2. Алгебраические кривые второго порядка. Алгебраической криво второго порядка называется кривая Г, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид

где не все коэффициенты А, В и С равны одновременно нулю (в против­ ном случае Г — прямая, т. е. алгебраическая кривая первого порядка).

В общем случае может оказаться, что уравнение (3) определяет так называемую вырожденную кривую (пустое множество, точку, прямую,

пару прямых).

Если же кривая Г невырожденная, то для нее найдется такая декар­ това прямоугольная система координат, в которой уравнение этой кривой имеет один из следующих трех видов (каноническое уравнение):

При этом кривая Г называется соответственно эллипсом, гиперболой или параболой, а сама система координат, в которой ее уравнение имеет вид (4), (5) или (6 ), называется канонической системой координат для заданной кривой.

Приведение общего уравнения кривой второго порядка к канониче­ скому виду подробно рассматривается в п. 4 §3 гл. 3. Целью настоя­ щего пункта является изучение основных геометрических свойств невы­ рожденных кривых второго порядка на основе их канонических уравне­

его вершинами, оси симметрии Ох и Оу — главными осями, а центр

а числа Г1 = \Р\~$\ и г2 = )£ЬАг| — фокальными радиусами точки М,

дают с центром, а каноническое уравнение имеет вид — -)— - = 1 , или

°

х + у — а , т.е. описывает окружность радиуса а с центром в начале координат.

е) е = ^ и расстояние между директрисами равно 32.

1.248. Написать уравнение эллипса с полуосями о и 6 и центром в точие С (х о, уо), если известно, что его главные оси параллельны координатным осям.

1.249. Установить, что каждое из следующих уравнений опре­ деляет эллипс, найти его центр С, полуоси, эксцентриситет и урав­

веденные через концы одного и того же диаметра, параллельны. 1.261. Написать уравнения касательных, проведенных из точ-

прямой 2х — Зу + 25 = 0, и вычислить расстояние от точки Мо до этой прямой.

1.263. Доказать, что касательная к эллипсу в его произвольной точке М составляет равные углы с фокальными радиус-векторами

уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от эллипса.

имеет форму, изображенную на рис. 5.

Рис. 5

Параметры а и Ь называются полуосями гиперболы, точки А\(—а, 0)

иЛ2 (а, 0) — ее вершинами, оси симметрии Ох и Оу — действительной

имнимой осями, а центр симметрии О — центром гиперболы.

сами гиперболы, векторы РуЛ! и Р2л} — фокальными радиус-вектора­

ми, а числа п = и гг = |^2 — фокальными радиуса-ми точки М, принадлежащей гиперболе.

Число е = ^ = у ! + “г (1 < е < +оо) называется эксцентрисите­

том гиперболы и является мерой ее «сплюснутости». В частном случае а = Ь гипербола называется равносторонней; ес эксцентриситет равен

е = \/2 , а угол между асимптотами равен —.

а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) урав­ нения асимптот; д) уравнения директрис.

1.266. Построить гиперболу 16а:2—9у2 = —144 (сопряж енную к гиперболе задачи 1.265). Какова каноническая система координат для этой гиперболы? Найти:

а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) урав­

8

расстояние между директрисами равно - .

О

1.268. Написать уравнение гиперболы с полуосями а и Ь и цен­ тром в точке С (х о, уо), если известно, что ее действительная и мнимая оси параллельны осям Ох и Оу соответственно.

1.269. Установить, что каждое из следующих уравнений опре­ деляет гиперболу, найти ее центр, полуоси, эксцентриситет, урав­

если эта точка лежит на ее левой ветви. Отсюда, в частности, сле­ дует, что для всякой точки М гиперболы выполняется равенство

|ri(M) — гг(М)| = const = 2а.

б) Пусть заданы точки F i( —с, 0) и ^ (с , 0), с > 0. Тогда мно­

б) Пусть заданы точка F (c, 0) и прямая D: x —d = 0, с > d > 0.

—- ——- = 1 , найти фокальные радиусы этой точки и ее расстояния 16 9

до директрис.

х у

1.273. Найти точки гиперболы —— — = 1, находящиеся на 9 16

расстоянии 7 от фокуса F\.

1.275. Написать уравнение гиперболы, если известны ее экс­

центриситет е = \/5, фокус Г (2 , —3) и уравнение соответствующей директрисы Зж — у + 3 = 0 .

1.276. Показать, что кривая, заданная уравнением ху = 1 или

у = -1, есть равносторонняя гипербола. Написать ее каноническое

х

уравнение, найти эксцентриситет, фокусы и уравнения директрис.

веденные через концы одного и того же диаметра, параллельны.

Написать уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от гиперболы.

Парабола с каноническим уравнением у2 2рх, р > 0 , имеет форму, изображенную на рис. 6 .

50_______Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Число р называется параметром параболы, точка О — ее вершиной, а ось Ох — осью параболы.

Точка F , 0^ называется фокусом параболы, вектор F ill — фо­

кальным радиус-вектором, а число г = \FA%\ — фокальным радиусом

точки М параболы.

Прямая D: х = —Р перпендикулярная оси и проходящая на рассто­

янии ^ от вершины параболы, называется ее директрисой.

1.285. Построить следующие параболы и найти их параметры:

1.286. Написать уравнение параболы с вершиной в начале ко­ ординат, если известно, что:

а) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично

относительно оси Ох и р =

б) парабола расположена симметрично относительно оси Оу и проходит через точку М (4, —8 );

в) фокус параболы находится в точке F (0, —3).

1.287. Написать уравнение параболы, если известно, что вер­ шина ее находится в точке А (хо, уо), параметр равен р, ось па­ раллельна оси Ох и парабола расположена относительно прямой х = жо:

а) в правой полуплоскости; б) в левой полуплоскости.

1.288. Установить, что каждое из следующих уравнений опре­ деляет параболу, найти координаты ее вершины А и величину параметра р\

г(М ) — ее фокальный радиус, а р (М , D ) — расстояние отточки М до директрисы (см. рис. 6 ), то выполняется равенство