Учебник по математике Ч1 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с

212 Гл. 4. Элементы общей алгебры

4.386**. Доказать, что над любым полем существует бесконечно много неприводимых многочленов.

Назовем многочлен с целыми коэффициентами примитивным, если наибольший общий делитель его коэффициентов равен 1 .

4.387*. Доказать лемму Гаусса: произведение примитивных многочленов является примитивным многочленом.

4.388*. Доказать, что многочлен с целыми коэффициентами не­ приводим над полем Q тогда и только тогда, когда он неприводим над кольцом Z (т. е. не раскладывается в произведение многочле­ нов меньшей степени с целыми коэффициентами).

4.389*. Доказать критерий Эйзенш т ейна: многочлен с це­ лыми коэффициентами /(ж) = а пхп + ... 4- а\х 4- ао неприводим над полем Q, если для некоторого простого р выполняются усло­

В задачах 4.395 и 4.396 найти все многочлены 3-й степени, неприводимые над указанным полем.

4.395. Над полем Z2. 4.396. Над полем Z3 .

4.397. Найти все многочлены 4-й степени, неприводимые над полем Z2.

В задачах 4.398-4.401 определить, при каких а многочлен f( x )

4.402. Найти какой-либо многочлен 6 -й степени, неприводи­ мый над полем Z2.

4.403. Доказать, что если многочлен f( x ) над полем Zp удовле­ творяет равенству f ( x 4- 1 ) = /(ж), то его степень делится на р.

4.404*. Доказать, что многочлен хр—х + а при а ф 0 неприводим над полем Ър.

Теорема. Пусть R — ассоциативно-коммутативное кольцо. Если R не имеет ненулевых делителей нуля, то R может быть вло­ жено в поле, т. е. существует поле F такое, что каждый элемент

довательно, поле частных кольца Ъ[х] совпадает с полем рациональных функций Q(x). >

В задачах 4.405-4.407 определить, что представляет собой поле частных кольца R.

4.405. R — F — поле.

4.406. R — 2Z — кольцо четных чисел.

4.407. R = { a + bi \a, b е Z, г2 = — 1} — кольцо целых гауссо­ вых чисел.

В задачах 4.408-4.410 определить, имеют ли поле частных ука­ занные кольца.

4.408. Кольцо С [а, Ь] всех функций, непрерывных на отрезке [а, Ь].

4.409. Кольцо R ® R.

4.410. Кольцо F [x , у] всех многочленов от двух переменных над

Pi(x) — неприводимые многочлены над полем F и degu^a:) < degPi(x).

Пример 17. Разложить на простейшие дроби над полем Е следую­ щую дробь:

2х + 3 я4 —4ж3 + 8ж2 —16х + 16

4.432. Указать какое-либо бесконечное поле характеристики 2.

Производная многочлена /(ж) = апхп 4- ... 4- ахж 4- ао над полем Р

определяется следующим образом: /'(ж) = папжп -1+ ( п - 1)а„_1Жп -24- ...

... 4* 2й2^ 4* &1 •

Пример 18. Найти производную многочлена /(ж) = ж4 4-ж3 4-ж2 4*

+ж 4- 1 над полем йг[ж].

</'(ж) = 4ж3 4- Зж2 4- 2ж 4-1 = ж2 4-1. >

Теорема. Пусть Р — поле и /(ж) — многочлен с коэффициен­ тами из Р. Многочлен /(ж) не имеет кратных корней ни в каком расширении поля Р в том и только том случае, если /(ж) и /'(ж) взаимно просты.

f'(x) = 2(ж2 + 1) •2ж, то (/(ж), /'(ж)) = х2 + 1 ф 1. Противоречия с

предыдущей теоремой здесь нет, так как многочлен /(ж), хотя и не имеет корней в Е, но имеет кратные корни в поле С, являющемся расширением поля М: (ж2 + I)2 = (ж + г)2(ж —г)2. >

Дифференцирование можно перенести с кольца многочленов Р[ж] на

Пример 21. Найти кратные корни многочлена /(ж) = ж4 + 2ж3 —

—5ж2 —6ж + 9 из Е[ж].

<Найдем производную:

/'(ж) = 4ж3 4- 6ж2 - 10ж - 6 = 2(2ж3 + Зж2 - 5ж - 3).

Затем найдем d(ж) = (/(ж), /'(ж)). Для этого применим алгоритм Ев­ клида к многочленам /(ж) и /'(ж). В результате получим: d(ж) = = ж2 + ж —3, а /(ж) = (ж2 + ж —З)2. Значит, /(ж) имеет двукратные

4.440. Найти кратность корняа многочлена f { x ) ~ f f{a )(х — a) —

— - / //(а)(ж — а)2, где /(ж) — многочлен из К[ж] степени 3.

4.441. При каких соотношениях между а и Ь многочлен х 5 + + ax 3 + b имеет в поле R двукратный корень, отличный от 0?

4.442. Найти все а, при которых многочлен f( x ) из Щх] имеет

4.443. При каком а многочлен х 5 —ах 2 — ах + 1из Ж[х] имеет число —1 корнем кратности, не меньшей 2?

4. Фактор-кольцо. Непустое подмножество А кольца R называется подкольцом этого кольца, если выполнены условия:

(Пк1) Vо, 6 € A <2 + 6 g А5 (Пк2) Vа € Л —а G А; (ПкЗ) Vа, 6 € Л ab G Л.

Первые два из этих условий означают, что подкольцо является подгруп­ пой аддитивной группы (Л, +) (но не наоборот).

Непустое подмножество I кольца R называется идеалом кольца R (обозначается: I < R), если выполнены условия:

(И1) Va, b G / й + b G /5 (И2 ) Уа е / —а G /;

(ИЗ) Vа € I Vr € Л га Е I , аг £ I .

Левый идеал — непустое подмножество /, для которого I + /, — Л/ С Л; правый идеал: 7 + /, — /Л С Л.

Во всяком кольце Л есть тривиальные идеалы: это 0 — наименьший идеал и Л — наибольший идеал. Кольцо Л называется простым, если оно не имеет нетривиальных идеалов.

Суммой двух подмножеств Л и В кольца Л называется множество А +В = {а+Ь |й € Л, b G В }, произведением подмножеств — множество

А В = |х)йг&г |й* € Л, Ьг G

Пр имер 22. Найти общий вид идеалов кольца Л = R\ ® ... ® Лп, где Ri — кольца с единицей.

.. .+ e„an G I i + . . .+ 1п (так как Oj = е*о G /f). Утверждение доказано. >

Пример 23. Доказать, что кольцо Fn всех п х n-матриц над полем

Fне имеет нетривиальных идеалов.

<Пусть I < Fn и I ф 0. Тогда существует матрица А — ||a,j|| G I

такая, что а^- ф 0 при некоторых г, j. Пусть E ki обозначает матрицу, у которой на (к, /)-м месте стоит 1, а на остальных местах 0. Так как I — идеал, то E siA (Aa^1 Ejt) G I при всех Л G F и любых s ,

Пример 24. Существуют ли в кольцах Z, R, Fn подкольца, не являющиеся идеалами?

< Если А — подгруппа группы (Z, +), то А = пЪ при некотором п. Ясно, что пЪ — идеал кольца Z. Следовательно, в кольце Z нет не только подколец, но и аддитивных подгрупп, не являющихся идеалами. В кольце

Е есть подкольцо Q, не являющееся идеалом. В кольце матриц Fn при

п> 2 есть подкольца, не являющиеся идеалами. Приведем несколько примеров: а) подкольцо Тп верхних треугольных матриц; б) подкольцо

диагональных матриц; в) подкольцо скалярных матриц, т. е. матриц вида АЕ, где А Е F , а Е — единичная матрица. >

4.444**. Доказать, что в поле нет нетривиальных идеалов. 4.445. Доказать, что сумма двух идеалов является идеалом. 4.446. Доказать, что произведение двух идеалов ассоциативного

кольца является идеалом.

4.447. Привести пример подколец А и В кольца F[x] (F — поле), для которых сумма А + В не является подкольцом.

4.448. Будет ли произведение А В двух подколец А и В ассоциа­ тивно-коммутативного кольца также являться подкольцом?

4.449. Перечислить все идеалы кольца Z2o-

4.450. Доказать, что если в кольце R а 2 = а для всех a G R, то R коммутативно и о + а — 0 для всех а.

4.451. Для идеалов кольца Z вычислить: а)** mZ -f nZ; б) mZ П nZ; в) mZ •nZ.

Пусть R — кольцо, I — его идеал. Образуем фактор-группу R /I, рас­ сматривая лишь операцию сложения. Элементы фактор-группы имеют вид a + I и складываются по правилу (a + I) + (b + I) — (а + b) + I. Введем умножение на группе R /I, полагая

(а + /)(& + /) =аЬ + /.

Множество R /I с введенными операциями является кольцом. Оно называется фактор-кольцом кольца R по идеалу I.

Пример 24. Пусть F — поле, F[x] — кольцо многочленов над F и f(x ) — многочлен степени n ^ 1. Тогда элементы фактор-кольца F[x]/f(x)F[x] могут быть представлены в виде ао+сщж-Ь . ,+ a n- i x n~1 + + /, где I = f(x)F[x], aQ0, oi , ..., a„_i £ F.

< Действительно, пусть g(x) + I — элемент фактор-кольца. Разделим

g(x) на f(x ) с остатком: g(x) —f(x)q(x)+ r(x), rfledegr(x) < п. Отсюда получаем:

д(х) + I = f(x)q(x) + r(x) + I = г(х) + /,

Пусть <р: R -> R' — гомоморфизм колец. Определим ядро ker<£> и образ Im <р гомоморфизма ip следующим образом:

Теорема об изоморфизме для колец. Пусть (р : R -» R' — гомоморфизм колец. Тогда ker<p является идеалом кольца R и имеет место изоморфизм

R /ken p =? Im (p.

Пусть R — кольцо и I — его идеал. Гомоморфизм R -» R /I, ста­ вящий в соответствие каждому элементу а € R смежный класс а + I,

называется естественным гомоморфизмом.

Пример 25. Пусть п € N и d\n. Доказать, что dZn < Ъп и Zn/dZn — Z^.

< Определим отображение ip: Zn -> Zd правилом: ip(x) = х modrf. Это отображение определено корректно, так как если х = у (mod п) и d |п, то х = у (modrf). Проверка того, что (р является гомоморфизмом, осущест­ вляется непосредственно. Ядро отображения <р состоит из элементов, которые = 0 (modrf), т. е. ker ср = dZn. Следовательно, по теореме об изоморфизме dZn < Zn и Zn/dZn S Zd- >