Учебник по математике Ч1 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с

Соответствия

между этими кольцами (Яз -> Яг -> Ях), очевидно, взаимно одно­ значны. Сохранение операций при этих соответствиях проверяется не­ посредственно. Следовательно, кольца изоморфны. Так как R\ = R[9] — поле, то йг и Яз — также поля. Эти поля изоморфны полю С комплекс­ ных чисел. >

Пример 27. Доказать, что если F — поле и f(x ) — многочлен первой степени над F, то имеет место изоморфизм F [x]/f(x)F[x] = F . <] Положим I — f(x)F[x\. Элементы фактор-кольца F [x]/I имеют вид д(х) + I, где д(х) £ Р[ж]. Представители смежных классов могут быть

взаимно однозначно и сохраняет операции, а значит, является изомор­ физмом колец F и F[x]/I. >

4.473**. Доказать, что Z/nZ = Zn.

4.474. Выписать все элементы фактор-кольца Zs/4Zg.

4.475. Определить изоморфные образы заданных фактор-колец: a) Z 12/2 Z 12; б) Z48/6 Z 48.

4.476. Найти все идеалы кольца Q[a;]/(a;3 — l)Q[a:].

4.477. Пусть R = F[x] — кольцо многочленов над полем F , р = р(х) — неприводимый над F многочлен. Найти все идеалы кольца R /p nR.

4.478. Доказать, что если R — ассоциативное кольцо и I — его идеал, то кольцо R / I также ассоциативно.

4.479. Пусть R — кольцо и I — его идеал. Будет ли R комму­

Если R — кольцо и I — его идеал, то будем писать о = b (mod I) в

случае, если о —6 € I (здесь a, b е R).

Ки та йс ка я теорема об остатках . Пусть R — ассоциатив­ но-коммутативное кольцо с единицей. A i , ..., Ап — его идеалы такие, что Ai 4- Aj = R при г Ф j . Тогда для любых х\, ..., хп G R суще-

ствует такое х £ R, что х = Xi (mod Ai), ..., х = хп (mod Ап).

Идеалы А, В с условием А + В = R называют взаимно простыми.

Из теоремы непосредственно следует, что система сравнений

( х = Х\ (modni),

I х = Хк (пн^п*)

имеет решение в кольце целых чисел, если числа щ , ..., пк попарно взаимно просты.

х = 3 (пк^5),

{.......................

х = 1 (пк^8).

< Имеем:

х = 3 4- 5т = 148п,

где т , п £ Ъ. Отсюда

5т —8п = -2 .

Частное решение этого уравнения: то = -2 , по = —1. Общее решение: т = —2 4- 8£, п = —1 4- 5£, где £ £ Ъ. Таким образом,

х = 3 Н- 5 т = 3 4* 5(—2 + 8£) — —7 + 40£.

Окончательно получаем: х = 33 (пн^40). >

Пример 29. Существует ли многочлен /(х) £ Е[х] такой, что /(х) —х делится на (х —I)2, а /(ж) 4- 3 делится на х2?

< Многочлены (х - I)2 и ж2 взаимно просты, поэтому существование

многочлена /(х) следует из Китайской теоремы об остатках. Найдем все такие многочлены. Имеем:

/(х) —х = и(х)(х - I)2, /(х) 4- 3 = г;(х)х2.

a = û!o+Q!i0+...+Q!„_i0n-1. Будем отождествлять элемент a + I поля А с элементом а поля F . Теперь мы вправе считать, что А — расширение

поля F , т.е. F С А. Элементы 1, 9, в2, ..., 9п~1 образуют базис поля А, рассматриваемого как линейное пространство над полем F . Так как

92 = (х + 1 )2 = x2 4-1, 93 = x3 + 1 и вообще, д(9) —д(х) 4-1 для любого многочлена д(х) с коэффициентами из F, то р(9) = р(х) + 1 = 0 + 1 = 0 в кольце А. Итак, 9 является корнем многочлена р(х).

Каковы бы ни были поле F и многочлен f(x ) с коэффициентами из F, существует поле F\D F такое, что f(x ) имеет корень в поле F\.

Для неприводимого многочлена f(x ) построенное выше поле F\ —

наименьшее поле, содержащее поле F и корень многочлена f(x ). По­ этому говорят, что поле F\ получено присоединением к полю F корня

многочлена /, и пишут Fi = F[9] (или Fi = F (0 ))9).

Если F — некоторое поле и f(x ) — многочлен над F (необяза­ тельно неприводимый), то существует расширение F' поля F , в ко­ тором многочлен f(x ) разлагается на линейные множители: f(x ) = = А(х - a i ) . . .(х —а п), щ G F 1, k = 1, 2, ..., n. Наименьшее поле, в котором f(x ) разлагается на линейные множители, называется полем разложения многочлена f(x ). Это поле можно получить, взяв в F 1пере­ сечение всех подполей, содержащих поле F и элементы a i , ..., а п. Поле, полученное присоединением к полю F элементов ai, ..., a„, обозначим F[ai, . . a nJ (или F (a b ..., a n)).

Пусть F — поле и К — его подполе. Нетрудно проверить, что F явля­ ется линейным пространством над К . Размерность этого пространства dimK F называется степенью расширения К Ç F.

Пр им ер 30. Доказать, что Е[г] ^ С.

< Если F = R — поле действительных чисел и f(x ) — x2 + 1. Ввиду неприводимости этого многочлена, кольцо Fi = R[x]/(x2 + 1)Е[ж] явля­ ется полем. Его элементы имеют вид с —ах + Ь +1, где I = (х2 + 1)Е[х]. Полагая x + 1 = 9, получим с = а9 + Ь, где 9 — корень многочлена х2 +1 (в Fi). Итак, с = аВ + Ъ\причем 92 ——1. Отсюда следует, что поле Fi

изоморфно полю С комплексных чисел. Таким образом, Е[г] = С. > Пр имер 31. Доказать, что

Q[x]/(x3 - 2)<Q)[æ] = Q[v^2] = { а + Ь9 + с92 \a, b, с G Q, 93 = 2}.

<Пусть F —Q — поле рациональных чисел и f(x ) = х3 —2. Так как

/— многочлен 3-й степени, не имеющий корней в Q, то /(х ) неприводим над Q. Поле Fi = Q[x]/(x3 —2)Q[x] является расширением поля Q, в нем многочлен х3 —2 имеет корень 9. Таким образом,

Fi = Q[9] = Q[^2] = {a 4- Ъ9 4- с92 \a, b, с G Q}.

9) Обычно через Я [а] обозначают кольцо, порожденное кольцом R и элементом а , а через F (a ) — поле, порожденное полем F и элементом а . Однако если a — корень многочлена с коэффициентами из F , то F[a] — F (а).

корень 0 неприводимого многочлена х2+ х + 2 . Вычислить (0+1)(20+1), (0 + 2 )"1, (0 + 1)1999.

< Искомое поле состоит из элементов вида о + 60, где о, Ь £ йз и 92 +

+ 0 + 2 = 0. Отсюда 02 = —0 —2 = 20 + 1. Используя это соотношение, получим:

(0 + 1)(20 + 1) = 202 + 20 + 0 + 1 = 2(20 + 1) + 0 + 1 = 0.

Далее, (0 + 2)-1 = х + ув, где х, у £ Йз. По определению обратного элемента (0 + 2)(х + у9) = 1, т.е. у92+ 2ув + х9 + 2х = 1, или у(20 + 1)+

+(2у + х)9 + 2х = 1, 'или (у + х)в + (у + 2х + 2) = 0. Так как 0 ^ й3, то элементы 1 и 0 линейно независимы над полем йз, следовательно, мы имеем систему уравнений у + х = 0, у + 2х + 2 = 0. Решив эту систему, получим: х = 1, у = 2. Таким образом, (0 + 2)-1 = 1 + 20.

Пусть Р = й3[0] — данное поле. Тогда Р* = Р\{0} — группа из 8

элементов. Следовательно, о8 = 1 для всех а £ Р*. Поэтому (0 + 1)8 = 1. Разделим 1999 на 8 с остатком: 1999 = 8 •249 + 7. Следовательно,

(0 + I)1999 = (0 + I)8 249 •(0 + I)7 = (0 + I)7.

Далее имеем:

(в + I)2 = О2 + 20 + 1 = (20 + 1) + 20 + 1 = 0 + 2,

(0 + I)4 = (0 + 2)2 = 02 + 40 + 4 = 02 + 0 + 1 = (20 + 1) + 0 + 1 = 2,

(0 + I)7 = (0 + 1)4(0 + 1)2(0 + 1) = 2(0 + 2)(0 + 1) =

4.504. Построить поле ^ из 49 элементов, присоединив к полю ^ 7 корень в многочлена х 3 + х + 3.

В задачах 4.505-4.507 произвести указанные вычисления А

4.513. а;3 4- х 4- 1 над <0>. 1 4.514. Выяснить, какие подполя имеет поле из п элементов,

если: а) п = 8; б) п = 16.

Пример 34. Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби

Используя линейную независимость элементов 1, 9, в2 над <0>, получим

систему:

2х + у + г = О,

<3 а) ф(2) = |(/х(1) •2^ + „(2) •21) = \(4 - 2) = 1.

Значит, над полем Ъ2 есть только один неприводимый многочлен второй степени. Это многочлен ж2 + ж + 1.

б) № = | Ы 1 ) ' 24 + ц(2) •22 + //(4) - 21) = 1 ( 1 6 - 4 + 0) = 3.

Таким образом, имеется ровно 3 неприводимых многочлена 4-й степени над полем Ъ2- Это ж4 + ж + 1, ж4 + ж3 + 1 и ж4 + ж3 + ж2 + ж + 1.

в) -0(6) = ^ (#*(1) ■З6 + //(2) ■З3 + д(3) •З2 + ф ) •З1) = 1 (729 - 27) -

- 1(9 + 3) = 116.

Следовательно, имеется ровно 116 унитарных многочленов шестой сте­ пени, неприводимых над полем Ъ$. >

Если к полю присоединить корень неприводимого многочлена к-й степени, то полученное расширение будет содержать корни всех не­ приводимых многочленов к-й степени (или, по-другому: всякое непри­

водимое уравнение к-й степени будет решаться в этом расширении).

Пример 36. Построить поле б^Р(81). Найти образующий элемент мультипликативной группы этого поля.

< Так как 81 = З4, то для построения поля надо найти многочлен 4-й степени, неприводим’ый над полем На первый взгляд кажется, что в

качестве такого многочлена можно взять ж4 + 1. Однако этот многочлен приводим над йз, так как ж4 4-1 = (ж2 + ж 4- 2) (ж2 + 2ж + 2). Рассмотрим

тогда многочлен /(ж) = ж4+ж + 2. Этот многочлен не имеет корней в Если предположить, что этот многочлен приводим, то его разложение

запишется в виде ж4 + ж 4- 2 = (ж2 + Ах 4- 1)(ж2 4- В х 4- 2); составив (систему уравнений для коэффициентов А и В, убедимся, что она не

имеет решений, следовательно, многочлен ж4 +ж + 2 неприводим над Ъ^. Из неприводимости следует, что

<7^(81) = %з[х]/(хА+ х + 2)й3[ж].

Положим I = (ж4 + ж 4- 2)йз[ж] и 0 = ж 4- I. Тогда 94 + 9 + 2 = 0,

0 — элемент порядка 80, а значит, образующий элемент мультиплика­ тивной группы. >

Пример 37. Найти какой-нибудь многочлен 3-й степени, неприво­ димый над полем (7.Р(4).

< Поле 6^ (4) представим в виде GF(4) = {0, 1, а, а 4-1}, где а2 = а 4-1. Докажем неприводимость многочлена /(ж) = х3+ х2+1 над полем (ЗР(4). Так как йе%/ = 3, то для этого достаточно доказать, что /(ж) не имеет корней в 6^ (4). Имеем: /(0) = /(1) = 1 ^ 0 ,

/(а) = а3 + а2 + 1 = а2 •а + (а + 1) + 1 = (а + 1)а + а = а2 = а + 1 ^ 0

и /(а + 1) = (а 4- I)3 4- (а 4- I)2 + 1 = а ф 0.

Заметим также, что неприводимость многочлена /(ж) можно вывести из более общих соображений: если многочлен <р(х) степени п неприво­

ственно). Если бы этот многочлен имел корень 9 в поле .Р = б\Р(54), то

4.518. Доказать, что для любого простого числа р и любого натурального п существует неприводимый над полем Ър многочлен степени п.

4.519. Выяснить, существует ли поле, количество элементов в котором равно указанному числу: а) 32; б) 36; в) 125; г) 243.

В задачах 4.520 и 4.521 найти какой-нибудь образующий эле­ мент мультипликативной группы указанного поля.

4.520. С ^(25) = Ъь\0\ где в2 = 4(9 4- 3. 4.521. <2^(27) = г 3[0], где в3 = в 4-1.

Пример 39. Построить изоморфизм полей

В задачах 4.522 и 4.523 выяснить, изоморфны ли указанные пары колец.

4.522. Z5 [х\!(х2 —2)Ъь[х\ и 1л^[х\!(х2 — 3 )2 5 [х]. 4.523. %з[х\!(хА4- 1 )г 3[х] и 2з[ж]/(гс4 4- х 4- 2^з[ж].

4.524. Доказать, что Z з[х\!(хА4- 1^з[ж] = G F(9) 0 С^Р(9).