Учебник по математике Ч1 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с

1.171. Установить, лежат ли точка Мо(1, —2 ) и начало коорди­ нат в одном угле, в смежных или в вертикальных углах, образо­ ванных пересекающимися прямыми Ь\ и Ь 2, если:

1.172. Установить, какой из углов — острый или тупой, — образованных прямыми Зж — 5у — 4 = 0 и ж + 2у + 3 = 0, содержит точку М (2 , —5).

1.173. Написать уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину В ( 2, б), а также уравнения высоты х — 7у + 15 = 0 и биссектрисы 7х + у + 5 = 0, проведенных из одной вершины.

1.174. Написать уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину В (2, —7), а также уравнения высоты Зж-Ьу + 11 = 0 и медианы х + 2у 4- 7 = 0, проведенных из различных вершин.

1.175. Написать уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину А(3, —1), а также уравнения биссектрисы х — Ау + 10 = 0 и медианы 6 ж + 10у — 59 = 0, проведенных из различных вершин.

1.176. Даны уравнения Ъх + 4у = 0 и Зж — у = 0 медиан тре­ угольника и координаты (—5, 2) одной из его вершин. Найти урав­ нения сторон.

1.177. Даны уравнения у + 4 = 0, 7х + 4у + 5 = 0 биссектрис двух внутренних углов треугольника и уравнение 4ж + Зу = 0 сто­ роны, соединяющей вершины, из которых выходят данные бис­ сектрисы. Написать уравнения двух других сторон треугольника.

1.178. а) Доказать, что точка Н пересечения высот треуголь­ ника лежит на одной прямой с точкой М пересечения его медиан и с центром N описанной окружности.

шении А точка Н делит направленный отрезок М л .

прямоугольной системе координат Охуг может быть задана уравнением одного из следующих видов:

1)Ах + Ву + Сх + £> = 0 — общее уравнение плоскости;

2)А(х —хо) + В(у —уо) + С (г —го) = 0 — уравнение плоскости, проходящей через точку Мо(х0, уо, го) перпендикулярно нормальному вектору п = {/4, В, С};

аЬ с

величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на коорди­ натных осях и х, Оу, Oz соответственно;

4) х cosа + у cos р + z C0 S7 —р = 0 — нормальное уравнение плос­ кости, где cosa, cos/3, C0 S7 — направляющие косинусы нормального вектора п, направленного из начала координат в сторону плоскости, а р > 0 — расстояние от начала координат до плоскости.

Общее уравнение 1) приводится к нормальному виду 4) путем умно­ жения на нормирующий множитель

М (х, у, z) — некоторая точка пространства, то выражение

6(М, Р) = х cos о + j/cos/3 + z cos 7 —р

задает отклонение точки М от плоскости Р. Знак 5(М, Р) указы­ вает на взаимное расположение точки М, плоскости Р и начала коор­ динат, аименно:если точка М и начало координат лежат по разные стороны отплоскости Р , то 5{М, Р) > 0, а если М и начало координат

находятся по одну сторону от плоскости Р, то 5(М, Р) < 0. Расстояние р(М, Р ) от точки М до плоскости Р определяется равен­

ством р(М, Р) = |<5(М, Р)|.

Прямая L в пространстве может быть задана:

1) общими уравнениями

( Aix + B iy + C\z + Di = 0,

\ A2x + В 2У + C2z + D2 = 0 ,

где коэффициенты Ai, B\, C\ не пропорциональны коэффициентам A2, что равносильно ее заданию как линии пересечения плоскостей;

2 ) параметрическими уравнениями

х = х0 + It, {уz == уоzo ++ mt,nt,

или в векторной форме г(i) = го + qt, где го = {XQ, у0, zQ] — радиус-

вектор некоторой точки, принадлежащей прямой, а q = {I, m, n} — направляющий вектор прямой;

3) каноническими уравнениями

х - So _ у —Уо _ Z - ZQ

что равносильно заданию прямой как линии пересечения трех плоско­ стей, проектирующих эту прямую на координатные плоскости.

■ОЗадача имеет единственное решение, так как векторы Мх М2= { - 1 , 1 , 0 }

и а = {2, 0, 1} неколлинеарны. В качестве нормального вектора к плос­ кости может быть взять вектор

х + у —2г = 0. Так как в последнем уравнении отсутствует свободный член, то плоскость проходит через начало координат.

Другой способ. Точка М(я, у, г) принадлежит искомой плоскости Р

в том и только в том случае, когда векторы М1Л?, М\М2 и а компла­ нарны. Следовательно,

Написать канонические уравнения этой прямой, а также уравнение ее проекции на координатную плоскость Охг.

<3 Точка М (0, 2, 2) удовлетворяет общим уравнениям прямой (проверьте!) и, следовательно, лежит на этой прямой. В качестве направляющего век­

34 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия

описывающих три плоскости, проектирующие прямую на координатные плоскости Оху, Охг и Оух соответственно (уравнения прямой в проек­

циях). В частности, уравнение —За:+ 2 —2 = 0 есть уравнение проекции заданной прямой на плоскость Охг. [>

Пример 5. Заданы скрещивающиеся прямые

Найти расстояние р(Ь\, Ь2) между прямыми и написать уравнения об­ щего перпендикуляра Ь к этим прямым.

■О Найдем уравнение плоскости Р, проходящей через прямую Ь\ парал­ лельно прямой Ь2 (рис. 3). Точка М\(0, 1, —2) лежит на прямой и, следовательно, принадлежит искомой плоскости Р. В качестве нормального вектора к этой плоскости возьмем век­

тор

Уравнение плоскости Р:

—2х —(у —1) —4(г + 2) = О,

или, в общем виде, 2х + у+ 4г + 7 = 0. Расстояние р{Ь\, Ь2) равно расстоянию от любой точки прямой Ь2,

например, от точки М2(—1, —1, 2), до плоскости Р. Нормальное урав­ нение плоскости Р имеет вид

Для того чтобы составить уравнения общего перпендикуляра Ь, най­ дем уравнения плоскостей Р\ и Р2, проходящих через заданные пря­ мые Ь\ и Ь2 соответственно и перпендикулярных плоскости Р. Имеем: М^О, 1, -2 ) 6 Л и щ = [яь п] = 1 — 103 + 2к Р\, откуда Р\:

— общие уравнения прямой Ь = Р\ П Р2. >

1.180. Заданы плоскость Р и точка М . Написать уравнение плоскости Р ', проходящей через точку М параллельно плоскости Р , и вычислить расстояние р(Р, Р 1), если:

а) Р : - 2 х + у - г + 1 = 0, М { 1, 1, 1); б) Р : х - у - 1 = 0, М ( 1, 1, 2).

1.181. Написать уравнение плоскости Р', проходящей через за­ данные точки М\ и М 2 перпендикулярно заданной плоскости Р , если:

1.183. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки

Пусть заданы две плоскости Р\ и Р2. Возможны два случая их вза­ имного расположения:

1) Р\ |Р2, в частности, плоскости совпадают;

2)Р\ и Р2 пересекаются по некоторой прямой.

Взадачах 1.185 1.188 исследовать взаимное расположение за­ данных плоскостей. При этом в случае 1) найти расстояние р(Р\,Р2)

между плоскостями, а в случае 2 ) — косинус угла между ними.

1.189. Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостью Р : 2х — Зу + 6 2 — 12 = 0 и координатными плоскостями.

а) написать уравнение плоскости, проходящей через прямую Ь и точку М ;

б) написать уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно прямой Ц

в) написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую Ь;

г) вычислить расстояние р(М , Ь); д) найти проекцию точки М на прямой Ь.

1 .2 0 1 . Заданы плоскость Р : £ + у - ,г + 1 = 0 и прямая Ь:

мой и плоскости; #б) написать уравнение плоскости, проходящей через прямую Ь

перпендикулярно к плоскости Р; в) написать уравнения проекции прямой Ь на плоскость Р .

1 .2 0 2 . Пусть заданы две прямые:

Х - Х 1 у - т г - г\ х ~ х2 у - у2 г - г2

-И : — :------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- = --- =

11 7711 П 1 ‘2 ТП2 п 2

Доказать, что прямые Ь\ и Ь 2 лежат в одной плоскости в том и

мые Ь\ и Ь 2 принадлежат одной плоскости, и написать уравнение этой плоскости. Исходные данные:

параллельны и найти расстояние р(Ь\, Ь 2).

1.207. Составить уравнения прямой, проходящей через точки

1.208. При каком значении Л плоскость Ъх — Зу+ \г + 1 = 0 будет параллельна прямой

Гж — 4-г — 1 = 0 ,

^у — Зz + 2 = 0 .

<7(0, - 2 , 1 ).

1 .2 1 1 . Написать уравнение плоскости, проходящей через точку Мо(7, 1, 0) параллельно плоскости 2х + Зу — 2 — 15 = 0 и пересе-

х у — 1 2 — 3 кающей прямую — = —- — = —- — .

1 .2 1 2 . Написать канонические уравнения прямой, которая про­ ходит через точку Мо(3, —2, —4) параллельно плоскости Зх — 2у —

1.213. Доказать, что расстояние между скрещивающимися пря­ мыми Ь\: г(£) = Г! + ql^ и Ь 2: г(<) = г 2 + q 2t может быть вычи­

Для заданных прямых Ьу и Ь 2 требуется:

а) доказать, что прямые не лежат в одной плоскости, т. е. явля­ ются скрещивающимися;

б) написать уравнение плоскости, проходящей через прямую Ь 2 параллельно Ь \;

в) вычислить расстояние между прямыми; г) написать уравнения общего перпендикуляра к прямым Ьу

б) вычислить расстояние между прямыми А'С и В С '; в) написать уравнения общего перпендикуляра к прямым А'С

и В С ';

г) написать уравнение плоскости, проходящей через точки Р ,

Qvi Н , где Р — центр грани А В В 'А ', Q делит В С ' в отношении -

О

и Н расположена на ребре В В ' так, что длина вектора Р Й + Н(^ минимальна;

д) определить угол между полученной в п. г) плоскостью и диагональю куба B D '.

40Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия

§3. Кривые на плоскости

1.Уравнение кривой в декартовой системе координат. Говорят, что кривая Г в системе координат Оху имеет уравнение

если выполнено следующее условие: точка М (ж, у) принадлежит кривой Г В том и только в том случае, когда ее координаты х и у удовлетворяют соотношению (1 ). Если, в частности, F(x, у) = f(x ) —у, то уравнение

(1) может быть записано в виде

ив этом случае кривая Г совпадает с графиком функции f(x ).

Внастоящем параграфе изучается связь между геометрическими свой­ ствами кривой и се уравнением в некоторых наиболее простых случаях.

равна За2.

< Пусть Г — кривая, удовлетворяющая условиям задачи; М(х, у) € Г в том и только в том случае, когда

р2{М, А) + р2(М, В) + р2(М, С) = За2,

или

(а: + а) + у + х + ( у - а ) + (х - а) + у = За1.

2

После простых преобразований получаем а:2 + у2—-а у = 0, или, выделяя

Это и есть искомое уравнение кривой, являющейся окружностью радиуса

В задачах 1.219-1.232 требуется установить, какие кривые опре­ деляются заданными уравнениями, и построить эти кривые.

ходится на одинаковом расстоянии от точек М\(Ъ, 2) и М 2(2, 3).