Учебник по математике Ч1 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с

гомоморфизм. Ядром этого гомоморфизма как раз служит подгруппа Я . Значит, по теореме об изоморфизме Н <\ О и (7/Я = Е*. >

4.207. Доказать, что произведение Н 1Н 2 двух нормальных под­ групп — нормальная подгруппа.

4.208. Доказать, что подгруппа Н группы (7 является нормаль­ ной тогда и только тогда, когда V х е в х~1Н х С Н .

В задачах 4.209-4.212 выяснить, какие подгруппы являются нормальными в указанных группах.

4.209. 5з. 4.210. £ 4 . 4.211. Группа кватернионов. 4.212. Группа движений квадрата.

4.213*. Доказать, что пересечение любой совокупности нор­ мальных подгрупп является нормальной подгруппой.

4.214*. Доказать, что в группе движений плоскости параллель­ ные переносы, а также вращения вокруг фиксированной точки со­ ставляют подгруппы, первая из которых нормальна, а вторая нет.

4.215*. На примере группы движений квадрата (см. задачу 4.212), показать, что из соотношений А < В , В < С не следует

А < С.

4.216*. Доказать, что если А и В — подгруппы группы (7 и А <3 С, то произведение А В является подгруппой, причем в случае А, В <3 (7 имеет место также А В <3 (7.

4.217. В группе кватернионов найти: а) все нормальные подгруппы;

б) фактор-группы по всем ее нормальным подгруппам.

4.218. Пусть (7 — группа движений плоскости, Сг\ — подгруппа параллельных переносов. Описать фактор-группу (7 /(7 1 .

4.219. Пусть п — натуральное число, с£ — его делитель. Опи­ сать фактор-группу ЪП/<1ЪП.

4.220*. Пусть Т обозначает группу комплексных чисел, по мо­ дулю равных 1. Доказать, что Ж/Ъ = Т (Е и Ъ рассматриваются

Пусть С — группа, а и Ъ— ее элементы. Назовем а и Ь сопряжен­ ными, если 6 = д~1ад для некоторого д 6 (7. Подгруппы Я и Я ' назовем сопряженными, если Я = д~1Нд для некоторого д € (7.

группы между собой неизоморфны, так как во второй из них для любого

12а = 0, то 126 = 0. Кроме того, поскольку 6 € й25, то 256 = 0. Имеем

Г 126 = 0, \ 256 = 0.

Но НОД(12, 25) = 1, поэтому 12ж + 25у = 1 для некоторых ж, у € Ъ. Отсюда получаем

6 = (12ж + 25т/)6 = 126ж + 25Ьу = 0 + 0 = 0.

Итак, есть только один гомоморфизм — нулевой. >

4.226. Пусть А — абелева группа, В 2 — ее подгруппы. Доказать, что сумма В\ + В 2 прямая тогда и только тогда, когда

В 1 Г )В 2 = 0.

4.227. Пусть А — абелева группа, В\, ..., В п — ее подгруппы. Доказать, что для того, чтобы сумма В\ + ... + В п была прямая,

4.234. Доказать, что Ът ф Ъп = Ът п , если НОД(т, п) = 1.

4.235*. Доказать,что множество всех гомоморфизмов«/?: А —ь В (А , В — абелевы группы) является абелевой группой относительно операции (</? + ^)(а) = <р(а) + 'Ф(а).

Группу всех гомоморфизмов А -> В с указанной операцией (см. за­ дачу 4.235) обозначают Нот (А, В).

4.236. Ч то собой представляют группы:

взаимно простых с п , относительно операции умножения по мо­

4.239. Определить количество элементов указанного порядка в заданной группе:

а) порядка р к в группе Жр?*; б) порядка р в группе Ърч ® Ър,

в) порядка р 2 в группе Ърч ® Ър.

§3. Кольца и поля

1.Кольца. Пусть Я — множество, на котором заданы две бинар­ ные операции + и •, условно называемые сложением и умножением. Множество Я называется кольцом, если выполнены следующие условия

(аксиомы кольца):

(К1) Vа, Ь, с € Я (а+Ь)+с = а+(6+с) — ассоциативность сложения; (К2) ВО £ Я Уа € Я а + 0 = а — существование нулевого элемента;

(КЗ) Уа 6 й 36 е Д а + 6 = 0 — существование противополож­ ного элемента; элемент Ь называется противоположным к а и обозна­ чается —а;

(К4) Vа, 6 6 Л а + Ь = Ь + а — коммутативность сложения;

(К5) Vа, Ь, с € Я (а + Ь)с = ас + Ьс, с(а + Ь) = са + сЬ — дистрибу­ тивность (левая и правая).

Группа (Я, +) называется аддитивной группой кольца Я. Кольцо Я называется:

—коммутативным, если аЬ = Ьа для всех а,Ь 6 Я;

—ассоциативным, если (аб)с = а(6с) для всех а, Ь, с € Я;

—кольцом с единицей, если в Я есть единичный элемент, т.е.

такой элемент 1, что для всех а £ Я а •1 = 1 •а = а.

Прямым (или декартовым) произведением Я\ х Я 2 х ... х Я п колец

Иногда кольцо Я\ х Я 2 х ... х Я п называют прямой суммой колец Я\, Я 2 , ..., Я п и обозначают Дх ф Л2 ® •••® Я п •

В задачах 4.240-4.242 проверить, что указанные множества являются кольцами.

4.240. Множество целых чисел Ъ с обычными операциями сло­ жения и умножения. Это кольцо называется кольцом целых чисел.

4.242. Доказать, что множество Ъп с операциями сложения и умножения по модулю п является кольцом. Это кольцо называется

кольцом вычет ов.

В задачах 4.243-4.252 выяснить, являются ли кольцами сле­ дующие множества.

4.243. Множество N натуральных чисел с обычными операци­

ями сложения и умножения.

т

ными операциями сложения и умножения.

4.245. Множество Тп верхних треугольных матриц, т. е. ма­ триц вида

где a,ij 6 й, с операциями матричного сложения и умножения. 4.246*. Множество всех тригонометрических многочленов вида

умножения функций.

4.247. Множество всех тригонометрических многочленов вида

умножения функций.

4.248*. Множество Р {Х ) всех подмножеств множества X , если сложением считать объединение U, а умножением — пересече­ ние П.

4.249. Множество всех симметрических n х n-матриц с дей­ ствительными или комплексными коэффициентами (т.е. таких

матриц Л, что А т = А) относительно обычных матричных опера­ ций.

4.250. Множество Р {Х ) всех подмножеств множества X , если умножением считать пересечение П, а сложением — симметриче­ скую разность Д (напомним, что а А В = (А \ В ) U (В \ А )).

4.251. Множество С [а, Ь] всех действительных функций, не­ прерывных на отрезке [а, Ь] (с обычными операциями сложения и умножения функций).

196 Гл. 4. Элементы общей алгебры

4.252*. Множество С[а, Ь] непрерывных функций с обычной операцией сложения, если в качестве умножения взять суперпози­ цию функций: (/ * д ){х ) = /(,д(х )).

4.253. Введем на группе (йб, + ) умножение по формуле а * Ь = = 2аЬ (произведение берется по модулю 5).

а) Является ли (йб, +, *) кольцом?

б) Какой элемент является в этом множестве единицей по умно­

то 71999 = 74-499+3 = 73 = 3. >

Взадачах 4.254-4.259 вычислить значение данного выражения

вуказанном кольце.

4.259. (1 + р ) -1 в кольце Ърз (р — простое).

В задачах 4.260-4.269 проверить, что при р ^ 5, где р — про­ стое число, в указанном кольце справедливы приведенные равен­

0<*<^<р 13

Пусть Я — ассоциативное кольцо с единицей. Элемент а € #, для которого существует обратный элемент а- 1, называется обратимым элементом.

Пример 2. Найти обратимые (по умножению) элементы в кольце Ъ%. О Если а — обратимый элемент кольца йв, то уравнение ах = 1 разре­ шимо в йб, а значит, уравнение ах = 1 + 6у разрешимо в Ъ. Имеем:

ах —6у = 1.

Если а делится на 2 или на 3, то левая часть этого уравнения делится на 2 или на 3, а так как правая часть не делится, то уравнение не имеет решений. Если а не делится ни на 2, ни на 3, то а взаимно просто с 6, поэтому уравнение ах —6у = 1 разрешимо. Итак, обратимыми являются

Отсюда х = 1 или х = 4. Этот пример показывает, что в кольце линейное уравнение ах + Ь = 0 может иметь более одного решения.

б) Если 6ж + 5 = 0 в кольце йв, то 6ж + 5 = 8к в кольце Ъ. Отсюда 6ж —8к = 5. Но это равенство невозможно, так как в левой его части

уравнение ах + Ь = 0 при а ф 0 может не иметь ни одного решения.

в) Составим таблицу:

4.275. Привести пример кольца без единицы. 4.276**. Привести пример неассоциативного кольца.

4.277*. Доказать, что если Я — кольцо с единицей и уравнение х + х = 1 имеет решение, то это решение единственно.

4.278. Для каких колец с единицей совпадают нулевой и еди­ ничный элементы?

Пусть Я и Я' — кольца. Отображение <р: Я -> Я' называется гомо­ морфизмом, если выполнены условия:

<р(х + у) = Ч>{х) + <р{у), 1р{ху) = <р{х)(р{у)

для всех х, у € Я. Если у>: Я -> Я 1 взаимно однозначное отображение Я н а Я', то ф называется изоморфизмом. Если существует изоморфизм <р: Я -> Я 1, то говорят, что кольца Я и Я' изоморфны, и обозначают этот факт следующим образом: Я = Я'. Из определения гомоморфизма следуют равенства: <р(0) = 0, <р(—о) = —<р(а).

Пример 4. Показать, что отображение <р: Ъ -> Ъп, <р(а) = а (шоёп) (остаток от деления а на п) — гомоморфизм колец.

<] Так как

(р(а + Ь) = (а + Ь) (шоёп) = а (тос1п) + Ь (тос1п)

(сложение по модулю п) и

(р{аЬ) = (аЬ) (тос1п) = а (тос!п) + Ъ (тос1п)

(умножение по модулю п), то <р — гомоморфизм. >

4.279. Доказать, что образ коммутативного кольца при гомо­ морфизме является коммутативным кольцом.

В задачах 4.426-4.429 проверить, что следующие отображения являются гомоморфными отображениями колец.

4.281. / :

4.282. Является ли отображение С[а, Ь] —> К, / —> /(а) гомо­ морфизмом колец?

В задачах 4.283 и 4.284 найти все гомоморфизмы колец.

правой части — прямая сумма колец).

4.287*. Пусть X — множество из п элементов и Р (Х ) — множе­ ство всех его подмножеств. В качестве сложения на Р (Х ) возьмем симметрическую разность А А В = (А \ В ) и (В \ А ), а в качестве умножения — пересечение А П В . Доказать, что (Р (Х ), Д , П) — кольцо, изоморфное кольцу Ъ2 ® ... ® Ъ2.

п раз

4.288. Доказать, что всякое кольцо изоморфно подкольцу неко­ торого кольца с единицей.

2.Поля. Пусть Г — множество с двумя бинарными операциями +

и•, которые мы будем условно называть сложением и умножением. Множество F называется полем, если выполнены следующие условия

(аксиомы поля):

ного элемента; элемент Ь называется противоположным к а й обозна­ чается —а;

(П4) Vа, Ь € F а + Ь = Ъ + а — коммутативность сложения; (П5) Vа, Ь, с € ^ (а + Ь)-с = а- с + Ь- с — дистрибутивность;

(П6) Vа, Ь, с е ^ (а ■6) •с = а •(Ь•с) — ассоциативность умножения; (П7) Уа, 6 € ^ а - Ъ = Ь ■а — коммутативность умножения;

(П8) 31 € F \ZaeF (1 ^ 0 и а •1 = а) — существование единицы; элемент 1 называется единицей;

(П9) У аб Г (a^0=Ф•ЗЬeF а •Ь = е) — существование обратного

элемента; элемент Ь называется обратным к а и обозначается а-1 .

Из определения видно, что по сложению всякое поле является абе­ левой группой. Группа (Е, +) называется аддитивной группой прля F.

Множество F* = F \ {0} ненулевых элементов поля F является группой по умножению. Группа (Р*, •) называется мультипликативной груп­

тельно обычных операций сложения и умножения образуют поле.

< Перед проверкой аксиом следует убедиться в том, что применение опе­ раций сложения и умножения не выводят за пределы данного множества.

Пусть F = {а + Ьа/2 1а, 6 е <0>}. Если х = а + Ь\/2 и у = с + <А/2 — произвольные элементы из F (здесь а, Ь, с, с1 € 0>), то их сумма

х + у = (а + с) + (Ь + б?)л/2

также принадлежит F . Произведение

ху = (а + Ь\/2)(с + <Д/2) = (ас + 2Ьд) + (ад + 6с)\/2

также принадлежит F , так как ас + 2Ьй 6 0> и а<1+ Ьс 6 0>. Выполнение аксиом (П1)-(П8) очевидно; ясно, что 0Ч-0л/2 является нулем, а 1+0а/2 —

единицей в ]?. Осталось проверить аксиому (П9). Для этого нам следует убедиться в том, что при а 4- Ьу/ 2 е ^\ {0} всегда можно найти такие

х, У € ОЪ что (а + Ъу/ 2)(х 4- ул/2) = 14Оа/2, т.е. надо показать, что система уравнений

ах 4-2Ьу = 1,

{Ьх 4- ау = 0 разрешима в 0>. Определитель

не может равняться 0, так как у/2 — иррациональное число. Следова­ тельно, система разрешима и аксиома (П9) выполняется. Значит, Р — поле. >

4.289. Доказать, что в произвольном поле Р выполняются сле­ дующие утверждения:

а) нуль в поле ^ единственный; б) противоположный элемент —а для данного а € -Р определя­

ется однозначно; в) единица в поле ^ определяется единственным образом;

г) обратный элемент а -1 к элементу а ф 0 определяется един­ ственным образом;

д) для любого а € Р а •0 = 0; е) в поле нет ненулевых делителей нуля,т.е. для любых а,Ь € Р

из равенства аЬ = 0 следует а = 0 или 6 = 0.

В задачах 4.280-4.283 проверить, что указанные множества являются полями.

4.290. Множество рациональных чисел <0> с операциями сложе­ ния и умножения (поле рациональных чисел).

4.291. Множество действительных чисел К. с операциями сло­ жения и умножения (поле дейст вит ельных чисел).

4.292. Множество комплексных чисел С с операциями сложе­ ния и умножения (поле комплексных чисел).

4.293. Множество Ър, где р — простое число, с операциями сложения и умножения по модулю р (поле вычет ов).

Многочленом над полем Г называется выражение вида

/(х ) = апхп 4-... 4- а\х 4- а0,

где ао, ..., ап € Р — коэффициенты многочлена. При ап ф 0 число п называется степенью многочлена f(x ) и обозначается d e g f. Степень многочлена, все коэффициенты которого равны 0, удобно считать равной —оо. Вышеприведенная форма записи многочлена называется канони­ ческой записью многочлена п-й степени, коэффициент ап — старшим