Учебник по математике Ч1 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с

В частности, формула (11) позволяет легко найти связь между коор­ динатами одного и того же вектора 6 различных прямоугольных базисах.

Поэтому формулы преобразования координат (12) принимают вид

X' = X cos<р+ Y sin(р,

Y' = —X sin(ft + Y cos (ft. >

1.94. Вывести формулы преобразования координат точек плос­ кости при переходе от системы координат (О, 23 = (i, j)) к системе

также образует прямоугольный базис <8 ; = (Г, j', k ;), и найти в этом базисе координаты вектора а.

1.97. Проверить, что тройка векторов ei = {1, —2, 0}, в2 = = {0, 1, 1} и ез = {1, 2, 2} образует (косоугольный) базис. Выра­ зить скалярное произведение векторов a i, а 2 через их координаты в этом базисе, если

ai = X }1}ei + X ^ }e2 + X ^ ]e 3 и а2 = х [ 2)ы + * J 2)e2 + Х ^ е 3.

22Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия

5.Векторное произведение векторов. Упорядоченная тройка неком­ планарных векторов ei, е2, е3 называется правой, если наблюдателю, находящемуся внутри телесного угла, образованного этими векторами, кратчайшие повороты от ei к в2 и от е2 к е3 кажутся происходящими против часовой стрелки. В противном случае тройка ei, е2, е3 назы­

вается левой.

Векторным произведением вектора ai на вектор а2 называется век­ тор, обозначаемый символом [а*, а2] (или ai х аз), определяемый сле­ дующими тремя условиями:

1) длина вектора [ai, а2] равна площади параллелограмма, постро­ енного на векторах ai и а2, т.е. ][ах, а2]| = |ai||a2|sin (aiTaj);

2 ) вектор [а1; а2] перпендикулярен плоскости векторов ai и а2; 3) упорядоченная тройка ai, а2, [а1; а2] правая.

Из определения векторного произведения следует, что

ai |а2 & [аь а2] = 0 .

Алгебраические свойства векторного произведения: 1) [аь а2] = —[а2, аг]; 2 ) [Лаь а2] = Л[аь а2];

3) [ах + а2, Ь] = [аь Ь] + [а2, Ь].

Если ai = {Xi, Yu Z i} и a2 = {X 2, Y2, Z2] — векторы, заданные своими координатами в правом прямоугольном базисе, то разложение векторного произведения [ai, а2] в том же базисе имеет вид

[ai, а2] = (YyZ2 - ZYY2)\+ (ZtX2 - X iZ 3)j + (XxY2 - ¥гХ 2)k,

или, в символической записи (с использованием понятия определителя 3-го порядка; см. § 1 гл. 2 )

1.99. Какому условию должны удовлетворять векторы a j и а2, чтобы векторы ai + а2 и ai — а 2 были коллинеарны?

1.100. Упростить выражения:

r) 2i[j, k] + 3j[i, k] + 4k[i, j].

1.101. Доказать, что [a — b, a + b] = 2[a, b] и выяснить геоме­ трический смысл этого тождества.

а и b единичный вектор со, перпендикулярный векторам а и b и такой, что:

Определить момент этой силы относительно точки 0 (3 , 2, —1 ).

величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки 0 (2 , 3, —1 ).

24 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия

1.117. Вычислить площадь параллелограмма, диагоналями ко­ торого служат векторы 2ех — е2 и 4ех — 5е2, где ех и е2 — единич­

ные векторы и (ёГГег) =

1.118. Найти координаты вектора х, если известно, что он пер­ пендикулярен векторам ах = {4, —2, —3} и а2 = {0, 1, 3}, обра­ зует с ортом л тупой угол и |х| = 26.

1.119. Найти координаты вектора х, если он перпендикулярен векторам а! = { 2 , —3, 1 } и а2 = { 1 , —2 , 3}, а также удовлетворяет условию х(1 + 2j — 7к) = 10.

1.120. При каких условиях уравнение а2 = [ах, х] имеет реше­ ние относительно х? Сколько существует решений?

1.121. Найти составляющую вектора а = { —1, 2, 0}, перпенди­ кулярную плоскости векторов в! = { 1 , 0 , 1 } и е2 = { 1 , 1 , 1 }.

1.122. Как изменится выражение (13), если координаты век­ торов задать в левом прямоугольном базисе? Будет ли верна эта формула в случае косоугольного базиса?

1.123*. Вектор [а, [Ь, с]] называется двойным вект орным про­ изведением заданных векторов. Доказать, что справедливо равен­ ство

[а, [Ь, с]] = Ь(а, с) — с(а, Ь).

6. Смешанное произведение векторов. Смешанным произведением

упорядоченной тройки векторов ах, а2, а3 называется число ([ах, а2], а3). Геометрические свойства смешанного произведения:

1)если V — объем параллелепипеда, построенного на векторах а1;

а2 и аз, то

( У , если тройка (ах, а2, а3) правая,

’\ —V, если тройка (ах, а2, а3) левая;

2 ) для того чтобы три вектора ах, а2, аз были компланарны, необ­ ходимо и достаточно выполнение условия [ах, а2]а3 = 0 .

Основное алгебраическое свойство смешанного произведения состоит в том, что циклическая перестановка векторов не меняет его величины,

Т-е‘ [аг, а2]а3 = [а2, а3]ах = [а3, ах]а2.

Это свойство позволяет ввести обозначение [ах, а2]а3 = аха2а3 (резуль­ тат не зависит от того, как расставить квадратные скобки в правой ча­ сти). Смешанное произведение через координаты векторов в правом пря­ моугольном базисе записывается в виде

* 1 уг 2 х

аха2аз =с Х2 У2 %2 . Х 3 Уз

1.124. Векторы ах, а2, аз образуют правую тройку, взаимно перпендикулярны й |ах| = 4, |а2| = 2 , |аз| = 3. Вычислить аха2 аз-

1.129. Доказать, что при любых а, b и с векторы а — b, b — с и с — а компланарны. Каков геометрический смысл этого факта?

1:130. Доказать тождество

(а + b + с)(а - 2b + 2с)(4а + b + 5с) = 0.

1.131. Доказать, что если а[а, Ь] + /3[Ь, с] + 7 [с, а] = 0, причем

1.132. Вычислить объем тетраэдра О A B C , если ОА = 3 i 4 - 4 j,

Ш= - 3 j + k, 0 б = 2з + 5k.

1.134. В тетраэдре с вершинами в точках А(1, 1, 1), В (2, 0, 2),

С (2, 2, 2) и D (3, 4, —3) вычислить высоту h = \DE\.

1.135. Проверить, компланарны ли данные векторы:

а) а = —2i -f j + k, b = i — 2j + 3k, с = 14i — 13j + 7k;

б ) a = 2i + j — 3k, b = 3i - 2j + 2k, с = i - 4j + k.

1.136. При каком А векторы a, b, с будут компланарны?

а) a = {A, 3, 1}, b = {5, - 1 , 2 }, с = { - 1 , 5, 4};

б) a = {1, 2A, 1}, b = {1, A, 0}, с = {0, A, 1}.

1.137. Доказать, что четыре точки Л(1, 2, —1), В ( 0, 1, 5), С { —1, 2 , 1) и D (2 , 1 , 3) лежат в одной плоскости.

1.138. Найти координаты четвертой вершины тетраэдра A B C D , если известно, что она лежит на оси Оу, а объем тетраэдра ра­ вен V:

а) А { - 1, 10, 0), В ( 0, 5, 2), <7(6, 32, 2), V = 29;

б) А(0, 1, 1), В ( 4, 3, - 3 ) , С(2, - 1 , 1 ), V = 2.

26 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия

1.139. Доказать, что объем параллелепипеда, построенного на диагоналях граней данного параллелепипеда, равен удвоенному объему данного параллелепипеда.

1.140. Доказать тождества: а) (а + c)b (a + b) = - a b c ;

б) (а — b) (а — b — с) (а + 2Ь — с) = ЗаЬс; в) (а + b )(b + с) (с + а) = 2 abc;

г) Va, (3 (ab(c + а а + (ЗЪ) = abc).

§2. Линейные геометрические объекты

1.Прямая на плоскости. Прямая на плоскости в декартовой прямо­ угольной системе координат Оху может быть задана уравнением одного из следующих видов:

1) Ах + By + С = 0 — общее уравнение прямой;

2) А(х - XQ) + В(у - у0) = 0 — уравнение прямой, проходящей через точку MQ(XO, Уо) перпендикулярно нормальному вектору п = {А, В}\

аb

направленных отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях Ох и Оу соответственно;

6 ) æcosa + ycos/3 —р = 0 — нормальное уравнение прямой, где cos а и cos 0 — направляющие косинусы нормального вектора п, напра­ вленного из начала координат в сторону прямой, а р > 0 — расстояние

Если прямая L задана уравнением вида 6 ), а М(х, у) — некоторая точка плоскости, то выражение

5(М, L) = х cos а + у cos 0 —р

задает отклонение точки М от прямой L. Знак 5(М , L) указывает на взаимное расположение точки М, прямой L и начала координат, а

именно: если точка М и начало координат лежат по разные стороны от прямой Ь, то 6(М, Ь) > 0, а если точка М и начало координат находятся

по одну сторону от прямой Ь, то 6(М, Ь) < 0. Расстояние р(М, Ь) от точки М до прямой Ь определяется равенством р(М, Ь) = |<5(М, Ь )|.

Пример 1. Написать уравнение прямой V , параллельной двум за­ данным прямым Ь\: х + 2у —1 = 0 , Ь2: х + 2у + 2 = 0 и проходящей посередине между ними.

<3 1-й метод. Так как вектор п = {1, 2}, нормальный к заданным прямым Ь\ и Ь 2, является в то же время нормальным и к прямой Ь , то достаточно найти какую-нибудь точку М , лежащую посередине между Ь\ и Ь 2. Из уравнений для Ь\ и Ь2 находим любые две точки М\ € Ь\ и М2 £ Ь2, например такие: М\(1, 0) и М2(—2, 0). Тогда точка

М' ( — 0 ), делящая отрезок М1М2 пополам, лежит посередине между

2

L\ и Ь2. Поэтому уравнение прямой L' имеет вид

L' : х + 2у + ^ = 0.

2-й метод. Произвольная точка М принадлежит L' в том и только в том случае, когда р(М, Li) = р(М, Ь2), т.е.

Д«я того чтобы снять модули в этом соотношении, установим положение начала координат относительно заданных прямых L\ и Ь2. Нормальные уравнения этих прямых таковы:

Так как нормали ni и пг из точки О в сторону Ь\ и Ь2 противоположно направлены, то точка О находится в полосе между L\ и Ь2.

Поэтому соотношение (1) принимает вид S(M, L\) = Ô(M, L 2), или

T . e. L' : x + 2y + ^ = 0. >

В задачах 1.141-1.143 требуется:

1 ) написать уравнение прямой, привести его к общему виду и построить прямую;

2 ) привести общее уравнение к нормальному виду и указать расстояние от начала координат до прямой.

1.141. Прямая L задана точкой M Q(XO, уо) G L и нормальным вектором п = { А , В }:

а) Мо(—1,2), п = {2, 2};

28_______Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия

в) М 0 ( - 1 , 1 ), Ч = { 2 , 0 }.

1.143. Прямая Ь задана двумя своими точками М\(х\, у\) и М 2(х2 ) У2 ):

а) М 1 (1 , 2 ), М 2 ( - 1 , 0 );

1.144. Заданы прямая I/ и точка М . Требуется:

1)вычислить расстояние р(М , £ ) от точки М до прямой Ь;

2)написать уравнение прямой I/, проходящей через точку М перпендикулярно заданной прямой Ь\

3)написать уравнение прямой V , проходящей через точку М параллельно заданной прямой Ь.

Пусть заданы две прямые Ь\ и Ь2. Возможны два случая их взаим­ ного расположения:

1) Ьх и 1/2 — параллельные прямые, в частности, они совпадают; 2 ) 1,1 и Ь2 пересекаются.

В задачах 1.145-1.149 исследовать взаимное расположение за­ данных прямых 1/1 и 1 /2 - При этом в случае 1) найти расстояние

р (Ь 1 , Ь 2) между прямыми, а в случае 2 ) — косинус угла (1 ,1 , Ь 2) и точку Мо пересечения прямых.

1.150. Треугольник А В С задан координатами своих вершин. Требуется:

1) написать уравнение стороны АВ\

б) А (2, - 2 ) , В ( 6 , 1 ), С (~ 2, 0).

1.151. Показать, что точка М (—1, 2) принадлежит прямой L :

х= 2t, у = —1 —6t. Найти соответствующее этой точке значение параметра t.

1.152. Вычислить расстояние от точки М ( 1, 1) до прямой L:

х= — 1 + 2t, у = 2 + f.

Если прямая задана общим уравнением Ах + Ву + С = 0 и при этом В ф 0 (т. е. прямая не параллельна оси Оу), то эта прямая может быть описана уравнением с угловым коэффициентом вида у —кх + 6.

Пример 2. Написать уравнение прямой L 1, проходящей через точку

7Г

М(2, 1) под углом — к прямой L: 2х + Зу + 4 = 0.

<1 Углом между прямыми L и L' называется наименьший из двух смеж­ ных углов, образованных этими прямыми. Поэтому (см. задачу 1.156)

координаты точки М, мы можем записать для каждого случая уравнение с угловым коэффициентом:

1.153. Написать уравнение прямой, проходящей через точку Мо(2, 4) и отстоящей от точки А(0, 3) на расстояние р = 1.

1.154. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М о(1 , 2 ) и удаленной от точки А (—2 , —5) вдвое дальше, чем от точки В ( 1, 8 ).

1.155. Написать уравнение прямой, проходящей на расстоянии \/Тб от точки А(5, 4) перпендикулярно прямой 2х + 6 у — 3 = 0.

начала координат отрезок длины 2 и образующей с прямой 2х —

— у + 3 = 0 угол 45°.

1.159. В уравнении прямой 4х + Ау — 20 = 0 подобрать А так, чтобы угол между этой прямой и прямой 2х — Зу + 6 = 0 рав­ нялся 45°.

1.160. В равнобедренном треугольнике А В С заданы вершина С (4, 3), уравнение 2х — у — 5 = 0 основания А С и уравнение х —

— у = 0 боковой стороны А В . Написать уравнение стороны В С . 1.161. Написать уравнение прямой, которая отстоит от точки

А (—1 , 2 ) на расстояние р = \/34 и составляет с осью Ох угол, вдвое больший угла, составляемого с осью Ох прямой 2х — 6у + + 5 = 0.

1.162. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку М (8 , 6 ) и отсекает от координатного угла треугольник с пло­ щадью, равной 1 2 .

1.163. Написать уравнение прямой, параллельной двум задан­ ным прямым Ь\ и Ь 2 и проходящей посередине между ними, если:

С (—1, 1). Найти координаты двух его других вершин и написать уравнения его сторон.

1.166. Известны уравнение одной из сторон квадрата х + Зу —

— 3 = 0 и точка пересечения диагоналей N (—2, 0). Написать уравнения остальных его сторон.

1.167. Точка А(5, —4) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой х — 7у — 8 = 0. Написать уравнения

1.169*. Доказать, что прямая 2х + у + 3 = 0 пересекает отрезок

М\М2, где М\{—5, 1 ) и М2(3, 7).