Учебник по математике Ч1 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с

'= 4е1 + е2 - 2е3,

сивно, транзитивно, симметрично, антисимметрично; при к ф 0 анти­ симметрично. 4.9. Рефлексивно, транзитивно, симметрично. 4.10. а) На главной диагонали матрицы отношения стоят 1; б) матрица отноше­ ния симметрическая; в) из двух элементов матрицы отношения, симме­ тричных относительно главной диагонали, не более чем один равен 1. 4.11. Указание. Для доказательства достаточно привести примеры, по­ казывающие независимость друг от друга свойств бинарного отношения.

(с, Ь)} — рефлексивно, транзитивно, асимметрично, сгз = {(а, а), (Ь, 6), (с, с), (а, Ь), (Ь, а), (Ь, с), (с, Ь)} — рефлексивно, симметрично, интранзитивно. 4.12. Об (при к = 0), о? — отношения эквивалентности; <т5, <7б (при к = 0) — отношения порядка. 4.13. а\ — отношение по­ рядка. 4.14. 02 — отношение эквивалентности. 4.15. а 3 не является

х £ К{Ъ). Следовательно, К (а) С К{Ъ). Аналогично показывается, что К{Ь) С К (а). Эти рассуждения показывают, что А является объеди­ нением непересекающихся классов: А = {/^(аа)|о! £ /}. Наоборот, если А = {Аа |а £ /} — разбиение множества А на непересекающиеся

ние эквивалентности — А х А, наименьшее — А = {(а, а) |а £ А} (отношение равенства); отношение А х А имеет один класс А, у отно­ шения А все классы одноэлементны; г) да, А; д) наибольщего (при \А\ > 1) нет; е) да, линейные порядки. 4.20. Классы эквивалентно­ сти имеют вид a -f Z , а £ М. 4.22. На множестве А = {а , Ь, с} отношение а = { ( а , а ), (6, Ь), (с, с), (а, Ъ), (а, с ) } определяет порядок, относительно которого б и с — максимальные элементы, ни Один из которых не является наибольшим. 4.23. Есть только минимальные эле­ менты — простые числа. 4.24. Граф отношения изображен на рис. 40. Максимальные элементы — 6, 7, 8, 9, 10; минимальный (он же наи-

чае ответ «нет»; ответ «да» тогда и только тогда, когда ат = та; е) да.

рация обратима слева, если в каждом столбце содержатся все элементы множества; б) сократима слева, если в каждой строке все элементы раз-

х у

личны. 4.58. а) х * у = —-— ; б) умножение матриц; в) х * у = х;

г) х * у = у. 4.59. Операция неассоциативна, некоммутативна; 0 — правая единица. 4.60. Операция неассоциативна, некоммутативна; 1 — левый нуль. 4.61. Операция ассоциативна, коммутативна; 1 — двусто­ ронний нуль. 4.62. Операция ассоциативна, коммутативна; 1 — двусто­ ронняя единица. 4.63. Операция ассоциативна, коммутативна; 0 — двусторонняя единица. 4.64. Операция ассоциативна, некоммутативна; (1, 0) — двусторонняя единица. 4.65. Операция ассоциативна, некомму­ тативна; тождественное отображение е(х) = х является единицей; ото­ бражения (ра(х) = а — левые нули, правых нулей при |Х| > 1 нет.

4.66.Операция ассоциативна, коммутативна; 0 — двусторонняя единица.

4.67.0 — двусторонняя единица; нулей нет. Таблицу Кэли см. на рис. 45в.

4.68.0 — двусторонний нуль; 1 — двусторонняя единица; нулей нет. Таблицу Кэли см. на рис. 45г. 4.70. а) идемпотент 0; нильпотентных эле­ ментов нет; б) идемпотенты: 0, 1; нильпотентные элементы: 0, 2, 4, 6.

4.71.Изоморфны множества из задач 4.54 и 4.67. 4.72. Да, отображе­ ние <р(х) = а -Ь Ь —х — изоморфизм. 4.75. Нет. 4.76. а) Ерли каждое (Аг, •) коммутативно; б) если каждое (А*, •) ассоциативно. 4.77. а) Ле­ вые (правые) единицы — элементы вида (ех, е2, ..., еп), где е* — левая

(правая) единица в А* при г = 1, 2, ..., п; б) левые (правые) нули —

отображение: е(х) = х для любого х; левые нули — такие отображения /, что /(ж) = а € X для любого х, правых нулей нет. Тх можно считать додподгруппой ВXI если в Тх или в В х произведения элементов брать в обратном порядке. 4.89. 5. 4.91. Указание. Пусть 5 — конечная полугруппа и а 6 5. Тогда аг + т = а* при некоторых т , г > 0, а зна­ чит, аг + э = а* при j ^ г. Докажите, что (аыт)2 = а ыгп при достаточно большом N. 4.97. Указание. Обе части равенства аЬаЬ = е умножить

изоморфизм этой группы и группы М. 4.109. Нет. 4.110. См. рис. 47. 4.113. Указание. <р(а) = ср(ае) = (р(а)<р(е), откуда<р(е) = е'. 4.114.Об­ щий вид гомоморфизма: <р(х) = кх, к €.Ъ. 4.115. Отображение <р: х н* ха является изоморфизмом. 4.116. Указание. Если Х = {х\,.. .,жп} и Л С X, то отображение (р{А) = (ех,. .. ,е п) е* — 1 ^ х* 6 А является

изоморфизмом (Р (х ), А) с х ... х 4.117. а) Указание . Отобра-

71 раз

жение х -> ех есть изоморфизм (Е, +) и (Е+, •); б) Указание. Если бы (<0>, +) была изоморфна (<0>+ , •), то в (<0>+, •) было бы разрешимо лю­ бое уравнение вида хп = а, что неверно. 4.119. Указание. Пусть Н — подгруппа группы Ъ и п — наименьшее положительное число, принад­ лежащее Н. Докажите включения Н С пЪ и пЪ С Н. 4.121. Нет. 4.122. Указание. Отображение г -> (|г|, ег&т&г) — изоморфизм О на

НОД(т, п) = 1. 4.136. Указание. Уравнения хп = 1, п € N в этой группе могут иметь только два решения: 1 и —1. Поэтому о(а) = оо для всех а, кроме а = 1 и а = —1. Очевидно, о(1) = 1 и о(—1) =

Zn порядок элемента а равен п в том и только том случае, если a — образующий элемент, а образующими являются такие а, для которых НОД(а, п) = 1. 4.143. 12. Указание. Используйте мультипликатив­ ность функции Эйлера, т.е. (р(тпп) = (р(т)(р{п), если НОД(т, п) = 1 . 4.144. 16. 4.145. 40. 4.146. 1, 10, 5, 10, 5, 2, 5, 10, 5, 10. 4.147. 1, 2, 2, 2. 4.148. о(1) = 1, о (—1) = 2, о(а) = 4 для остальных эле­

соб: доказать, что элемент (1 , 1 ) группы Zm x Zn имеет порядок тп. 4.156. Указание. Воспользоваться тем, что mu + nv = 1 при некото­

рых u, V G Z. 4.157. а)

'1

4.158. а)

, 4 3 1 2

. 4.159. а) (153)(247); б) (1362)(47); в) (1472365).

Указание . Является произведением независимых циклов длины 2; б) 12; в) 2. 4.163.а) (13)(35)(27)(67); б) (16)(62)(27)(78)(35). 4.164. 53 = = {е = а3 = Ь2, а, а2, Ь, аЬ, а2Ь}; о(а) = о(а2) = 3, о(е) = 1, о(Ь) = = о(аЬ) = о(а2Ь) = 2. Таблицу Кэлигруппы5з см. на рис. 48. 4.165. Один

элемент порядка 1 , девять порядка 2 , восемь порядка 3 и шесть по­

у которой (k, ik)-e элементы равны 1 , а остальные элементы равны 0 . 4.174. Очевидно, существуют ровно три движения 1-го рода, переводящие правильный треугольник ABC в себя: это е — тождественное отображе­ ние, а — поворот на угол в 120 ° вокруг центра треугольника, а2 — пово­ рот на угол в 240°. Кроме того, имеются три движения 2-го рода — это симметрии относительно высот треугольника. Если одну из этих сим­

4.181. < Пусть а — движение плоскости и о(а) = п. Если а — движение 2-го рода, то а = 6с, где 6 — симметрия относительно некоторой прямой I, ас — параллельный перенос вдоль этой прямой. Так как ап = е, то с = = е, а значит, а — симметрия относительно прямой. Если а — движение 1-го рода, то либо а — параллельный перенос, либо а — поворот вокруг некоторой точки. Параллельный перенос а при а ф е не может быть элементом конечного порядка. Следовательно, а — поворот. Пусть угол

278 Ответы и указания

поворота равен ip. Так как о(а) = п, то <р = 2л-—, где m , n 6 Z. Таким

п

образом, элементами конечного порядка в группе движений плоскости являются: а) симметрии относительно прямых (в этом случае о(а) = 2 );

— п, если (тп, п) = l).t> 4.182. <3 Очевидно, доказательство достаточно провести лишь для левых смежных классов. Пусть aH n bH ф 0 . Тогда существует элемент с G аН П ЬН. Имеем: с = ah\ — bh2 при некоторых hi, h2 Е Н. Если х — любой элемент из аН , то х = ah3 , где /13 Е Я . Поэтому х = аИз = сК [1Ьз = bh2h±l h3 6 ЬН. Ввиду произвольности элемента х 6 аН мы получаем: аН С ЬН. Аналогично доказывается, что ЬН С аН . Следовательно, аН = ЬН.t> 4.183. Указание. Воспользо­ ваться результатом предыдущей задачи. 4.185. О, 2Zio, Щю> 5Zio, %w- 4.186. {е}, {е, а}, {е, 6}, {е, с}, {е, а, Ь, с}, если Ъ2 х Ъ2 — {е, а, Ь, с}. 4.187. dZn, где d |п. •4.188. 8 . 4.189. Одна — порядка 1, одна — порядка р2', р 4-1 — порядка р. 4.190. По одной подгруппе порядка рт (т ^ п ).

личный от е. Порядок элемента а является делителем простого числа р, поэтому о(а) = р (равенство о(а) = 1 невозможно, так как а ф 1).

жение группы Z по подгруппе пЪ имеет вид Z = (0 4- nZ) U(1 4- nZ) U...

. . . U ((n —1) 4- nZ).> 4.198. a) 27 4- 40Z; 6) 0 . 4.199. Разложения по подгруппе Я : левое: S3 = {е, (12)} U {(123), (23)} U {(132), (13)}; правое: S3 = {е, (12)} U {(123), (13)} U {(132), (23)}. Разложение по подгруппе Я ' (левое, правое) S3 = {е, (123), (132)} U {(12), (23), (13)}. 4.200. Указание . Рассмотреть отображение А х В -> АВ, (а, Ь) н* аЬ. 4.202. По подгруппе 0: Z10 = {0}U {1}U .. .U{9}; по подгруппе 2Zio: Z10 = = 2Zio U {1 4- 2Zio}; по подгруппе 5Zio: Z10 = {0, 5} U {1, 6} U {2, 7} U U {3, 8} U {4, 9}; разложение по подгруппе Zio содержит один класс Zio- 4.203.Л4 = {e, (123), (132)}U{(134), (234), (12)(34)}u{(124), (13)(24), (243)}U{(142), (143), (14)(23)}. 4.204. У к а за ниe. Рассуждать так же, как в задаче 4.182. 4.206. а) (234) •Я , где Я = {е, (14)}; б) не явля­ ется; в) не является; г) является подгруппой Я = еН = Яе; д) не явля-

4.214. Неочевидным является лишь утверждение о том, что параллель­ ные переносы образуют нормальную подгруппу. Докажем это для п-мер- ного пространства. Пусть а : х н> х + а — параллельный перенос, а /3 : х н> Ах + 6 — произвольное движение (здесь А — невырожден­ ная п х п матрица). Тогда /3~1а@ : х н* А- 1 (А(ж - 6 + а) + 6), т.е. Р~~1а{3 : 1 4 1 - Ь + о + А- 1 6 — параллельный перенос. 4.215. Указание. С = {е, а, а2, а3, 6 , аб, а26 , а36} — группа движений квадрата,

= 6- 1а- 1 = 6- 1а- 1 6 •Ь' € АВ. Значит, АВ — подгруппа. Пусть теперь

изоморфна группе движений, оставляющих фиксированную точку непо­ движной. 4.219. Ъп1(Шап = 4.220. Изоморфизм у?: Е/й -»• Т опре­ деляется формулой (р(х + !!)■=■ е2жгх. 4.221. Указание. Рассмотреть отображение абА —>6(АПВ). 4.222. Указание. Изоморфизмом групп х . . .хСп/А хХ . . .хАп и (С\!А\)х.. .х(С п/Ап) является отображение д{А\ х . . . х А „ ) 4 (0 А1 , ..., рАп), где д = (01 , ..., дп) е х ... х Сп. Взаимная однозначность и сохранение операции здесь проверяются не­

4.233. а) Указание. Так как 36 = 22 •З2, то имеется ровно 4 не­

Аз = 2/8 0 й4 Фйз, А4 = ^ 2 Фй4 Фй4 Фйз, А5 = ^2 0^ 2 0 й4 Фй4 Фйз,

Рис. 49

б) р2 —р; в) р3 —р2. 4.243. Не является. 4.244. Является. 4.245. Явля­ ется. 4.246. Не является. Указание. Произведение sin кх •sin/я =

=-(cos (к —l)x —cos (А; + 1)х) не является суммой синусов. 4.247. Явля- Z

ется. 4.248. Не является. Указание. Проверить выполнение акси­ омы (КЗ). 4.249. При п > 1 не является. 4.250. Является. 4.251. Явля­ ется. 4.252. Не является. Указание. Проверить выполнение аксиомы дистрибутивности. 4.253. а) Является; в) е = 3. 4.254. 0. 4.255. 18. 4.256. 27. 4.257. 7. 4.258. 8 . 4.259. р2 - р + 1. 4.262. Указание.