Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебник по математике Ч1 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с

.pdf

Скачиваний:

3201

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

6.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 2927 28 29 > Следующая >>>

				Ответы и указания							261
	(\		0	2	Л	( - 2			О	1	0\
3.106. а) А'	2		3 5		1		1	- 4 - 8			-7
3.106. а) А'	3	-	1	0 2	б) А!		1		4	6	4
	3	-	1	0 2			1		4	6	4
	\1		1 2		3/		1		3	4	V
	(\	2		2\					44		44
3.107. А"	3	-1		-2	3.108. [А -Ь В]®»/ —				44		44
3.107. А"	3	-1		-2	3.108. [А -Ь В]®»/ —				-29,5		-2 5 ,
	\2	- 3		1/					-29,5		-2 5 ,
	\2	- 3		1/
3.109. [р(А)]	= ЗА2 -				- 6	22
3.109. [р(А)]	= ЗА2 -		2А + ЬЁ =			49,
					-22	49,
/О	1				\	/о	1
	О	2				/о	1
	О	2					0	1
		О	3				0	1
3.110. а)		О	3			б)		0	1
3.110. а)						б)		0	1
О				О	п —1	\0				о	\)
\					О	\0				о	\)
\					О
^1/2	1/3	1/4		1/5^		(\	/г К2		Ь?\
1	1/2	1/3		1/4		О	12Н		ЗН2
3.111.	0	0			3.112.	0	0	1		3/г.
0	0	0			0	0	0	1		3/г.
\ о	о	о		о у		\0	О О		\ )
, 3.114. Оператор обратим в том и только в том случае,										когда А ф 0;

; А _1х = —х. 3.115. а) Оператор проектирования на ось, заданную векто-

I ром е, не имеет обратного; б) оператор не имеет обратного. 3.116. а) Опе-

|ратор проектирования на плоскость, перпендикулярную вектору е, не

имеет обратного; б) оператор зеркального отражения в плоскости, пер

пендикулярной вектору е, обратим, причем А -1 = А . У казан и е. По следнее следует из равенства А2 = Е, которое геометрически очевидно, но может быть и проверено следующим образом:

А2х = А(х —2(х, е)е) = х —2(х, е)е —2(х, е)Ае =

г	.
= х - 2(х, е)е -	2(х, е)(е - 2е) = х = Ех, х € Уз.

262		Ответы и указания
3.117. А -1х =	(—х 4- 2у -	г)\ 4- { - х	- 3у - 2г)$ 4- (2х -	Зу 4- 2г)к.
3.118. Оператор не имеет обратного.			3.119. и -1 (е, ф) =	и (е, —ср) =
= и ( —е, </?).	3.120. А -1	= А. 3.121. Оператор не имеет обратного.
3.122. А -1х	^(а?! 4- 2х2 + 2х3, 2х\ 4- х2 - 2х3, 2x1 ~ 2х2 4- я 3).
	У

3.123. а) ЛГд — двумерное подпространство всех векторов, ортогональ

ных вектору е, ТА — одномерное подпространство всех векторов, кол-
линеарных вектору е;	б)	— одномерное подпространство всех векто
ров, коллинеарных а,	ТА — двумерное подпространство всех векторов,
ортогональных а. 3.124.		= 'Ро = К, Тв = 7^-1. 3.126. гА = 2,

базис ТА: ех = (2, 1, 1), е 2 =

(—1, —2, 1);

пА =

базис

е =

(1, 1, 1).

3.127. гд =

1, базис ТА\ е = (1,

1, 1);

пА = 2, базис

ех = (1, —1, 0),

е 2 =

(1, 0, —1).

3.129. А = а,

х(А) — любой ненулевой

вектор.

3.130. Ах =

х(Аг) =

х[,

ф 0; \2 =

х(А2)

у}

4- гк,

х(Аг) ф 0.

3.131. А

= 0, х(А) =

XI,

х ф 0.

3.132. При

2лI,

I =

= 0, ±1, ...,

оператор и (е, ф) совпадает с единичным. Поэтому в этом

случае А = 1, а х(А) — любой ненулевой вектор. При </? = (2/ 4- 1)7г, I =

= 0, ±1, ...,

Ах = 1, х(А1) = ае,

а ф 0, \2 =

—1, х^А2^— любой нену

левой вектор, перпендикулярный вектору е. При

ф п1,

1 = 0, ±1, ...,

оператор имеет единственное собственное число А

а х(А)

ае,

а ф 0.

3.133. Ах =

1, х(А1) — любой ненулевой вектор, компланарный

плоскости отражения, \2 =

—1,

х(А2) = ае,

ф 0.

3.134. А =

- 1,

= а

ф 0.

3.135. А = 2,

Х ^ = «1

а 2

, а! и

V -1;

V1/

/ л

а 2

не

равны

одновременно

нулю.

3.136. Ах = 1,

= а

/ Л

{3\

А2

= 0,

Х ^

= а

, а

ф 0.

3.137. А =

1, Х ^

= а

, а ф 0.

\У

Л\

3.138. Ах =

X <А1> =

;

А2

- 1,

Х ^

ф 0.

V2;

V1;

Ответы и указания

263

/2\

(

3.139. А! = 1,

* ( А1> =

«1

4- а 2

ах, а 2

не равны одно-

/зЛ

временно нулю;

А2

— 1,

Х (А2) = а

а ф 0.

3.140. Ах

V6/

/<Л

(Л

; А2

1, Х (Аг)

= а

;

ф 0.

3.141. А =

Чо/

V -!/

ЛЛ

/—2\

Х М = а1 о + <*2 1 ; а\ + а ! Ф 0. 3.142. Ах = - 1, Х<А1> =

/Л		V1/	V	0/		А\			(2\
/Л						А\			(2\
= а 1	;	А2 = 2,	Х ^	= а		1	;	А3 =	- 2, Х<Аз) = а 3	; а ф 0.
и						V /
				(	2\
3.143. А	=	2, Х ^	=		-4	,	а	ф 0.	3.145. При любых	ср ф 0, 7Г
				V	3/


оператор А имеет два собственных числа Ах((/?) =			сову» 4- гвпк/з = ещ ,
^2(ц>) = сов</? —г в т </? =		е~г(р. Соответствующие им собственные век
торы: Х (А1)(</?) = а ^ ^		и Х (Хз)(<р) = (3 ^ ^ , где а и 0 — произволь
ные отличные от нуля комплексные числа. При			= 0 и </? = 7г оператор
А	имеет по одному собственному числу: А(</? =		0) = 1, А(<р = 7г) =
=	—1. В обоих случаях собственным вектором является любой ненуле

вой вектор из комплексного пространства £ 2. 3.146. У казан и е. К ра венству (А — АЕ )Х ^ = О применить операцию комплексного сопряже-

/ Л

ния. 3.147. Ах = 1, Х<А'> = а 2 ; А2 = 2 4- 3», Х (Аг) = а 5 —Зг

V1/

4 )

264 Ответы и указания

/з

з Л

А3 =

2 -

Зг,

X (дз)

= а

5 + Зг ;

а G С,

/ 0.

У казан и е. Вос-

пользоваться

)

3.149. б)

АЛ-1

1/А,

результатом

задачи 3.146.

/ -83

-5 9

-45\

3.151.

3.152.

107

( - 3 /2

- 2

-1/2^

3.153.

-11

е2 - 8

е - 8

. 3.154. D =

1/2

-1/2

, D*

1/2

3/2/

2/3

0 .

3.155. D =

D* =

1/2

- 1

1°

4/3

О )

3.156. Поворот на угол а

вокруг начала координат по часовой стрелке.

3.157.

3.158.

(Ь2 -

а2

- 2 аЬ \

если

аЬ

ф 0;

J)/Q

-л

а2 + Ь2

у _2 аЪ

- 1

при 6 = 0.

3.159. <

Пусть а\, ..., ап G

ч° - У

при а = 0;

’

€ Еп соответствуют вектор-столбцам матрицы А. По теореме КронекераКапелли система совместна тогда и только тогда, когда rang Л = rang Л, т.е. вектор Ь, соответствующий вектор-столбцу 5 , принадлежит линей ной оболочке векторов ai, ..., ап, которые соответствуют также вектор-

строкам сопряженной матрицы А* (рассматривается действительный случай). Арифметический вектор х является решением сопряженной

системы по определению тогда и только тогда, когда (а*, х) = 0, i =

= 1, 2, ..., п, а значит, и (Ь, х) = 0. Теорема доказана. В комплексном

случае строками матрицы А* являются не векторы ai, ..., an, а их комплексно-сопряженные, но доказательство проводится аналогично. > 3.160. Совместна; общее решение сопряженной системы се, е = (—1 ,—1,2). 3.161. Несовместна; общее решение сопряженной системы ciei 4- с2е 2, ei = (—1, 1, 0), е2 = (-1 , 0, 1). 3.162. Совместна; сопряженная система имеет только тривиальное решение. 3.163. Совместна; общее решение

Ответы и указания

265

сопряженной системы как в задаче 3.161. 3.164. У казан и е. Восполь зоваться теоремой Фредгольма. 3.165. Только система из задачи 3.162.

			/ л			(	0^						(	^
			0				2			1			(	^
3.172. Е г		=	0	е 2	—		2	Ез	=	1		—		0		А =
3.172. Е г		=	,	е 2	—		,	Ез	=	, е 4		—		2		А =
			0			- 1				0				2
			У			1	ч			У			I - 1/
(г		о	о	(Л				(1\			Л					/ Л
0	1	0	0	3.173. Ех				1		- 1			Ея			2
0	0	2	0	3.173. Ех				1	Е2 —		1		Ея			4
0	0	2	0					1			1					4
^0	0	0	2/					V1/		V - 1/						\8;
		Л			(\		0	0		о\			П\
		- 3			0	- 1	0	о					П\
Е4		- 3			0	- 1	0	о		3.174. Е1		=		1	е 2 —
Е4		9			0	0	2		0	3.174. Е1		=		1	е 2 —
		9			0	0	2		0				V1/
	У“ 2?)				\о		о	о		- з у			V1/
	У“ 2?)				\о		о	о		- з у
(	Л		(	Ъ\			(ъ	о		о\
	о	, Ез		1			0	0	0	3.175. Диагонализировать
V -1/							\0		о	оу
V -1/
				(	Л			(г\		/0\	,	А	=	(0	0	0\
нельзя. 3.176. Е\ =					о	, е 2 =		о	>Ез	1	,	А	=	О	1	о
				V - 1/				V	/	\ ° У				\0 О \)
			( ^				/0\			/1\				/2	0	0\
•3.177. Е х		=	( ^		Е 2		1			1	А
•3.177. Е х		=	О		Е 2		1			1	А			0	2	0
			\ -з/				\3У								0	1)
			\ -з/				\3У
			/1\				Л \			/ л					(	л
Г 3.178. Е х			1		Е'2	=	0		Е ,	о			Е<			-1
Г 3.178. Е х			о		Е'2	=	1		Е ,	=			Е<			-1
			о				1			о						-1
			\°У				\ ° У			V1/					\ - у

266

Ответы и указания

(Л

/Л

ЛЛ

0^\

А =

3.179. Ел

Еч —

- 1

2У

I 1/

V0/

°У

/--Л

о\

Ел

3.180. а)

2т

-1

2т .

V V

1°

- V

б)

при т четном,

—1

при ш нечетном.

У казан и е.

-2 ,

Использовать формулу А

у —1£)т2'

3.181.

3197

-1266

7385

-2922

/190

189

—1894

/2/3\

(

1/3^

3.182.

126

127

-126

3.183. Ег =

2/3

Е2

-2/3

> Ез —

^252

252

-251/

о\

Ч/З/

2/3/

/—2/3\

/1/л/2\

1/л/18^

1/3

, в =

- 9

3.184.Ех =

1Д/2

,Я 2 = -1/л/18

/ з /

18/

^-4/л/18/

о\

(

/з \

Е*

-2/3

3.185. Е х =

-г‘/ч/2

£/2 =

2/3/

\^0

27/

/ 1 / ^

ЛЛ

(

1/^2>

г/\/2

3.186. Е х

1/\/2

\У

4у

''о

{

(

1/^/5\

/ 1 / ^

Е 2

—

1/л/3

> ^3

1/у/Ъ ,

0 .

3.187. и

^-1/ч/3>

\2/\/б/

<А . 1 + г\

Лл/б

3.190. и =

3.191. и =

3.203. А

3.205. А' :

Ответы и указания

	( 1	1 (Л
	уД	и
	уД	у/2
3.189. и =	1	л
3.189. и =	у/2	0 , Л =
	у/2	V 2

/ 2 / 3 - 2 / 3

2/3 1/3

\1/3 2/3

( _2_ -1—

у /1

Ъу/Ъ

___ 1_

л/5 Зл/5

\ЪуЦ

(	6	- 4\
	О		2
V-4			6У
^	3	- 1	- 1
		СО	1
		1
	1 .
	1	1	1

	0	V
-1/3>	/1	0
2/3 , Л =	0	4
-2/3/	1°	0
1 \
3	^1	О
2	О	1
£> =	О	1
3	^0	0	10/
_ 2	^0	0	10/
3/
		/о	1\
3.204. А =		О	2
		VI	2 3/
	3.206. А' =

267

(ь 0 0>

0 - 3 0

1° 0 1/

	и		- 1		3
3.210. я'?	х'1 -	*	>2
3.210. я'?	х'1 -	*	3»		5 /
XI -		1	/	I	5 /
XI -	*1	2			6
х2 -		1			1
х2 -		2 ^			6Хз?
*з =					- I
3.212. х'\ + х'\ - я ' з ,
XI -	1 ,
= 2^1 +*2»
х2 ■-		х'2		+	х'3 ,
*з -	- х '2 +				х'3.

- у

3.211. х'\ - х,2 - х'\,

X1 —X2	Х2	*з>
я 2 = х [	+ х 2 -	х'3 ,
х з =		х'ъ .

3.213. 9х'1 + 18х'1 - Эх'2,

Х1 =	2 ,	+	2 ,	-	1	,
	3 * 1		3 * 2		з*з»
* 2	- з*'х +		3 * 2		+	з*з»
*з =	2	- 3 * 2		,		1 , 2 ,
	з *1			+	з*з-

268

Ответы и указания

./2

2х%

3.214. Зх'1 + 6хГ2

XI —

/^х 1

"4~ ГпХ2

^2%

л/З

л/6"

Х2=

~ 7 Г

~ Ж

2 + л/2 '3»

~ Т Х1 -

~г'~'

л/3

л/6

3.215. Ъх'\ -

х'\ -

ж'2,

3.216. 9х'? + 18ж;2 + 18ж'з,

^1 = - я х

Х1 = Ж

'1 + Ж '2 + 7 Г ' 3’

3Х2 +

З *3’

>у^х‘2

а'2 —

л;а'1

^/2*Сз5

л/з'

1 .

л/5 1

V®'

Жз =

1 +

2 +

з Хз'

3.218. Положительно определенная.

3.219. Отрицательно определенная.

3.220. Общего вида.

3.221. Отрицательно определенная.

3.222., По

ложительно определенная.

3.223. Общего вида.

3.224. Положительно

определенная.

3.226. Эллипс

д./2

+ у'

= 1,

0'(-4/ 5, 2/5),

ех =

—

= (1/у/Е, 2/л/5), е2 = (—2/>/5, 1/л/5).

3.227. Парабола г/'2 =

4>/2ж',

0'(2,

1),

в!

(1/>/2, 1/>/2),

е2 =

(—1/л/2, 1/\/2).

3.228. Гипербола

7 - -

°'(1 ,

1),

в!

= (3/лЛЗ, 2/лДЗ), е2 =

(-2/л/13, 3/л/ТЗ).

3.229. Параллельные прямые х' =

± \/5/2,

0 '( —3/5, —3/10),

ех =

= ( - 2 / А

1/л/5),

е2

(1/л/5, 2/л/5),

или,

старых

переменных,

2гс —у +

1 =

2х —у -

4 = 0.

3.230. чЭллипс

35/6

’

35/36

О'{7/6, 1/3), е1 = (2/ч/5, -1Д/5),

е2 = (1 / А

2/л/5). 3.231. Парабола

у' 2 = ~^х',

0 '(3, 2),

е,

= (—2/\/5, -1/л/5), е2 = (1/л/З, -2/\/5).

3.232. а) При А 6

(—оо, —1) — гипербола (х -

А) 2

А (у —^

А3 + 1

, при А =

— 1

две пересекающиеся прямые х —у

= 0 ,

а; + у -Ь 2 = 0, при А 6 (—1, 0) — гипербола (х —А)2 + А ^у —^

А3 + 1 , при А = 0 — парабола х2 = 2у, при А 6 (0, + оо) — эллипс

Ответы и указания

269

(х

А)2+

(

А3 + 1

—

гипербола

Л (

у - —1= — - — ;

б) при А 6(-сю, -1 )

(1 -

А)*'2

(1 + А У 2 =

1,ОЧО, 0),

е, =

(-1/А, 1/А), е2

= (—1/\/2, —1/>/2), при А =

—1

— две параллельные прямые х —у ± 1=

= 0, при А 6

(—1,0)

— эллипс (1 - А)ж'2 + (1 + А)у'2 = 1, О'(0, 0),

ех =

(—1/\/2, 1/\/2),

е2 = (—1/\/2, —1/\/2), при А = 0 — окружность

х2

у2 =

1, при А

6 (0, 1) — эллипс (1 —\)х'2 -Ь (1

А)у'2 =

0'(0, 0), ех =

(—1/л/2, 1/\/2),

е2 = (-1/>/2, —1/>/2), при А = 1 — две

параллельные прямые х + у

± 1 = 0, при А €

(1, + оо) — гипербола

(1 -

А)х'2

(1 + А У 2 =

1,0'(0, 0),

в! =

(-1/4/2, 1/А ), е2

	1	1 \	/2	/2	/ 2
		_ у \| )- 3-233- Эллипсоид
в,	(= (1/3,2/3,2/3),е2 =		(2/3,1/3,-2/3),		е 3

+ у - + Щ = 0 '(1 ,2 =(2/3,-2/3,1/3).

3.234. Гиперболический параболоид

— —- —— 2г'

е,

= (-2/3, 1/3, 2/3),

е2 =

(1/3, -2/3, 2/3),

е3

(2/3, 2/3, 1/3).

3.235. Двуполостный гиперболоид у — +

4/15

4/25

1,0 ' (0,1, —2/5),

4/5

ех = (1Д/2, —1/\/2, 0), е2 = (1/ч/2, 1/ч/2, 0),

е3 =

(0, 0, 1).

3.236. Э,л-

липтический параболоид

Хг .

Н— %=— —2г', 0 '( —1/40, —19/40, 1/2),

5у2/4

V2/2

ех

= (1/л/б, 1/л/б, -2/^5), е2 = (1/л/З, 1/^5, 1/^5),

е3

(1/ч/2,

0 '{2, 1, —1),

—1/\/2, 0). 3.237. Параболический цилиндр у'

~х\

ех

= (2/3, 2/3, 1/3), е2

= (2/3, -1/3, -2/3),

е3

(1/3, -2/3, 2/3).

3.238. Эллиптический цилиндр

1 = 1,

0'(0, 1, 0),

ех =

(1/\/3,

1/А , -1 / А ), е2 = (1/А , - 2 / А

- 1 / А ,

е3

(1/А

0, 1/А ).

ж'2

у'2

г'2

(

3.239.Однополостныйгиперболоид щ

+ :Щ ~ Т /2 = 1’

\ 3 ’ _ 3 ’ 3/’

е,

= (1/А -1/А 1Д/3),

е2

(1/А, 2/А, 1/А),

ез =

х'2

у'2

~ (1/А, 0, —1/\/2)- 3.240. Гиперболический цилиндр

— 1,

о'{ 1/6,1/з, -5/6), в1 = (1/А , о, -1 / А ),

е2 = (1/А , -1 / А ,

1/А ),

ез = (1/А , 2/А, 1/А).

270	Ответы и указания
3.243 Тензор типа (3, 0).	41	11
3.243 Тензор типа (3, 0).	3.244.	3.245. А! =
	8 \ - 3	7

= 5 _1Л (5_1)Т. 3.246. пр+я, где п —сИт£. 3.247. а(х). 3.248.	(г, У),
(г, к), (г, I). 3.249. Да. 3.251. В(х, у) = а(х)0(у). 3.252. Вч =	® у .

3.253. Матрицы тензоров Лу", Су остаются симметрическими, а тензора

В\ — необязательно.					3.254. В = (6 0 - 1 ),				С = (1 1 - 7 ) . 3.255. ЦС^Н =
	/ 2	7	18\			Гб	8	16>
=	0	8	22	, И И =		6	14	19		3.256. У казан и е. Исполь-
	I - 1	6	7)			V*	7	5/
зовать формулы А1= 5 ТЛ5, Л' = 5 "*Л 5
								1		ы	ЧЬ
										ы	ЧЬ
-	1(В/Ц 1- в /“ + в				; н +	в	-™В «(),					+ СТу**;) +
											/- 1	3/2	2 >
"Ь	0 {Ojki	"Ь Скгу "Ь					3.260. Р у т			\| = 3/2		1	5/2
								1/2 ^			V 2	5/2	- з /
					2			1/2 ^
IIАН Ву\|\| =			- 2		0	-5/2
			^—1/2		5/2	0	/
3.261.
	в ^к	3 = 1 3 = 2 ; = 3 3 = 1 3 = 2								У = 3 з = 1 3 = 2 У = з
	г = 1	2		3 /2	2		3 /2	3		- 1	2	- 1	2
	г = 2	- 1		9 /2	1/2		9 /2	0		2	1/2	2	5
	г = 3	6	- 9 /2		5 /2	- 9 /2		4		0	5 /2	0	3
			к	= 1				к = 2			к	- 3
	С « *	3 = 1 3 = 2			3 = 3 3 = 1 3 = 2 У = з						у = 1 3 = 2 У = 3
	г = 1	0		0	0		0	- 1		0	0	1	0
	1 = 2	0		0	1		0	0		0	0	0	0
	г = 3	0		- 1	0		1	0		0	0	0	0

к = 1

к = 2

к = 3

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 2927 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебник по математике Ч1

#
23.02.2015201 б36Прочтите это!.txt
#
23.02.20156.11 Mб3201Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с.pdf