Учебник по математике Ч1 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с
.pdf§ 3. Кольца и поля |
231 |
В задачах 4.525-4.531 найти количество многочленов заданной степени, неприводимых над указанным полем.
4.525. 5-й степени над Ъч- 4.526. 6-й степени над %ч-
4.527. Унитарных многочленов 4-й степени над 2 3. 4.528. Унитарных многочленов 5-й степени над 2 3.
4.529. Унитарных многочленов 2-й степени над Ър (р — любое). 4.530. Унитарных многочленов 3-й степени, неприводимых над
С7РХ9).
4.531. Унитарных многочленов 4-й степени, неприводимых над <3^(4).
В задачах 4.532 и 4.533 найти какой-нибудь многочлен задан ной степени, неприводимый над указанным полем.
4.532. 2-й степени над О Р (9) = 2£3[0], в2 = 9 + 1. 4.533. 4-й степени над С?.Р(4).
6. Алгебры над полем. Множество А называется алгеброй над полем
.Р, если оно является линейным пространством над Г и в нем задана операция умножения, причем выполнены аксиомы:
(Ал1) (а 4- Ь)с = ас + Ьс, с(а 4- Ь) = са 4- сЬ\
(Ал2) (Аа)Ь = а(ХЬ) = А(аЬ) для всех а, Ь, с 6 А, А 6 F .
4.534. Доказать, что поле Р является алгеброй над Г . Опреде лить размерность этой алгебры.
4.535. Доказать, что поле С комплексных чисел является ал геброй над полем М действительных чисел. Найти размерность и указать какой-либо базис этой алгебры.
4.536. Доказать, что кольцо многочленов Р[:г] является беско
нечномерной алгеброй над полем .Р с базисом {1, х, х 2, х 3, . .. } . 4.537. Доказать, что кольцо Рп всех п х п-матриц над полем
.Р — ассоциативная алгебра с единицей, причем в качестве базиса этой алгебры можно взять матричные единицы Ец (элемент на пересечении г-й строки и ^'-го столбца равен единице, а остальные равны нулю). Определить (Пт^-Ря.
Пусть С = {<71, 02»•••, 9п} — конечная группа, Р — поле. Рас смотрим множество Р(? всех выражений вида Х\д\ 4- ... 4- Апдп, где 'А1, ..., Ап 6 в котором сложение определяется обычным образом, а
умножение по правилу
(здесь gigj — произведение элементов <7* и gj в группе (7).
4.538. Доказать, что .РС? — алгебра над полем .Р с базисом
0 ъ •••? 9 п-
232 |
Гл. 4. Элементы общей алгебры |
Алгебра из задачи 4.538 называется групповой алгеброй и обозна |
|
чается FG . |
Элементы д\, ..., дп образуют базис алгебры FG , поэтому |
dimFG = п.
Пусть S — полугруппа, F — поле, F S — множество всех формаль
ных конечных сумм A1S1 + . . .+Ansn, где Ai, ..., An G F , |
si, ..., sn G S. |
||||
|
4.539. Доказать, что F S будет алгеброй над полем F , если по |
||||
ложить |
|
|
|
|
|
^ ^ AjSj-\-"У ^ |
^ j (A |
^ |
^ fj'jSj |
^ у XjfljSjSj. |
|
i |
i |
i |
i |
j |
i,j |
|
Алгебра F S |
из задачи 4.539 называется полугрупповой алгеброй. |
|||
..., |
Если А — n-мерная алгебра над полем F, имеющая базис ui, щ , . ■. |
||||
ип, то произведения U{Uj можно разложить по этому базису: |
|||||
|
|
П |
|
|
|
|
|
= ^ 2 y } j )uk |
(*> з = |
h 2 , . • п). |
■ |
|
|
к-\ |
|
|
|
|
Совокупность п3 элементов 7 ^ |
6 F , называемых |
структурными |
||
константами, однозначно определяет умножение в алгебре А, так как если а и Ъ— произвольные элементы из Л, то при некоторых щ , Д, 6 F
мы имеем а |
= aiui |
+ ... 4- а пип, b = |
4- ... 4- (Зпип, а значит, |
a b = £ OLipj^\fuk. |
|
|
|
i,j, k |
39. Получить условия коммутативности алгебры, за |
||
Пример |
|||
данной своими структурными константами.
< Докажем вначале, что коммутативность алгебры А равносильна пе рестановочности друг с другом базисных элементов, т.е. выполнению
равенств UiUj = UjUi при всех г, j. |
Действительно, если базисные эле |
|||||
менты перестановочны и а = ахщ + . . . 4-оспип, b = |
4-... 4- (Зпип — |
|||||
произвольные элементы из А, то |
|
|
|
|
||
аЬ = ^ 2 |
a *w* * 5Z Р*из = |
a i03uiuJ ~ |
|
|
|
|
i |
j |
*. 3 |
|
|
|
|
|
|
= |
<*iPjuj u i = ^ 2 |
P jui •^ 2 a i u i = |
ba. |
|
|
|
*. j |
3 |
i |
|
|
|
|
|
|
(*) |
(*) |
при |
В терминах структурных констант это означает, что 7 >• = |
7 ^ |
|||||
всех г, j, |
к. > |
|
|
|
|
|
4.540. Доказать, что ассоциативность алгебры А равносильна выполнению соотношений ассоциативности для базисных элемен
тов, т.е. (щ |
щ )щ |
= u i(u ju k) при всех г, j , к. |
Пример |
40. |
Пусть F — поле, f(x) — многочлен над F (не обяза |
тельно неприводимый) и А = F[x]/f(x)F[x]. Тогда А — конечномерная
§ 3. Кольца и поля |
233 |
ассоциативно-коммутативная алгебра над F . Найти какой-нибудь базис этой алгебры и получить правила умножения базисных элементов.
< Пусть /(ж) = хп + а\хп~1 4 ... 4 ап-\х 4 ап (коэффициент при хп можно считать равным 1) и I = /(ж)^[ж]. Тогда ео = 14/, е\ —х+ 1 , . . .
. . е„_1 = жп_1 + 1 — базис алгебры А. Правила умножения базисных
элементов имеют вид: |
при г 4.7 < п, е\еп-\ = е2е„ _ 2 = |
||
= |
—а„ео — |
—... —а1е„ _ 1 |
и т.д. Например, если /(ж) = ж3 + |
+ |
2ж2 + Зж + 5 , |
то А = F[ж]//(ж)F[ж] = С(е0, е\, ег), где ео = 1 + I, |
|
е\ = х + I, в2 = |
ж2 + I (символ С обозначает линейную оболочку, см. |
|||
с. 121). Вычислим произведения базисных элементов: |
||||
|
е\в2 — ж3 + I = —2ж2 - Зж —5 + 1 = —5ео —3в1 —2е2; |
|||
е2е2 = |
(-5ео - 3в1 - |
2ег) • е\ = |
|
|
х4+/ |
13+/ |
*+/ |
- Зех — 2 е г) = Юео + ех 4- е?. |
|
|
|
= |
—5б1 — Зег — 2 ( - 5 е о |
|
Таблица умножения базисных элементов имеет вид |
||||
|
|
ео |
е\ |
ег |
|
ео |
ео |
е\ |
ег |
|
е\ |
е\ |
ег |
—5ео - 3е1 —2ег |
|
ег |
ег |
—5ео —Зег —2ег |
Юео 4- е! + ег |
Алгебра А называется алгеброй с делением (или телом), если она ассоциативна, имеет единицу и каждый ее ненулевой элемент имеет обратный, т. е. Уа ф 0 3 Ь аЬ = Ъа = 1.
4.541**. Доказать, что конечномерная ассоциативная алгебра А без ненулевых делителей нуля является телом.
4.542. Выяснить, является ли ассоциативной алгебра А = Ка 4- 4- КЬ со следующей таблицей умножения базисных элементов:
а Ь
а л 4" Ь 0
Ь а Ъ
4.543**. Пусть й = {1, а, а2} (а3 = 1) — циклическая группа. Найти все идеалы групповой алгебры Ши.
4.544*. Выяснить, ассоциативна ли алгебра А — F 4- F a + 4- F 6 (F — произвольное поле) со следующей таблицей умножения
234 |
Гл. 4. Элементы общей алгебры |
базисных элементов:
1 а Ь
1 1 а Ъ
а а а Ь
ЪЬ 0 0
4.545. Выяснить, имеет ли единицу алгебра А = Р а + РЬ + Р с (Р — поле) со следующей таблицей умножения базисных элемен тов:
|
а |
Ъ |
с |
а |
а + Ь |
Ь |
а + с |
Ь |
Ъ |
0 |
а |
с |
2с |
с |
2а —Ь + с |
4.546. Пусть А — конечномерная ассоциативная алгебра с еди
ницей и а, Ь £ А. Доказать, что если аЬ = |
1, то 6а = |
1. |
4.547. Построить таблицу умножения базисных элементов ал |
||
гебры А = Р [х ]/х 3Р[х] (за базис взять |
1 = 1 + 7, |
а = ж + 7, |
а2 = х 2 + 7).
4.548. Выяснить, ассоциативна ли алгебра А, заданная базисом и таблицей умножения базисных элементов:
|
а |
Ъ |
с |
а |
0 |
а |
Ь |
Ъ |
а |
а + Ъ |
с |
с |
а |
а + с |
0 |
|
1 |
а |
Ъ |
с |
1 |
1 |
а |
Ь |
с |
а |
а |
—1 — а |
с |
—Ъ —с |
Ь |
Ъ |
—Ъ —с |
1 |
—Ь —с |
с с |
Ъ |
а |
1 |
§ 3. Кольца и поля |
235 |
4.549. Найти единицу алгебры А = Мр + Мд + Ег, заданной таблицей умножения:
|
Р |
Я |
|
г |
|
р |
р + Зд + Зг |
29 + г |
9 |
+ |
2 |
|
|
г |
|||
я |
з? |
Я |
|
Я |
|
г |
Зг |
г |
|
г |
|
4.550. Найти все идеалы групповой алгебры .Р(7, если .Р — поле характеристики ф 2, а О = {1, д } — циклическая группа порядка 2.
4.551. Доказать, что для любого поля Р алгебра Р [х ]/(а;п—1)^[д:] изоморфна групповой алгебре .РС?, где С? — циклическая группа порядка п.
4.552. Доказать, что центр тела является полем12).
4.553. Полугруппа 5 = {а, 6, с} задана таблицей умножения
а& с
а а с с
Ь с & с
сс с с
Пусть .Р — поле, ^ 5 — полугрупповая алгебра. Какой элемент является единицей алгебры ^ 5 ? \
4.554. Доказать, что над любым полем .Р двумерные алгебры Р а + РЬ и Р с + ^ со следующими таблицами умножения
с
с 0 0
с2 с с2
изоморфны друг другу.
12) Центр Z(R) кольца Я определяется следующим образом:
2^(Я) = { а € Я | У г € Я га —а г }.
236 |
Гл. 4. |
Элементы общей алгебры |
4.555. |
Пусть .Р — |
произвольное поле, А — алгебра над ^ с |
базисом а, 6 и умножением, определяемым таблицей
аЬ
а |
а + Ь |
а |
Ь |
а а + (ЗЬ |
'уа + 6Ь |
При каких а, /?, 7 , 6 алгебра А ассоциативна?
Алгеброй кватернионов Н называется четырехмерная алгебра над полем действительных чисел, имеющая базис 1 , г,к , причем г2 =
= р = к2 = —1, |
ij = — |
= к , $к = —£7 = г, |
/сг = —г/с = |
Элементы |
<7 = а + /Зг + 7.7 + |
этой алгебры называются кватернионами. Алгебра |
|||
Н ассоциативна, но некоммутативна. |
/?г 4 7 ^' 4 |
<5/г определя |
||
Модуль (или |
норма) |
кватерниона д = а 4 |
||
ется по формуле |<?|= у /а2 + /З2 + 7 2 4 <52. Сопряженный кватернион: </ = а —/Зг —7.7 —<5Л:. Легко проверяются равенства ЯЯ = Щ — |^|2, откуда следует, что всякий ненулевой кватернион имеет обратный (по
умножению): о- 1 = т-пг#. Например, если <7 = 2 —г —^ 4 3/г, то к г
9 “ 1 = ^ ( 2 4 г 4 .7 -3/с).
Алгебра кватернионов является четырехмерной алгеброй с делением над полем действительных чисел, или телом (тело кватернионов).
Теорем а Ф робениуса. Существуют ровно три ассоциатив ные конечномерные алгебры с делением над полем Е действительных чисел. Это Е, С и Н. Алгебра Е одномерна, С — двумерна, Н — четырехмерна. Алгебры Е и С коммутативны, алгебра Н некомму тативна.
4.556. Произвести вычисления в алгебре кватернионов:
а) |
(2 — г 4- ; ) ( ; |
+ 2к)\ |
б) |
(1 - |
2* + Я 2; |
|
|
в) |
(1 + г 4- ] + |
А;)10; |
г) |
(3 + |
2г - |
^)“ 1. |
|
4.557. Доказать, что для любых д, 5 1 , ^ 6 Н и А 6 |
М имеют |
||||||
место равенства: |
|
|
|
|
|
|
|
а) |
Ад = Ад; |
б) ^ + д2 = |
<71 + д2; |
в) дГПй = д2 • |
|
||
4.558. Решить уравнения в алгебре кватернионов: |
|
||||||
а) |
х%+ кх — 1 4 - 2.;; б) |
(1 |
— ^)а:(1 + г) = к] в) х 2 = —1 . |
||||
4.559. Решить систему: |
Г хг + уз = |
1, |
|
||||
1 |
хк - |
у(1 4- з) = |
|
||||
|
|
|
|
||||
4.560. Можно ли алгебру кватернионов Н = К + Ш + |
+ Шг |
||||||
считать алгеброй над полем С = Е + Ш с базисом 1 , р . |
|
||||||
4.561. Что собой представляет центр алгебры кватернионов?
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
Глава 1
1.8. ЛЙ = | р - | ч , ВЬ = -2Р + |« ь СХ = - | р - | Ч . 1.9. Ш = |
|||||||||
= - 1 ( а + Ь), м З |
= 1 (а -Ь ), Ш 5 |
= - м А , м Ь |
= -Ш % . 1.10. АЙ = |
||||||
= а/?а + |
(1 - 0)Ь, |
Ш |
= (а/З - 1)а + |
(1 - 0)Ь. |
1.11. СЙ = ч - р, |
||||
# 2 = |
- |
р, |
Е р |
= |
- ч, |
= р - |
я, АС = р + ч, АЙ = 2д, АЙ = |
||
= 2Ч - |
р. |
1.13. |
М Л? = |
^(АА* + |
Ш |
+ С 0 ) . |
1.15. АЙ = у ~ р |
||
й |
■ Ш |
’ 2 5 - |
т т г |
51 - |
- т ' * * ы |
- |
■■“ ••I” |
|
||||||||
= |
(3-, |
б) |
А& |
= |
—^ ( ( З р - |
Ч), |
АЙ = |
— |
г(ар - |
я). |
1.18. Л = |
5. |
||||
|
|
|
|
|
а —р |
|
|
|
а —р |
|
|
|
|
|
||
1.19. 8 = |
|р + |
+ |
^г. |
1.20. Зр - 4ч - Зг - |
2в = 0. |
1.21. 0. 1.24. О, |
||||||||||
1, |
2. |
1.25. Л = |
/л. = |
1. |
1.26. а) |
{-1/2, 1/2, 1/2}); |
б) {1/3, 1/3, 1/3}. |
|||||||||
1.27. |
{7/10,3/20,3/20}. |
1.28. |
а) {1/2, 0, 1/2}; |
б) |
{1,-1 / 2 , 1/2}. |
|||||||||||
1.29. {1, |
-1/Л, - 1 } . |
1.30. а) |
( —Ц -, - Ц Л . |
< 0 % |
= А Й + м д |
= |
||||||||||
|
|
|
|
|
_ |
I а ~ 1 |
Р ~ I ) |
|
|
|
|
|
|
|
||
= аА& - |
0л1 = а(А~Й + А^Й) - |
ОЙ = а (АО + 0 ^ ) + |
|
- О Й |
= |
|||||||||||
= аА(3 + аО ^ + а \ 0 $ —01$. Отсюда находим а З |
= —/ - |
— 01$ — |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - |
а |
|
— —-— О Ё . |
Аналогично рассуждая, получаем а 6 |
= |
--- ■ |
^ -О Й |
— |
|||||||||||
|
1 —а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 —р |
|
||
- |
^— ^07^. Здесь |
= АОЙ и МЙ = /иОЛ?. В силу единственности |
||||||||||||||
разложения по базису тогда имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6 ) 1 3 = { |
* |
_ 1 _ 1 |
|
^/?(1-а) |
а(1 -/3 ) ) |
|
е й = |
|||||||||
|
|
|
[ а - 1 а (/ ? -1 )] |
|
|
|
|
|||||||||
=4 -ттг:------ ^ У к а з а н и е . Воспользоваться результатом за- 1/8(1- о ) ’ 1 - 0 }
дачи 1.30а).
238 |
|
|
|
|
|
|
|
Ответы и указания |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.31. i P |
= |
( |
1 —<27 |
|
|
} , |
в § |
= { 2aß- ' a-: |
ß-, |
1 —oiß |
J |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
\ |
1 —cry J |
|
I |
1 —otß |
|
||||||||||||||
5 3 |
= |
{ т |
г ^ |
- 2/1 : ^ ~ т }- |
|
I Ä |
a> |
|
|
|
|
+ |
w 2’ 1} ’ |
|||||||||||
1Й = {1,(ч/5 + |
l)/2}; 6) Wd = { ( V b - |
1)/2,1}, |
СЙ = |
{(%/5 + |
3)/2, |
|||||||||||||||||||
(л/5 + |
3)/2}, |
|
= |
{ - 1 , (1 - |
\/5)/2}. |
1.33. a) |
{2/5, 3/5}; |
6 ) |
-9/5. |
|||||||||||||||
1.34. D lt = |
{1/2, 1/2, - 1 } , |
A $ = |
{1/3, 1/3, 1/3}. |
1.35. a) |
|at| |
= л/5, |
||||||||||||||||||
a i>0 |
= |
{ - l/V E , |
2/\/5, 0}; |
6) cos(ab j) |
= 2/\/5; |
в) |
X (a) |
= |
|
- |
19/3; |
|||||||||||||
r) npsa = K(a) = 0. |
1.36. a = |
—2e. 1.37. a = |
|
4 |
|
|
2 |
—-ег.1.38. a = |
||||||||||||||||
— |
|
- e i |
||||||||||||||||||||||
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
= |
- |
2ei |
+ |
e2 |
- |
e3. |
1.39. a) |
ao |
= |
{2 /л/ТЗ, 3/\/Тз, 0 }; |
б) |
a - |
|
^b |
+ |
|||||||||
+ |
с |
=d |
= |
{3, 11/2, 0}; в) a |
+ |
b —2c = |
- |
2j; |
r) |
npj(a —b) |
= |
|||||||||||||
= 6 .1.40. |
{6/11, 7/11, -6/11}. |
1.41. ±3y/E.1.42. |p| |
|
= |
\/l54, cos а |
= |
||||||||||||||||||
= 9/\/l54, cos/3 = 8/\/l54, cos 7 = 3/\/l54. 1.43. x = |
—5i + |
lOj + 10k. |
||||||||||||||||||||||
1.44. x |
= |
2i + |
2j -f2k. |
1.45. x = |
db 5i + |
~7 =j — 7 =k. |
1.46. |
|
а |
= —1, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
л/2 |
|
у/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
= |
4. |
1.47. x |
= -ö( i |
+ |
7j |
+ |
2k). |
У казан и е, |
x |
= |
A(ao |
+ |
b0), где |
||||||||||
ao и bo — орты заданных векторов а и b. 1.48. a |
= 2, |
ß = 3, |
|
7 = 5 . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
Г______q62c2______ |
|
|
|
bo2c2 |
|
|
|
ca2b2 |
|
|
|
'l |
|||||||||
|
|
|
\ a262 + 62c2 + c2o2 ’ а2Ь2 + 62c2 + c2a2 ’a262 + ^ c2 -f c2a2 |
J |
||||||||||||||||||||
1.50. a) |
(3, - 6 , |
6); 6) |
(5, |
5, 1); |
в) |
{-5 /у Д , 7/у/2, 5). 1.51. D{9, |
-5 , 6). |
|||||||||||||||||
1.52. C(6, -2 ), |
|
D{2, |
-4 ). |
|
1.53. |
A (-6, -2 ), |
ß(2, 8), |
C(10, -6 ). |
||||||||||||||||
1.54. M i(7, 0) |
и M2( - l , |
0). |
1.55. M(0, |
1, 0). |
1.56. |
7. |
1.57. (4, 0) |
и |
||||||||||||||||
(5, 2). |
1.58. (-1 , 2, 4) и (8, -4 , |
-2 ). |
1.59. (-19, 10, -17). |
У к аза |
||||||||||||||||||||
ние. Разложить вектор ÖD по базису |
из векторов öX , 0& |
и о д . |
||||||||||||||||||||||
1.60. (10, —5, 0). У казан и е. Разложить вектор 0& по базису из векто |
||||||||||||||||||||||||
ров i, j, |
ö |
l . |
1.62. ч/Ш/3. |
1.63. (11/7, 10/7,18/7). |
1.65. а) 9; |
б) -61; |
||||||||||||||||||
в) 13. 1.66. а = ±3/5. |
1.67.15, |
у/Ш . 1.68. 2тг/3. |
1.69.19/5. |
1.70.1/2. |
||||||||||||||||||||
1.71. Z.A = 7г/2, Z.B = |
|
|
2 |
|
LC |
= arccos |
1 |
|
|
|
_____ |
= |
||||||||||||
arccos —j~ , |
|
|
1.72. (ei, e2) |
|||||||||||||||||||||
= |
7Г/3. |
1.73. arccos^. |
1.74. 5. |
1.76. 1x5 = |
|
^a, |
Cl$ — ~ a —b, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|a| |
|
|
|
|
|
|a| |
|
|||
~Äj& — - - .- 7 — a + b, |
DJ$ = a —b. У казани е. Сначала найти век- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
lal |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тор A lt, где К |
— такая точка основания, что |А^| = |
\А&\. |
1.77. —13. |
|||||||||||||||||||||
1.78. а) 22; |
б) |
-200; в) 41; |
г) |
у/105-, д) 11/3; |
е) 22/7; ж) cos а |
= 2/3, |
||||||||||||||||||
|
|
|
Ответы и указания |
|
239 |
||
cos/З = -1/ 3, |
cos7 = |
-2/ 3; з) -84/>/l29; и) |
11/21. 1.79. Мх(1, 0) |
||||
и М2 (6 , 0). |
1.80. |1Й| = 5, |
|ВЙ| = 5>Д |
|ЛС| = 5; ZA = тг/2, ZB = |
||||
= ZC = тг/4. |
1.81. а) -41/5; |
б) 73/7. 1.83. |
1.84. 4. |
1.85. -4/5. |
|||
|
|
|
|
|
7v85 |
|
|
1.87. arccos5/6. |
1.88. {1, 1/2,-1/2}. |
1.89. { - 3 ,3 ,3 } . |
1.90. aj = |
||||
= 2j, ai)k = |
- |
i + k. |
1.91. a) {2/3, 2/3, 2/3}; |
6) {-5/3, 4/3, 1/3}. |
|||
1.92. (—2, 0, 2). |
1.93. —i + |
—^k. У казан и е. Вектор ав1)в2 имеет |
|||||
вид аеье2 = Aiei 4- А2е2, где коэффициенты Ai и А2 могут быть найдены из условия перпендикулярности вектора а —аеье2 плоскости векторов
ei и е2. 1.94. х' —(ж —ж0) cos <р |
4- (у - уо) sin <р, у' = |
—(ж —жо) sin ip 4- |
|||
+ |
(у ~ Уо) cos <р. 1.95. X 1= X cds ip 4- Y sin tp, |
Y' = |
—X sin <p 4- Y cos ip, |
||
|
|
|
|
3 |
|
Z' |
= - ^ . 1.96. { - 2 , л/2, 0}. |
1.97. aia2 |
= |
£ |
= |
= ь х [ 1]х [ +2) 2x |
2(1]x i 2)+ Э Х ^Х ^ - 2{ x |
f ) x ! +? )x ^ x ^ ) - |
|||||||||||||||||
- |
3(X {1}X<2) + |
X ^ X } 2*) + 4(x^1)x f ) |
+ |
X<1}X f }). |
1.98. a) |
>/3; |
|||||||||||||
б) |
3\/3; |
в) |
10\/3. |
1.99. [ab a2] |
= 0, |
т.е. |
a i||a2. |
1 .1 0 0 . |
a) |
2(k - |
i); |
||||||||
б) |
2[a, с]; |
в) [а, с]; |
r) |
3. |
1 .1 0 2 . 50\/2- |
1.105. a) |
^[a, b]; |
6) |
—^[a, b]. |
||||||||||
1.106. |
a) |
{ - 3 , 5, 7}; |
6) |
{ - 6 , 10, 14}; |
|
в) |
{-1 2 , |
20, 28}. |
1.107. 2у/Е. |
||||||||||
1.108. |
5. |
|
1.109. a |
= |
- 6, (3 |
= 21. |
1.110. -103/л/26. |
1.111. л/б. |
|||||||||||
1.112. |
{-2 0 , 7, -1 1 }. |
1.113. {5, |
16, 7}. |
1.114. |a| |
= |
|b| = |
|c| |
= 1; |
век |
||||||||||
торы попарно перпендикулярны. |
1.115. —4i |
4- |
3j |
4- |
4k. |
1.116. л/бб; |
|||||||||||||
cos a |
= |
l/\/66, cos/3 |
= |
—4/\/66, |
cos 7 |
= |
—7/\/66. |
1.117. ^\/2- |
|||||||||||
1.118. |
{ —6, —24, 8}. |
1.119. {7, 5, 1}. |
1.120. a2 |
J_ а*; |
бесконечное мно |
||||||||||||||
жество решений. |
1.121. { —1/2, 0, 1/2}. |
1.122. Появится знак минус |
|||||||||||||||||
перед определителем; в случае косоугольного базиса формула неверна. 1.123. У казан и е. Вычислить координаты векторов в обеих частях и убедиться, что они равны. Вычисление координат удобно производить в следующем специальном базисе: орт i сонаправлен с вектором Ь, орт j лежит в плоскости векторов b и с. 1.124. 24. 1.125. —3/2. 1.126. -7 . а) Левая; б) правая; в) правая. 1.127. а) Нет; б) да. 1.132. 17/2. 1.133. 6. 1.134. 3\/2. 1.135. а) Да; б) нет. 1.136. а) - 3 ; б) при лю бом А. 1.138. а) (0, 0, 0); б) (0, 1, 0). 1.141. а) 2(ж 4- 1) + 2{у - 2) = 0. Общее уравнение: ж 4- у — 1 = 0. Нормальное уравнение: —т=х 4-
240 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы и указания |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Н— Ш7~У---- 7= = 0; р ——р - |
б) 2(х —2) = 0. Общее уравнение: х —2 = 0, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
у/2 |
у/2 |
|
|
|
\/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р = 2. |
||||||
прямая параллельна оси Оу. Нормальное уравнение: а: —2 = 0; |
|||||||||||||||||||||||||||||
в) 2(х —1) —(у —1) = 0. |
Общее уравнение: 2х —у —1 = 0. |
Нормаль- |
|||||||||||||||||||||||||||
ное уравнение: |
|
2 |
|
- |
1 |
|
- |
|
1 |
= |
л |
|
р |
= |
1 |
„ |
|
|
х |
* |
+ |
1 |
|
||||||
- д х |
- д у |
|
- д |
0; |
|
- д . |
1.142. а) |
|
^ |
■ = |
|||||||||||||||||||
|
У - 2 |
Общее уравнение: х |
|
+ |
Зу - |
5 = |
0. |
Нормальное уравнение: |
|||||||||||||||||||||
|
|
- 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
3 |
|
|
|
5 |
|
Л |
|
|
|
5 |
'£Г\Ж |
_ |
1 У“ 1 |
Гк*Г |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
: х -----—у ------/= = 0; р = —7= . |
б) —-— = — — . Общее уравне- |
||||||||||||||||||||||||||
л/10 |
|
л/1 0 У |
|
д/10 |
|
" |
” |
>/10 |
' |
|
0 |
|
~ |
- 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ние: —ж + |
1 = 0, прямая параллельна оси Оу. Нормальное уравнение: |
||||||||||||||||||||||||||||
х — 1 = |
0 ; |
р = |
1 . |
в) |
х + 1 |
|
= |
у —1 |
|
Общее уравнение: у — 1 |
= |
||||||||||||||||||
—-— |
|
—-— . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л* |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
0, прямая параллельна оси Ох. |
Нормальное уравнение: у —1 = |
0 ; |
||||||||||||||||||||||||||
р |
= |
|
1 . |
1.143. а) |
^ | |
= |
|
у —2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
0 . |
||||||
|
— — |
|
— — . Общее уравнение: х —у + |
1 |
|||||||||||||||||||||||||
Нормальное уравнение: — |
1 ~~ |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
р = |
- |
1 |
. 3 - |
1 |
|
|||||||||||||
у=х |
|
Н— т=у-----7= = 0 ; |
7=. б) —-— = |
||||||||||||||||||||||||||
|
у — 1 |
|
|
|
|
|
|
у/2 |
|
|
у/2 |
|
|
у/2 |
|
|
|
|
у/2 |
О |
|
||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
0, прямая параллельна оси Оу. |
|||||||||||||||
— — . Общее уравнение: х — 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
Нормальное уравнение: ж —1 |
= 0; |
р |
= |
|
1. |
|
х —2 |
= |
|
у —2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
в) — — |
—-— . Общее |
|||||||||||||||||||||||||||
уравнение: у —2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—^ |
|
|
^ |
|
|
|
|
|||||||||
0 , прямая параллельна оси Ох. Нормальное урав- |
|||||||||||||||||||||||||||||
нение: у - |
2 = |
0; |
р = 2. |
1.144. а) р(Д/, £) |
= |
- д , |
X.': |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
I,": |
|
-2 (х + 1) |
+ |
|
(у - |
2) |
= |
|
0; |
б) |
р(М, Ц |
= 1/2, |
V-. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
V : |
|
2» |
= |
0; |
в) |
р(М, I ) |
= 0, |
|
у |
= |
|
|
Ь": |
|
х |
+ |
» |
+ |
1 |
= |
|||||||||
= 0. |
1.145. Пересекаются в точке М0(—3/4, -1/2); |
соя (1 ,1 , 1 /2) = 1/\^5- |
|||||||||||||||||||||||||||
1.146. Пересекаются в точке Л/о(1, 0); |
«№(1 /1, 1 ,2) = |
2/л/5. |
1.147. Па |
||||||||||||||||||||||||||
раллельны; р(1 /1, Ьг) = л/2/4. |
1.148. Параллельны; |
р(1/ь Ьг) |
= |
у/2 . |
|||||||||||||||||||||||||
1.149. Совпадают. |
1.150. а) АВ: |
|
|
|
|
|
|
|
СГ>: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
I. - |
|
19 |
|
|
- |
|
19 |
|
|
|
г . |
|
|
ж - 1 |
_ |
|
|
У - 2 |
|
|
|
г . |
|||||||
|
|
|
л/17’ |
С°8¥> |
|
|
л/гГ58’ |
|
Ь |
л/26 + 5\/17 |
-4л/ 26- л/17’ |
2’ |
|||||||||||||||||
(л/26 + 5лД7)(х-1) + (-4л/^6-л/17)(2/-2) = 0; б) АВ: ^ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
^ |
|
|
х + 2 |
|
у |
|
|
ъ |
л |
|
соэи? = |
1 |
|
г |
|
х —2 |
|
|
у + 2 |
|
Ь2: |
||||||||
<7.0: |
—г— = |
— |
’ |
/1 = |
4, |
-т = , |
Ь ь |
---------7= = |
------- |
7=, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
- |
4 |
|
|
|
|
|
^ |
|
л/10 |
|
|
|
4 —2л/5 |
|
3 + л/5 |
|
|
|||||||
(4 -2 л / 5 )(х -2 ) |
+ |
(3 + |
\/5)(у + 2) = 0. |
1.151.* = |
-1/ 2. |
1.152. 4/л/5. |
|||||||||||||||||||||||
1.153. х + |
1 = 0, |
у —2 = 0. |
1.154. 13х + у —11 = 0, |
15х —у —13 = |
|||||||||||||||||||||||||