Учебник по математике Ч1 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с

Ответы и указания

241

= 0.

1.155. Зх —у —1 = 0,

Зх —у —21 =

0.

1.157. у —2х + 6 = О,

у +

2х -

6 =

0.

1.158. Зх

+

у ± 6 = 0,

х -

Зу ± 2 = 0. 1.159. 20,

—4/5. 1.160. 7ж —у —25 = 0.

1.161. Зх —5у + 47 = 0,

Зх —5у —11 =

= О, Зх + 5у + 17 = 0, Зх +

5у —41 = 0.

1.162. Зх - 2у - 12 =

О,

Зх —8у +

24

=

0. 1.163. а) Зх —2у —7 =

0; б) х —5у —7/6 =

0.

1.164. х -

5у +

3 = О, Ъх + у -

11 = 0. 1.165. В { 1, 1),

П (-1 , 3), АВ:

х —1 = О, ВС : у —1 = 0, СП: х + 1 = О, АЮ: у —3 = 0.

1.166. Зх —у +

ВС : 4х - Зу - 7 = О,

СО: Зх + 4у - 24 =

О, АИ: 4х - Зу - 32 = О,

АС: 7х + у — 31 = 0.

1.168. х + 2у —7 = 0,

х —4у —1 = 0, х —у +

+ 2 =

0.

1.169. У казан и е. Отклонения 5(М\, Ь)

и 6(Мг, Ь) имеют

разные знаки.

1.170. 4х + у + 5 = 0 или у —3 = 0.

1.171. а) В одном

углу;

б) в вертикальных углах.

1.172. Тупой.

1.173. 4х —Зу +

10 =

= 0,

7х

+ у —20 =

0, Зх +

4у —5 = 0.

1.174. х -

Зу —23 =

О,

7х + 9у + 19 = 0,

4х + Зу + 13 = 0.

1.175. 2х +

9у —65

=

О,

6х —7у —25 = 0, 18х + 13у —41 = 0. 1.176. х —6у +

17 = 0,

8х +

+ Зу - 1 7

= 0,

7х + 9у + 17 = 0.

1.177. 4х -

Зу = 0,

12х + 5у + 16 = 0.

1.178. б) Л =

- 2/3.

1.180. а) 2х —у + 2 —2 = 0;

1/л/б; б) ж -

у =

1/л/2. 1.181. а) х + у - 3

= 0;

б) х + 2 у -2

= 0. 1.182. а) х - 2 у - г = 0;

б) —х + у + 2г —5 = 0.

1.183. а) —х + 2у —Ъг —3 = 0; б) 2ж —2у —г +

+ 1 = 0.

1.184. а) х +

у —3 = 0; б) 2х —у —1 =

0. 1.185. Пересе-

_____

1

4

3

каются, соэ (Рх, Рг) =

1.186. Параллельны, р(Рг, Рг)

2/у/б

2 Д Л 5 ^ '

’

’

1.187. Пересекаются, соз(Р1,Р 2) = 1/2.

1.188. Совпадают.

1.189. 8.

1.190. х + у + 2 —3 = 0.

1.191. 3\/5х —6у —4\/52 + 12л/5 =

О,

4\/5/\/161.

1.192. а) 4х —5у + г —2 =

0 и 2ж +

у —Зг

+ 8 =

0;

= 0; б) 20х —12у + 4-г + 13 = 0. 1.194. а) В смежных углах;

б) в одном

углу. 1.195. х —у +3-г —2 = 0, х —у —2 = 0,

5ж —2у + 12г —10 = О,

5х —2у + 21^ —19 = 0. 1.196. 2х —у —г —2 = 0.

1.197. а) ч =

[111, 112] =

4х + Зу —5 =

О,

= —31 + 43 + 5к, уравнения в проекциях:

5х + Зг —7 =0, б) ч =

^5у - 4г + 1 =

0;

242

Ответы и указания

7х - у + 1 = О,

= [п1, пг] = —1—7]—5к, уравнения в проекциях: < 5х —г —1 = О,

$у _ Тг —12 = О.

,

_Ч х ~ 2

У

* + 3. -ч ж - 2 _

у _ г + 3

ж - 2

у

1 Л 9 8 . а ) _

_

=

_

=

6 )

—

_

-

_

В ) _

_

_

- .

2 + 3 х - 2

у

г +

3

х - 2 _ у _ г + 3 Vж “ 2 _

у

О ’ Г

О

“ О “

1 ’ Д'

- 4 “ 8 “ 10 5 ^

1 “ 2 =

=

£ ± 5

1 199 а1

—

-

—У

= —

• 6^

—

= 2 - ^

=

—

-1/ 2'

2

3

—2

2

1

- 3

1.200. а) х —2у + г —0;

б) 2х + у —1 = 0;

в)

Г х —2у + 2 = О,

или

<

1 = О,

( 2х + у -

Л

=

^

О

г) 18/\/30; д) Л/'(3/5, -1/5, -1 ).

1.201. а) 1/УГ5,

—1

2

Г X + у - 2 + 1 = 0 ,

М(1, - 6 ,

-4 );

б) Зх -

у

+

2г

-

1

=

0;

в)

I

[ Зх —у + 2г —1 = 0.

1.203. а) 2х -

16у -

13,2 + 31 = 0;

б) 6х -

20у -

Ш +

1 = 0.

1.204. 3.

1.205. а)

6/л/5;

б)

21.

1.206.

25.

1.207.

1.208. - И .

1.209.

=

-2-

=

1 1 ^ 2 .

1.210. ашзш

3

- 1

7

*

2у/7'

1.211. ^

-2 8

± 1.212.

5

^

= £±1. 1.214.6)4« +

67

70

- 6

9

'

{ 54х -

44у -

7г + 181 = О,

1.215. б) 4х +

+ Зу+12г—93 = 0; в) 13; г) {

’

( —45а: —76у + 34-г + 497 = 0.

+

12у

+

Зг

+

76 =

0;

в) 127/13;

г)

53х - 7 у - 48г -

429 = О,

105х -

23у -

44г + 136 = 0.

1.216. б) 6 ж -

Зу -

22

+

2 =

0;

в) 7; г)

Г 17* + 16у + 27г -

90 = О,

I

( 31х + 58у + 62 - 20 = 0.

1.217. б)

2ж -

Зу -

42 -

74

=

0;в)

4\/26;

г)

=

~ц.

,

. х

у

-

г —1

х —1

у

-

2

. 1

\\У + г ~ 1 =

0,

1.218.а)т -

т

—

—

-

1

г

б) ^

; в ) | 1 + !) _ 2 г _

1 = 0;

г) х +

у

+

32 —2 =

0;

д) агсБШ

5

1*219.См. рис. 38.

1.220. См.

рис. 39.1.221. Прямые х

= 0 и ж

—у =

0.

1.222. Прямые у = 0 и

х + у =

0.

1.223. Прямые х —у = 0 и х

+

у = 0.

1.224. Прямые

Ответы и указания

243

ж = 0 и у = 0. 1.225. Прямые у — ± 3.

1.226. Прямые ж = —2 и

Рис. 38

Рис. 39

1.235. у =

± 2х. 1.236. хг + уг =

16. 1.237. хг + у2 =

8. 1.238. ^

+

+

/2 =

1.

1.239. ху =

2.

1.240. у =

—

- х -|- 2.

1.241. а) С(2, -3 ),

Д

=

4;

б)

С(4, 0),

Л

=

4;

в) С(0, -2 ),

Я

=

2.

1.242. а)

(ж - 2 ) 4

+ (у +

З)2 =

49; б)

(х +

I)2 +

{у - 2)2 =

25;

в) (ж - I)2 +

{у -

4)2 =

=

8;

г)

(ж -

I)2 + (у

+

I)2

=

4; д) (ж - I)2 +

(у - I)2 =

1 или

(ж -

5)2

+

(у - 5)2

= 25; е) (ж -

2)2

+ (у -

4)2 =

10;

ж) (ж +

4)2 +

+ (у + I)2 = 25. У казан и е. Написать уравнение искомой окружности

в виде ж2

+

у2 +

Их + Еу + Р

=

О, подставить в него координаты

каждой точки и затем найти I),

Е

и Р.

1.243. 2ж — 5у +

19

=

0.

1.244. а)

7;

б) 2.

1.245. а) Пересекает;

б)

касается; в) проходит вне

окружности.

1.246. а) о =

5,

6 =

3;

б) Рх(—4, 0),

Рг(4, 0);

в) е =

~;

г ) ^ ж =

Я 2: * = | . 1 .2 4 7 .а )^ + ^ = 1 ; б ) | + £ = 1;

1.— л. у!

~ 1. «л е !

о.

~ 1

48

’

5

1

’

^ 64

= 1.

1.249. а) С {3, -1 ),

а =

3,

Ь =

л/5,

е = 2/3,

2ж +

3 =

0;

И2: 2х ~ 15 =

0;

б) С (-1 , 2), а =

5,

6 =

=

4,

е = 3/5, 01:

Зж +

28 = 0; Х)2: 2ж - 22 = 0;

в) С(1, -2 ),

а = 4,

244

Ответы и указания

Ь =

2л/3,

е = 1/2,

А :

у 4- 10 = 0;

Г>2:

ж2

У ~ 6 = 0. 1.252. — 4-

2

у/ъ,

= Д=(4 ±

1.253. (-15/4, ±у/бЗ/4).

+ ^

= 1,

П,2 = 4 ±

Р1,2

л/3).

1.254. 2ж2—2ху 4- 2у2—3 = 0.

1.255. 7ж2—2ху 4- 7у2—46ж 4- 2у 4- 71 = 0.

эллипса.

1.258. Зж 4- 2у —10 = 0 и Зж 4- 2у 4- 10 = 0.

1.259. х 4- у —5 =

= 0 и 1

+ |/ +

5

=

0. 1.261. х + у —5 = 0 и ж

+

4у — 10 = 0.

1.262. А/о(—3, 2),

л/ТЗ-

1.264. 2х 4- Н у —10 =

0. У ка зание. Восполь­

зоваться результатом задачи 1.263.. 1.265. а) а —3,

6 = 4; б) ^ ( —5, 0),

Р2(5, 0);

в) е =

г)

у =

± ^ж; д) а; =

±

Ц.

1.266. а)

о =

4,

6 =

= 3; б)

^ (0 , -5 ),

Р2(0, 5);

в) е =

г)

у

=

±

^х;

д)

у =

±

~ .

У2

л

\ х2

У2

л л 0*0

(х -

Жо)2

(?/ -

УО)2

= 1 ; д ) з б - б 5 = 1 ; е ) Т -

Т = 1- ь т

„2

ь2

-

= 1. 1.269. а)

С(2, —3), а =

3, 6 = 4, е =

5/3, уравнения асимптот:

4х —Зу —17 =

0 и 4х 4- Зу 4- 1 = 0, уравнения директрис: 5х —1 =

= 0 и 5х — 19 = 0; б) С {—5, 1), о = 8, 6

= 6, е =

5/4, уравнения

х —

—11,4 и х — 1,4;

в) С (2, —1), о =

4, 6 = 3,

е = 5/4, уравнения

асимптот: 4х 4- Зу —5 =

0 и 4ж —Зу —11 = 0, уравнения директрис:

у =

- 4,2

и у =

2,2.

1.272. п = 9/4,

г2 = 41/4,

р(М, Б г) =

9/5,

р(М, Г>2) =

41/5.

1.273. (-6 , ±4>/3).

1.274. 7у2 +

24жу - 144 = 0.

2

2

у/2,

1.275. 7х2 -

бжу -

у2 + 26х -

18у - 1 7 = 0. 1.276. у

-

— =

1, е =

Г,(-ч/5, -л/2), Ж А

у/ 2 ) ,

0 ,,2: х + у±л/2 = 0.

1.277.

- М

=

= 1. У казан и е. См. задачу 1.257. 1.278.10ж —Зу —32 = 0,

10ж —Зу 4-

4- 32 = 0. 1.279. Зж4у —10 = 0, Зж -4у4-10 = 0.

1.281. 5 ж - 3 у - 16 =

= 0,

13ж 4- 5у +

48 =

0.

1.282. М0( - 6, 3), р = 11/у^З.

1.284. 2ж 4-

1.285. а) р — 3;

б) р

— 5/2;

в)

р =

2; г) р = 1/2.

1.286. а)

у2

=

=

- я;

б) х2 =

- 2у;

в)

х2 =

-

12у.

1.287. а)

(у -

у0)2 = 2р(х -

х0);

б)

(у -

Уо)2 = -

2р(х -

х0).

1.288. а)

4(2, 0),

р =

2;

б) 4(0, 2),

р

=

=

1/2;

в) 4(1, 3), р

=

1/8;

г)

4(6,

-1 ), р =

3;

я)

4(1, 2), р

=

2;

Ответы и указания

245

е) А (-4, 3), р =

1/4; 1.290. 6.

1.291. а) у = ^ж2 -

ж + 3; б) х2 + 2ху +

+

у2 -

6х + 2у + 9 = 0.

1.292. у0у —р(х + х0).

1.293. х + у + 2 = 0.

1.294. 2х -

у — 16 =

0.

1.295. Зх -

у +

3

=

0 и Зж - 2у

+

12 =

0.

1.296. М0(9, -24),

р(М0, L)

=

10.

1.298. у -

18 =

0.

1.299. tg<p =

=

1.

1.300. rsin<£ =

1.

1.301. r c o s ^ —^

=

~=.

1.302. г

=

о.

1.303. г2 =

о2

1.304. г = acosu?. 1.305. Окружность ж2 + у2 = 25.

---- —

cos 2у?

—ж.

1.307. Прямая ж = 2.

1.308. Прямая у =

1.

1.306. Прямая у =

1.309. Прямая ж —у —1 = 0.

1.310. Прямая ж + у —2 = 0.

1.311. Окруж­

ность

(ж —о)2

+

у2

=

о2.

1.312. Окружность ж2

+

(у —о)2 = о2.

1.313. Пара лучей ж =

± 2 у,

у ^ 0.

1.314. Семейство концентрических

7Г

1.315. Гипер-

окружностей радиусов гп = (—1)п— + 7гп, п = 0, 1, 2, ...

бола жу

=

а2.

6

+ у2)2 = о2(ж2 —у2).

1.316. Лемниската Бернулли (ж2

1.317. а)

rcosv?

=

3;

б) ц> — 7г/3;

в) tgv? =

1.

1.318. а)

г

=

10 cos

б) г =

± 6sin<£.

1.319. а)

С(2, 0),

Я =

2;

б) С(3/2, тг/2),

Я =

3/2;

в)

С(5/2, -тг/2),

Я = 5/2;

г)

С{3, тг/З), Я =

3;

д)

С(4, 5тг/6),

Я

=

=

4;

е)

С(4, —7г/6),

Я

=

4.

1.320. г2 —2 r o r c o s —<^о) = Я2 —rjj.

1.321. а) г = -— ^ ----- ; б) г =

-— ^ ------. 1.322. а) г =

-

9

5 —3 cos

’

5 + 3 cos (р'

4 —5 cos tp’

6)

r =

Q

Q

X2

I]2

-— ----------------------------------------------------------------------------------.1.323.r

4 —5 cos (p

1 —cos v?259

2

2

»2

б)

тг

-

7Г =

в) У2 = 6 l -

1-S25- r2

=

------5-----5 --

1-326.

r2

=

16

9

1 -

e2 cos2

<p

62

—1’

1.327. r

=

1.328.

а)

ж

=

*,

у

=

t

+

e2 cos2

*sin2 ip

+

1,

t €

[-1,

+

oo);

б)

ж

=

* —1, у =

t,

* € [0,

+

oo);

в) x

—

=

-

1

y/2^

t,

t €

[0,

+ oo);

.

V2

cost

+ T t, у = T

r) x = Tcos(t_37r/4),

V2

sin*

г

7Г\

«««

ч

,

1

,

У

=

Т

c o s ( t - t o / 4 ) ’

*

е4 ) - h

>1 - * Ж

a )

X

=

*

+

7 ! ’ У

= 1 + -^=t, t €

[0, V§);

б)ж

= 2 -

-д Ь ,

у

=

3 -

-^=t, t

€

[0, л/5].

1.330. ж

=

жо +R cost,

у =

у0

+

R sint,

t

G[0,27г).

1.331.

а) ж

=

=

Я(1

+

cos2£),

у = #sin2£,

t

€

[—тг/2,7г/2);

б) ж

=

Я(1 + cos£),

у = R sin t, t €

[0, 27г).

1.332. Прямая ж + 2у —3 = 0.

1.333. Парабола

2/2 =

ж.

1.334. Окружность

(ж +

I)2 +

(у —З)2

=

4.

1.335. Эллипс

246

Ответы и указания

<j2

+

у2

=

1.

1.336. Правая ветвь гиперболы

(j. —I)2

(у *4" I)2

=

—

тг

--------------------------

аг

Ъ£

ж2

у2

4

1

=

1.

1.337. Правая

1.

1.338. Окружность

ветвь гиперболы — —— =

(ж -Я )2

4- у2 —Я2.1.339. Окружность ж2 4- (y —R)2 — R2. 1.340. Верх-

няя ветвь параболы

9

,

abcost

; у =

у* — 2рх.

1.341. х —

V a2 sin2 1 4- b2 cos2 t

absint

t

.

Л

ч

*

=

,

Ж=

:■= =

abcost

V

..... : ■ ■

t €

[0, 2тг).

1.342.

=■= =,

a2 sin21 4- b2cos21

y b 2 cos21 —a2sin

t

у —

absint

где t €

(

b

b\

( —arctg - , arctg -

1 для правой ве-

V b2 cos21 —a2 sin21

\

a

a j

тви и t6

(

b

b\

для левой

x

17г —arctg

тг 4- arctg -

ветви. 1.343. a) x —

t2

\

a

a )

=

e

(-0 0 > +

°°)>

б) ж

=

2pctg2 t,

у

=

2pctg*,

где

тг* У =

2p

t G (0 ,7г/2)

для верхней ветви и t

£

(37г/2, 27г) для

нижней

ветви;

в)

х

Р

t

t

£ 6

(0, 2тг).

1.344. Плоскость г

=

—5,

—

-c tg 2

-■>

у — р c tg -,

параллельная плоскости

/ Л

Оху. 1.345. Плоскость с нормальным вектором

п(1, —2, 1).

1.346. Сфера радиуса Я = 2 с центром в начале координат.

1.347. Сфера радиуса Я = 4 с центром в точке С(2, 0, —1). 1.348. Начало

координат. 1.349. Ось Оу. 1.350. Пустое множество.

1.351. Пара пере­

секающихся плоскостей ж —2z —0 и ж 4- 2z = 0, параллельных оси Оу.

1.352. Пара координатных плоскостей Oyz и Оху. 1.353. Тройка коорди­

натных плоскостей.

1.354. Пара плоскостей ж = 0 и ж = 4.

1.355. Пара

плоскостей у — 0

и у =

ж.1.356.20у

4- 53=

0.

1.357.ж2 4-у2

4-

z2 = а2.

X 2

V 2

+

Z2

=

1.

Ж2

У 2

+

—

z 2

1 .

1.358. —

4- —

—

1.359.------ IL

=

_

9

9

25

16

9

16

1.360. а) С(0, 0, 3),

Я

=

3;

б) С {2, 1, -1 ),

Я =

5. 1.361. а)

(ж + 1)24-

+{у -

2)2 + г2 = 4;

б) (ж —З)2 4- (у 4- 2)2 +

(г —I)2 = 18;

в) (ж -

3)2+

+{у 4- I)2 4- (г -

I)2

=

21;

г) (ж -

З)2

4-

(у 4- 5)2 4- (г

4- 2)2 =

56;

д)

(ж -

I)2

+

(у

4- 2)2 4- (г -

З)2 =

49. 1.362. (ж +

I)2

+ {у - З)2 4-

+

( * - 3)2 = 1.

1.363.

( , - 1

)

+

( * +

5 )

+

( * - J )

= | -

1.364. ж = - l

+ bt, у = 3 -* ,

2

=

+ 2*.

1.365. М0(-2 ,

-2,7),

р = 3.

1.366. а) Пересекает;

б) касается; в) проходит вне сферы. 1.367. а) Пря­

мая, проходящая через точку (5, 0, -2 )

параллельно оси Оу,

б) окруж­

Ответы и указания

247

Я =

7;

в) окружность, лежащая в плоскости г = 2 с центром в точке

С (0, 0, 2) и радиусом В. = 4;

г) окружность в плоскости 2 = 6 с цен­

тром в точке С(0, 0, 6) и радиусом Я = \/13- 1.368. а) С( 1, 7, 2), Я =

= 4;

б)

С ( - 1, 2, 3),

Я = 8.

1.369. Эллипс

_ 1 .

36

18

1 370

I

^ ~

+ (<У~

+ ^ =36’

‘ \ 2х - г -

1 = 0.

1371

[ ( * - 2)2 + У2 + ( * - 3)2 = 27’

\ х + у -

2 = 0.

1.372. Эллипсоид.

1.373. Однополостный гиперболоид.

1.374. Двупо-

ния.

1.385. У казан и е. Перейти

к новойсистемекоординат

поворо­

том осей Ох и Оу вокруг оси Ог на

угол 7г/4.1.386. а)

Конус второго

порядка с вершиной в начале координат (см.

задачу 1.384);

б) гипер­

болический параболоид (см.

задачу 1.385).

1.387. На плоскость Оху:

х2 4- Аху +

5у2 —х = 0;

на плоскость О хг: х2 —2хг + Ьг2 —Ах ~

= 0;

на плоскость Оуг:

у2 4- г2 4-

2у —г

= 0.

1.388. а)

Эллипс;

б) парабола.

1.389. а)

М^З, 4, —2) и Мг(6, —2, 2);

б) М(4, -3 , 2) —

прямая касается поверхности;

в) прямая и поверхность не имеют об­

щих

точек.

1.390. а)

М (9,

5, —2);

б) М (3, 0, -10);

в) М (6, —2, 2).

( 2х —12у - г 4- 16 =

0,

Г 2х —12у —г 4- 16 = 0,

1.391. {

{

( х —2у + 4 = 0,[ х + 2у —8 = 0.

[ у 4- 2г = 0,

[ 2х — Ъг = 0,

1.392. {

{

[ж —5 = 0,

[ у + 4 = 0.

1.403. а) у2 4-

г 2 = а2;б) х2 4-

г2 = 2ах; в) х2 4- у2 = 2ах. 1.404. а) х2

4-

4- 5у2 —8у — 12 = 0; б) Ах2 4-

5г2 4-

Аг —60 = 0;

в) 2у —г —2 — 0.

1.405. а) 8х2

4- 4у2 — 36ж 4- 16у —3 = 0,

2 = 0;

б) 2х —2г —7

=0,

у = 0; в) 4у2

4- 8г2 4-

16у 4-

Збг —31 = 0, х = 0.

1.406. у2 = 2ах

—х2.

1.407. а) (Зу —2г)2 =

12(3ж —г);

б) (х —г)2 4- (у —г)2 — А(х —г).

248

Ответы и указания

1.408. Уравнение проектирующего цилиндра: 2ж2 +

{у —г + 2)2

=

8;

х2

(у + 2)2

= 1. 1.409. х

=

4,

г ± у =

2.

контур тени — эллипс —

+ -----г----

4

о

Т 2

4 -

7/^

7 2

Ж2

I / 2

+

2 ^

1.4И. а)

-г- ■= б) 9(х2 + г2) =

16у2; в ) - ^ +

^

^

= 0;

г)

ж2

-Ь

у2 -

г2

= 0.

1.412. а) Л2ж2

=

2рг{к{у +

а) -

аг);

б)

Ж2

+

+

I?

~

^

о,С-

= 0; в) ж2 + г2 = г(у + а); г) Зж2 -

5у2 + 7г2 -

бжу +

о

<г

+ Южг - 2уг -

4ж +

4у -

4г + 4 = 0.1.413. а) вершина

(0, Л, 0),

направляющая — окружность ж2 + {у—Н)2 = И2, г — Л;

б) вершина

(0, 0, 0), направляющая — парабола ж2 = 2/м/, г —к. 1.414.

ху + хг +

+

уг

= 0, ось конуса проходит в 1-м и 7-м октантах; ху +

хг -

уг

=

=

0,

ось конуса проходит во 2-м и 8-м октантах; ху —хг

- уг

=

0,

нуса проходит в 4-м и 6-м октантах.

1.415. а) Окружность ж2 + у2 —

— (а/\/2)2;

б) отрезки г — ± а/\/2,

-а /л /2

^ ж ^ а/у/2; в) отрезки

г =

± а/у /2,

—а/у/2 ^ у ^

а/у/2.

1.416. Уравнение проектирующего

конуса: 9ж2 -

16у2 — 16г2 —90ж +

225 =

0, контур тени — окруж­

ность у2 +

г2 =

(15/4)2.

1.417. а)

г

— ж2

+ у2] б)

у/у2 + г2 = ж2.

1.418. а) ж2

+

г2

— у2\ б)

г2 — ж2

+

у2-

1.419. а)

г = е_ ^ 2 + г/2);

б) г

4

ж2

у2

= —=т.

1.420. - г +

тт — 1* 1*421. Поверхность образована

х1 +

у

а

ог

ж2

г2

вращением гиперболы — ---- . = 1, у = 0 вокруг оси Ог.

сг

с

Глава 2

2.1.18.

2.2.4аЬ. 2.3.1.

2.4. (о -Ь )2. 2.5.0. 2.6.1.

2.7.1. 2 .8 . жх =

= —4, жг =

—1. 2.9. x- — — + — , к € Z. 2.10. У казан и е. Показать,

о

3

лен.

2.12. 0. 2.13. 0. 2.14. abc + x(ab + Ьс +

са). 2.15. а 2 + (З2 + 'у2 +

+ 1.

2.16. sin (а —/3) + sin ({3 -

7 ) +

sin ( 7 -

а).

2.17. —3.

2.18. Зл/3г.

2.19.

—4 ± \/22. 2.20. (-оо, +

оо).

2.21. (4,

+

оо). 2.22.

( - 6 ,- 4 ) .

Ответы и указания

249

2.26. У казан и е. Показать, что последний столбец исходного опре-

( а3\

/а2\

делителя можно представить в виде

63

— (а

+ Ь

+

с)

ь2

^а\

Л\

\с3/

V

2 ;

- ( аЬ + ас +

Ьс)

+ аЬс

, и воспользоваться этим представле-

\

с/

V 1/

нием. 2.27.0. 2.28.0. 2.29.0. 2.30.0.

2.33. Парабола у = (х —а)(у —6).

/1

2 3 4 5 б\

/ 1 2 3 4 5 6 7

84

2.34.

, нечетная. 2.35. (

I ,

\3

6

2

5

1 4/

\5

1

6

2

7

3

8

V

входит.

2.43. Входит со знаком плюс.

2.44. г =

5, к = 1.

2.45. г =

6,

к = 2.

2.46. 10х4 - 5х3.

2.47. (-1 )

2

, а1Па2,п- 1* •-аП1-

2.48.

0.

2.49. а) Не изменится; б) не изменится; в) обратится в нуль;

г) умно-

п(п—1)

2.50. —2. 2.51. —14.

жится на (—1) 2

; д) умножится на (—1)п-1.

2.52. 4.

2.53. 0.

2.54. а)

8а + 156 +

12с -

Ш ;

б) 2а -

86 + с +

5й;

в) 2а —6 —с —б,.

2.55. 0.

2.56. 48.

2.57. 223.

2.58. 9л/1б(\/3 - у/2).

2.59. (Ье —сё)2. 2.60. (6-с-<*)(6 + с + д){Ь -с + <0(6 + с - д ) .

2.61.394.

2.62. 665. 2.63. х5 - х 4 + х3 + х2 - 2 х

+ 1.

2.64. 2хАу ( у - х ) 6.

2.65. а п.

ставить в виде Дп (а) = аД п_1 (а).

2.66. а п + @п- 2.67. п!. 2.68. 2п +

+ 1. 2.69. 1.

2.70. ( - 1 )п_1 -п.

2.71. -а ю г -. .ап

°2

.

О-п)

п(п—1)

2.72. п +

1.

2.73. (-1 ) 2

П

(а* “ а*)•

2.76.

1<к<г<п

2 -Ь 2г

0 '

5 2

г0 0

2 0

2.77.

0

2.78.

Л

0,

2.79.

о,

2.80.

,

2 —2г.

,0

,0 3,

250

Ответы и указания

( I

5 -б\

/11 -2 2 29\

/5б\

2.81.

. 2.83.

69 . 2.84. а) (31);

\17)

б)

2.86.

2.87.

2.89.

2.90.

2.92.

/

4

9\

2.93.

2.94.

-2

3

\-8

2/

(а

Ь

с\

где а и Ь — любые числа. 2.

0

а

Ь , где а, Ь и с — любые

\0

0

а )

числа.

Ь

I, где а, Ь, с — произвольные числа, удовлетворя-

2.99. I

Vе - ч

( а

ь \

ющие соотношению а

+ Ьс = 0. 2.100.

± Е ;

+ Ъс — 1.

I

1, где а2

Vе

б) к г-й

2.101. а) г-я и З-я строки произведения поменяются местами;

строке произведения прибавится ./-я строка^ умноженная на а;

в) г-й и

столбцы поменяются местами;

г) к г-му столбцу произведения при­

бавится

столбец, умноженный на а.