Учебник по математике Ч1 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с

В задачах 4.314 и 4.315 решить систему уравнений в указан­ ном поле.

4.316. Найти обратную матрицу для матрицы А, заданной в указанном поле:

4.317. Найти ранг заданной матрицы в указанном поле:

которых уравнение х 2 = а разрешимо.

4.320*. Пусть р — простое число, а, Ь, с 6 Ър и а ф 0. Сколько

различных значений принимает квадратный трехчлен а х 2+Ьх+с? 4.321*. Доказать, что если р — простое число и р — 1 не де­ лится на 3, то уравнение х 3 = а имеет единственное решение для

каждого а 6 Zp.

4.322. Пусть F — поле чисел вида а + Ъу/2, где a, b € Q. Раз­ решимо ли в F уравнение ж3 = 2 ?

4.323**. Выяснить, является ли полем прямая сумма двух по­ лей.

Пусть F — поле и 1 — единица поля F. Если существует n £ N, для которого п •1 = 0 , то наименьшее из таких п называется харак­ теристикой поля F и обозначается charF. Если п •1 ф 0 при всех п, то по определению считается charF = 0. Например, charZp = р , char К = 0, char С = 0. Подполем Р поля F называется подкольцо в F , само являющееся полем. Наименьшее подполе данного поля называется его простым подполем.

Пример 8 . Существует ли какое-либо поле характеристики 2, от­ личное от поля Z2?

< Пусть F — искомое поле. Так как по условию char F = 2, тои + м = 0 для любого и е F и, в частности, 1 + 1 = 0. Выберем некоторый элемент а £ F , а ф 0, а ф 1 и рассмотрим элементы 0, 1 , а, а + 1 поля F . Сло­ жение этих элементов друг с другом не выводит за пределы множества {0, 1, а, а + 1} (проверьте!). Введем умножение. Для этого достаточно

определить произведение a •а. Если а2 = 0, а2 = 1 или а2 = а, то получаем противоречие с аксиомами поля (какими?). Значит, возмо­

жен только один вариант, когда а2 = а 4 - 1 . Остается проверить, что

{0, 1, а, а2}, где а2 = а 4 - 1, является полем. Проверка осуществляется непосредственно. >

Пример 9. Пусть F — поле чисел вида а 4- Ъ\/2, где а, 6 G Q. Что из себя представляет простое подполе Fo этого поля?

< Единицей поля F является 1 4- Ол/2. Наименьшее поле, содержащее 1 + 0 \/2 , состоит из элементов а 4- 0\/2* Таким образом, Fo = {а 4 - 4- Оу/21а G Q}. Оно совпадает с полем Q. >

4.324*. Доказать, что характеристика поля, если она не равна нулю, является простым числом.

4.325**. Доказать, что, если р > 0 — характеристика поля F , то для каждого a € F имеет место равенство pa = 0.

4.326. Доказать, что в каждом поле содержится простое под­ поле.

4.327**. Доказать, что если F\, F 2 — два поля и F\ С F 2, то char F\ = char F 2.

4.328. Пусть F — поле и Fo — его простое подполе. Дока­ зать, что:

а) если ch arF = р > 0, то F Q = Zp; б) если char F = 0, то Fo = Q.

4.329**. Доказать, что если F — поле характеристики р, то для любых а, Ъ Е F имеет место равенство (a 4- Ь)рП = арП 4- ЬРп (п е N).

4.330. Раскрыть скобки и упростить выражение (а + b)20, если а, Ь — элементы поля характеристики 2.

Пример 10. Доказать, что множество F матриц а =

а Ъ —Ь а

где а, b 6 %>7, с обычными операциями матричного сложения и умноже­ ния является полем. Сколько элементов содержит поле F? Чему равна charF? Что из себя представляет простое подполе Fo?

а 6

4.331. Является ли полем множество всех матриц вида

—о а

где а, 6 Е Z5 , с обычными операциями матричного сложения и умножения?

а Ъ

4.332. Доказать, что множество F всех матриц вида

26 а где a, b е Z5 , с обычными операциями матричного сложения и умножения является полем. Найти |F|, char F , F Q.

3.Многочлены над полями. Деление многочленов. Элемент а Е F

называется корнем многочлена /(ж) € F[x], если f( a ) = 0. Корень а имеет кратность т , если f(x ) представим в виде f(x ) = (х —а )тд(х)

и д(а) ф 0. Корень а простой, если т = 1, и кратный, если т ^ 2. Пусть f(x ) и д(х) € F[x], где F — поле. Говорят, что многочлен д(х)

делит /(ж) (обозначают д(х) |/(ж)), если существует h(x) € F[x] такой, что f(x ) — h(x)g(x). В этом случае говорят также, что f(x ) делится на

д{х), и записывают это в виде f(x ) :д(х).

Теорема. Пусть f{x ), д(х) € F[x], где F — поле и д(х) ф 0. Тогда f(x ) может быть единственным образом представлен в виде f(x ) = g(x)q(x) + г(х ), где q(x), r(x) 6 F[ar], и degr(ar) < degp(x).

Многочлен u(x) называют частным, a r(x) — остатком.

Пр и м e p 11. Разделить многочлен f(x ) = 6ж4 -f 5ж3 —11ж2 + 10ж —8

на многочлен д(х) = Зж2 + Ах —5 с остатком.

< Воспользуемся методом деления многочленов «уголком»:

-З х 3 — 4ж2 + Ьх Зх2 + Ьх —8 Зж2 4- Ах —5

ж —3

Таким образом,

6ж4 4- 5ж3 - 11ж2 + 10ж —8 = (Зж2 4- 4ж —5) (2ж2 —ж 4-1) 4- (ж —3). >

q(x) г(х)

Теорема Везу. При делении многочлена /(ж) на двучлен (X —XQ) остаток равен значению многочлена при х = Жо, т .е. г = /(жо).

Схема Горнера. С помощью этой схемы можно осуществить де­

ление многочлена на двучлен. Пусть даны многочлен /(ж) = апхп + ...

фициентов многочлена д(ж) и остатка г осуществляется по следующей схеме:

Заполнение таблицы производится слева направо.

Пример 12. Найти частное и остаток от деления многочлена f(x ) — = 2х3 —Зх + 5 на многочлен д(х) = х —4.

<3 Воспользуемся схемой Горнера:

Следовательно,

/(х) = (х —4)(2ж2 4- 8а; 4- 29) 4-121. >

Пример 13. Найти значение многочлена /(х) = х4 —2х34-х24-х 4-1 при х = —3.

< По теореме Безу значение многочлена /(—3) равно остатку от деления /(а;) на х 4- 3. Составим таблицу:

Отсюда

/(— ) = 142. >

В задачах 4.333-4.336 для многочленов /(х ), д(х) над полем ^

(х — 1) дает в остатке 3, а при делении на (.х + 2) дает в остатке —7. Найти остаток от деления этого многочлена на (х — 1)(ж + 2).

В задачах 4.338-4.340 для многочлена f( x ) над полем Ш найти частное и остаток от деления этого многочлена на двучлен x — XQ.

4.340. f (x) = Зж5 -f ж4 — 19x2 — 13æ — 10, xq = 2.

Наибольшим общим делителем [ f (x), g{x)) многочленов f (x) и g(x)

над полем F называется многочлен наибольшей степени среди много­ членов, делящих f(x ) и д{х). Для любых двух многочленов, не равных одновременно нулю, наибольший общий делитель существует и опреде­ лен однозначно с точностью до постоянного отличного от 0 множителя. Из всех наибольших делителей многочленов f(x ) и д(х) обычно выби­ рается тот, у которого старший коэффициент равен 1. Два многочлена называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, кроме констант (многочленов нулевой степени).

Наибольший общий делитель двух многочленов находят тем же спо­ собом, который используется для двух целых чисел, — алгоритмом Ев­ клида:

nt—2 (z) = nk-i(z)<?fc(z) + r k(x), degrk{x) < degrfc_i(x); rk-i(x ) = rk(x)qk+i{x).

На каждом шаге степень многочлена, являющегося остатком, меньше степени делителя. Последний отличный от нуля остаток rk (x) и является

искомым наибольшим общим делителем многочленов f(x ) и д(х), т.е.

п {х ) = (Дж), д{х)).

Наибольший общий делитель (fi{x), ..., f n(x)) многочленов fi{x ), ..., f n{x) — это многочлен наибольшей степени, на который де­ лятся многочлены fi(x ), ..., /п(ж). Его можно определить индуктивно:

(fi(x ), ..., f n{x)) = ((/i(z), ..., f n- i(x)), f n{x)).

Наименьшее общее кратное многочленов f\{x), ..., f n(x) — это многочлен М(х) наименьшей степени, который делится на многочлены Л (я), •••, /п(я)-

4.341**. Доказать, что гь(х) — наибольший общий делитель многочленов f( x ) и д(х).

4.342**. Доказать утверждения:

и d{x), d\(x) — их наибольшие общие делители, то d(x) = Xd\(x) при некотором Л 6 F , ХфО;

5 (ж) = (f(x)g(x))u(x) + g(x)h(x)v(x).

Следовательно, h(x) |д{х). >

4.343**. Доказать утверждения:

а) наименьшее общее кратное М (х) многочленов f( x ) и д(х) является делителем любого общего кратного;

б) если М (ж) и d(x) — соответственно наименьшее общее крат­ ное и наибольший общий делителе многочленов f( x ) и д(х) с коэф­ фициентами из поля F , то f(x )g (x ) = XM (x)d(x) при некотором

ЛG F , ХфО .

Взадачах 4.344-4.348 найти наибольший общий делитель мно­ гочленов f( x ) и д(х) над заданным полем.

В задачах 4.349-4.351 найти наибольший общий делитель d(x) многочленов f( x ) и д(х) над заданным полем, а также такие мно­ гочлены и(х) и v(x), *Ï T O d(x) = f(x )u (x ) 4- g(x)v(x).

4.349*. f (x) = x 4 + 2x3 — x 2 — 4x —2, g(x) = x 4 4- x 3 — x2 — 2x — 2 (над R).

4.350. f (x) = x 5 4- 3a;4 4- x 34- x 2+ Sx + 1, g(x) = x 4 + 2x3 4- x 4- 2 (над R).

4.351. Многочлены из задачи 4.346.

4.352. Найти многочлен наименьшей степени над полем R, да­ ющий в остатке многочлен 2х при делении на многочлен (x — I ) 2 и За; при делении на (x —2)3.

4.353. Найти все Л G С, при которых многочлены f( x ) и д(х)

4.354. Определить, делится ли многочлен (ж + 1 )2П — ж2” — 2 ж — 1 на 2ж3 + Зж2 + х (над полем Е).

4.355. При каких п многочлен 1 + ж2 + ж4 + . . . + х 2п~2 делится на многочлен 1 + ж + ж2 + ... + жп -1 (над полем R)?

В задачах 4.356 и 4.357 выяснить, при каких a, Ь многочлен

Многочлен, представимый в виде произведения многочленов мень­ ших степеней (с коэффициентами из поля F), называется приводимым

над полем F . В противном случае многочлен f(x ) над полем F называ­ ется неприводимым. Приводимость многочлена зависит oV рассматрива­

емого поля. Так, многочлен х2 —3 неприводим над полем Q, но является приводимым над полем Е, так как х2 —3 = (х 4- ^/Ъ)(х —\/3)-

Теорема Га усса (основная теорема алгебры). Всякий многочлен степени ^ 1 с комплексными коэффициентами имеет комплексный корень.

4.360. Доказать следующие свойства неприводимых многочле­ нов над произвольным полем F :

а) всякий многочлен первой степени неприводим; б) если многочлен /(ж) неприводим, то неприводимым будет и

всякий многочлен с/(ж), где с — отличный от нуля элемент из F ; в) если /(ж) — произвольный многочлен, а р (ж) — неприво­ дим, то либо /(ж) делится на р (ж), либо /(ж) и р (ж) взаимно про­

сты; г) если произведение многочленов /(ж) и д{х) делится на не­

члена /(ж) G -Р[ж] в произведение неприводимых множителей и

8) Неприводимый многочлен при этом считается произведением к неприводи­ мых многочленов при к = 1.

нием многочлена в произведение неприводимых множителей. До­ казать, что этим исчерпываются все разложения многочлена /(ж).

4.362. Доказать, что над полем С неприводимыми являются многочлены первой степени и только они.

4.363. Доказать, что над полем М неприводимы многочлены первой степени А х + В и квадратные трехчлены А х2 + В х С с дискриминантом £) < 0, других неприводимых над К многочле­ нов нет.

может быть вычислен по формуле с!(х) = р^1 (х)р22(х ) . . .р]ь(х), где 7* = пйп(ач, А );

б) наименьшее общее кратное двух многочленов /(ж) и д(х)

может быть вычислено по формуле М (х) = р*1 (х)р?р(х).. .р*ь(х), где 6{ — т а х (а*, /%).

Пример 15. Разложить многочлен ж4 + 1 на неприводимые множи­ тели над полем Ъ$.

< Убедимся в том, что многочлен х4 + 1 не имеет корней в поле Ъ$.

Значит, многочлен ж4 + 1 не делится на многочлены первой степени и если разлагается в произведение неприводимых множителей, то это

могут быть только множители вида х2 + ах 4- /3, где а, / € Для их нахождения воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

Запишем

ж4 + 1 = (ж2 + аж + Ь)(х2 + сх + сГ), а, 6, с, с? € 2з и, перемножив многочлены в правой части равенства, получим

х4 + 1 = х4 + (а + с)х3 + (Ь + с1 + ас)х2 + (а<1 + Ьс)х + М.

Равенство многочленов в левой и правой частях равенства означает совпадение коэффициентов при одинаковых степенях х. Следовательно, получаем систему уравнений:

'а + с = 0 (коэффициент при ж3),

^Ь + ё + ас= 0 (коэффициент при ж2),