Учебник по математике Ч1 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с

ница поля F i. Тогда элемент 1 является также единицей поля F2. Если п •1 = 0 в F i, топ-1 = 0 в F2 и наоборот. Поэтому характеристики полей Fi и F2 равны.с> 4.329. <1 По формуле бинома Ньютона (а 4- Ь)р = ар 4- 4- (7pap-1ö 4- С2ар~2Ь2 4- ... 4- ЪР. Рассмотрим коэффициент (7*, где

следней строки алгоритма Евклида следует, что г*(ж) |Гк-\ (ж). Подни­ маясь на одну строку вверх, получим: г*(ж) |г*_2 (ж) = г*_1 (ж)<7*(ж) 4- 4- г*(ж). Рассуждая аналогично и поднимаясь вверх, будем получать: г*(ж) |г*_3(ж), rfc_4(ж), ..., г1(ж), р(ж), /(ж). Таким образом, rk(х) — общий делитель многочленов /(ж) и <?(ж). Пусть d\(ж) — какой-либо общий делитель многочленов /(ж) и <?(ж). Так как di(x) |/(ж), д(ж), то di(ж) |п(ж) = /(ж) —р(ж)91(ж). Двигаясь вниз по строкам алгоритма Евклида, будем получать: ^1(ж)|г2 (ж), di(x) |Гз(ж), ..., di(x) |г*(ж).

утверждение для двух многочленов. Пусть d(x), di(x) — многочлены, каждый из которых удовлетворяет определению наибольшего общего де­ лителя многочленов /(ж) и д{х), а г*(я) — наибольший общий делитель этих многочленов, полученный с помощью алгоритма Евклида. Тогда di(x) |f‘ii(x) (см. задачу 4.341). Так как г* и di одной степени, то d\(х) = = /,м**(х) при некотором /г 6 F , у ф 0. Аналогично d(x) = w *(x), где V Е F , V ф 0. Отсюда следует, что d(x) = (vfi~l )di(x). Для п многочле­ нов доказательство проводится индукцией по п. Пусть даны п многочле­ нов /i(х), ..., /п(х) и d, d\ — их наибольшие общие делители. Тогда d{x) = (w(x), /п(х)), d\(x) = (ui(x), /п(х)), гдеu(x), ui(x) — наиболь­ шие общие делители многочленов /i(x), ..., /п_ i(x). По предположению индукции и = (Зщ, где / 6 F , /3^0. Значит, d(x) и di(x) — наиболь­ ший общий делитель многочленов и(х) и /п(х). Отсюда d(x) = Adi (x) при некотором X Е F , А ф 0. б) Указание. Доказать сначала, что d(x) = f(x)u(x) + g(x)v(x), где d(x) = (/(x), <?(x)), двигаясь по строч­ кам алгоритма Евклида снизу вверх; затем рассуждать по индукции. >

д(х). Так как и(х) |/(х), то u(x) |d(x), следовательно, м(х) = u\(x)d{x). Так как и{х) |/(х), то щ (х) |fi (х), поэтому щ {х) — fi{x)v{x). Так как Щ{х) |/г(х), то fi(x)v(x) |/2(х); учитывая, что (А(х), /2(х)), получаем: Vix)\ h (x)- Значит, г>(х) = гу(х)/г(х). Таким образом, М (х)\и(х) =

=ui(x)d(x) = fi(x)v(x)d(x) — fi(x)w (x)f2(x)d(x), т.е. М(х) — наи­ меньшее общее кратное многочленов f(x ) и д(х). б) У к а з а н ие. Сохра­ няя обозначения пункта а), получим: M{x)d{x) = fi(x)g\(x)d(x)d(x) =

=f i ( x)d{x)gi(x)d(x) = f(x)g(x). Для другого наименьшего общего

кратного т (х ) имеем: т (х ) = ХМ(х) (Л 6 F , X ф 0), а значит, f(x)g(x) = XM(x)d(x). > 4.344. < x3 —2х2 —x —6 = 1 •(x3 4- x —2) 4-

общий делитель многочленов. > 4.345. x2 4- x 4- 1. 4.346. x2 4- 2x 4- 3. 4.347. x 4- 2. 4.348. xd - 1, где d = НОД(т, n). 4.349. d(x) = x2 —2, u(x) = —x —1; v(x) = x4-2. Указание. Для нахождения многочле­

4.383. Да. 4.384. Да. 4.386. <0 Рассуждаем аналогично тому, как Евклид доказывал бесконечность множества простых чисел. Если pi{x ), р2 (ж),

..., рп(х) — все неприводимые многочлены, то многочлен pi (х) р2 {х) •...

.. .'рп{х) 4- 1 имеет неприводимый множитель, отличный от р\(ж), р2(х),

..., рп{х), — противоречие. t> 4.387. Указание. Рассуждать «методом

наименьшей степени. Так как /(ж) £ 7 и 7 — идеал, то все многочлены /(ж)р(ж) при д(ж) е ^[ж] лежат в 7, т.е. /(ж^[ж] С 7. Осталось пока­ зать, что 7 С /(ж)^[ж]. Возьмем любой элемент к(х) € 7. Разделим Н(х) на /(ж) с остатком: Н{х) = /(ж)м(ж) + г(ж), где degr(ж) < deg/(ж). Так как г(ж) = /г(ж) -/(ж)и(ж) и /г(ж), /(ж) € 7, то г(ж) 6 7. Так как /(ж) — многочлен наименьшей степени из 7\{0}, то г(ж) = 0. Значит, /г(ж) = = /(ж)м(ж) 6 /(ж^[ж]. Ввиду произвольности элемента /г(ж) 6 7 полу­ чаем: 7 С /(ж^[ж]. Таким образом, 7 = /(ж)^[ж]. > 4.459. При п > 1 А не является правым идеалом. 4.460. < Пусть 7 — идеал кольца Ъ. Тогда 7 является подгруппой группы (й, 4-). Ранее было доказано, что всякая подгруппа группы Ъ имеет вид пЪ (см. задачу 4.119), где п б 2 . Следовательно, I = пЪ. > 4.461. <3 Если 7 — идеал кольца Ъп, то по сло­ жению 7 является подгруппой группы Ъп. Подгруппы группы Ъп имеют вид aZn, где а|п (см. задачу 4.187). Значит, в кольце Ъп все идеалы

Элементы фактор-кольца Ъ/пЪ имеют вид а 4- пЪ, где а £ Ъ. Проверим, что имеется ровно п смежных классов: 0 4- пЪ, 1 4- пЪ, ..., (п —1) 4- 4- пЪ. Действительно, пусть а + пЪ — смежный класс; разделим а на п с остатком: а = пи 4- г, 0 ^ г < п; теперь а 4- пЪ = (пи 4- г) 4- пЪ = = г 4- {пи 4- пЪ) —г 4- пЪ. Сложение смежных классов осуществляется по правилу (7*1 4- пЪ) 4- (г2 4- пЪ) = г 4- пЪ, где г = (г\ 4- 7*2) mod п. Аналогично для умножения: (п 4- пй)(г2 4- пЪ) — г' 4- пЪ, где г' = = (гlr2)modn. Очевидно, смежные классы можно поставить во вза­ имно однозначное соответствие элементам кольца вычетов Ъп\к £ Ъп —> -> А: 4- пй. При этом сложению смежных классов будет соответствовать сложение по модулю п в кольце вычетов, а умножению — умножение

<®[ж]/(ж3-1)<ф[ж], (ж-1)<ф[ж]/(ж3-1)(ф[ж], (ж2 4- ж 4- 1)<6[ж]/(ж3-1)(ф[ж].

лагая <р(г) = (г 4- аЯ, г 4- ЬЯ). Ясно, что ср— гомоморфизм. Найдем его ядро. Если <р(г) = 0, то г 6 аЯ и г 6 ЬЯ, т. е. г = ах = Ьу при некоторых ж, у £ Я. Так как Я = а/2 4- 672, то 1 = аи 4- Ьу при некоторых и, V е Я.

получаем искомый изоморфизм. > 4.482. < Разложим многочлен ж3 —1 на неприводимые над полем Е множители: ж3 —1 = (ж —1)(ж2 4- ж 4- 1).

Аналогично доказывается, что аА = А. Значит, иа = а при некотором и € А. Отсюда следует, что жиа = ха, а потому хи = ж при всех ж 6 А. [Таким образом, и — правая единица. Далее, хиу = жу при всех у, сле- ■ довательно, иу = у, т.е. и — левая единица. Равенство Аа = аА = А г показывает, что всякий элемент а Ф 0 имеет обратный. Это означает,

что А — тело. > 4.542. Так как (аа)а = (а 4- Ь)а = а2 4- Ъа = 2а 4- Ь