Учебник по математике Ч1 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с

то каждая координата Xi(a) вектора а равна сумме произведений ко­

Базис 93 = (ei, ег, ез) называется прямоугольным, если векторы ei, вг и ез попарно перпендикулярны и имеют единичную длину. В этом случае приняты обозначения

Координаты X ,Y , Z вектора а в прямоугольном базисе совпадают с проекциями вектора а на базисные орты i, j, к соответственно, а длина

называются направляющими косинусами вектора а.

Направляющие косинусы вектора совпадают с координатами (про­

екциями) его орта ао = — а.

кой М в отношении |Ал1|: |iWL| = 3 : 7 . Найти координаты век­

тора б л ? в базисе из ребер оА ., 0 $ , 0(5.

1.28. Вне плоскости параллелограмма A B C D взята точка О.

б) вектора O lt, где К — середина стороны AD .

1.29. В трапеции А В С И известно отношение длин оснований:

= Л. Найти координаты вектора С Й в базисе из векторов

ш

Ф 0, 1; а/З ф 1 ), О — точка пересечения С М и В М . В базисе из векторов О М и Ш найти координаты:

а)** вектора оХ -

б) векторов АЙ, в д и с Х .

1.31. В треугольнике А В С ~АЙ = аА Й , ВА% = /ЗВ<3, С Й —

= 7 с Х . Пусть Р , <5 и Л — точки пересечения прямых J5F и С К , С К и АМ , А М и В Р соответственно. В базисе из векторов АЙ

иА& найти координаты векторов АЙ, В(*) и СЙ.

1.32.Дан правильный пятиугольник А В С В Е . В базисе из

векторов АЙ и АЙ найти координаты:

а) векторов А& и ХЙ-

б) векторов В& , С Й и 1)Й.

равенстве р = 7 q.

1.34. В тетраэдре A B C D D M — медиана грани B C D и Q —

центр масс этой грани. Найти координаты векторов DA% и АЙ в

базисе А.Й, А& и А13.

В дальнейшем, если не оговаривается противное, векторы предста­ влены своими координатами в некотором прямоугольном базисе. Запись а = {X , У, Z} означает, что координаты вектора а равны X , Y и Z, т.е. а = X i + Y j + Zk.

1.35. Заданы векторы ai = { —1 , 2, 0}, a.2 = {3, 1, 1}, аз =

= {2, 0, 1} и а = ai - 2аг + -а з . Вычислить:

О

a) |ai| и координаты орта а^о вектора ai;

Убедиться, что они коллинеарны, и найти разложение вектора а по базису 55 = (е).

1.37. На плоскости заданы векторы = { —1, 2}, в2 = {2, 1} и а = { 0 , —2 }. Убедиться, что 03 = (ех, ез) — базис в множестве всех векторов на плоскости. Построить заданные векторы и найти разложение вектора а по базису *В.

странства. Вычислить координаты вектора а = —21 — к в базисе 03 = (в !, в2 , ез) и написать соответствующее разложение по ба­ зису.

1.39. Заданы векторы а = 21 + 3,], Ь = —3^ — 2 к, с = 1 + ^ — к. Найти:

а) координаты орта ао;

1,

»б) координаты вектора а — - Ь + с;

1.42.Найти длину и направляющие косинусы вектора р =

=За — 5Ь + с, если а = 41 + 7j + Зк, Ь = I + 2^ + к, с = 21 — 3^ — к.

1.43.Найти вектор х, коллинеарный вектору а = 1 — 2j - 2к, образующий с ортом j острый угол и имеющий длину |х| = 15.

1.44.Найти вектор х, образующий со всеми тремя базисными

ортами равные острые углы, если |х| = 2\/3.

1.45. Найти вектор х, образующий с ортом j угол 60°, с ортом

к — угол 120°, если |х| = 5\/2.

1.46. При каких значениях а и {3 векторы а = —21 + Зj + а к и Ь = /31 — 6j + 2 к коллинеарны?

1.47*. Найти вектор х, направленный по биссектрисе угла между

на основании (5) получаем А д = { —7, 4, 4} и, наконец, вновь используя формулу (4), находим координаты точки С:

х{ С ) = х{А )+ Х (а6 ) = -Ъ\ y (C )= y (A ) + Y (A d) = 4; z{C) = z(A) + Z{A&) = 3. D>

Пусть на прямой I заданы точки Mi, М2 и М, причем М\ ф Мг-' Рассмотрим векторы Mi ill и М М2. Так как они коллинеарны, то най­

дется такое действительное число А, что Щ | = А •ММ\. Число А называется отношением, в котором точка М делит направленный отре­

зок Mi М2 , причем оно положительно, если точка М находится внутри

отрезка М1М2 , отрицательно (и А ф —1), если М находится вне М1М2 , и равно 0, если М = Mi.

Пример 2 . Зная координаты точек Mi(a:i, у\, zi) и М г^г, у2, *2)

и отношение А, в котором точка М делит направленный отрезок М1М2,

1.50.Точка М { 1, —5, 5) задана своими координатами в декар­

в) 0 0 * = л и = ^ | ( * + ^ , У = ^ ( » - 0 )> к' = к

(предварительно убедиться, что *8 ' — прямоугольный базис).

16_______Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия

1.51. Даны три вершины /4(3, —4,7), В ( ~ 5,3, —2) и (7(1,2, —3) параллелограмма A B C D . Найти его четвертую вершину D , про­ тивоположную В .

1.52.Даны две смежные вершины параллелограмма А (—2 , 6 ),

В( 2 , 8 ) и точка пересечения его диагоналей М (2, 2). Найти две другие вершины.

1.53.Определить координаты вершин треугольника, если из­ вестны середины его сторон: К ( 2 , —4), М (6 , 1), N (—2, 3).

1.54.На оси абсцисс найти точку М , расстояние от которой до точки /4(3, —3) равно 5.

1.55.На оси ординат найти точку М , равноудаленную от точек Л(1, - 4 , 7) и В ( 5, 6 , - 5 ) .

1.56.Даны вершины треугольника /1(3, —1, 5), В ( 4, 2, —5) и

С(—4, 0, 3). Найти длину медианы, проведенной из вершины А.

1.57.Отрезок с концами в точках /1(3, —2 ) и В ( 6 , 4) разделен на три равные части. Найти координаты точек деления.

1.58.Определить координаты концов отрезка, который точками

С{2, 0, 2) и D {5, —2, 0) разделен на три равные части.

чало координат) с прямой, проведенной через точку D параллельно прямой О С . Найти координаты точки Е .

1.60*. Заданы точки А (2, 5, 2) и j9(14, 5, 4); (7 — точка пересе­ чения координатной плоскости О ху с прямой, проведенной через точку В параллельно прямой ОА. Найти координаты точки (7.

1.61. Даны вершины треугольника А(1, —1, —3), В (2 , 1, —2) и (7(—5, 2 , —6 ). Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А.

< Найдем разложение вектора АЁ п о базису из векторов АЙ и ~а6.

18 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Алгебраические свойства скалярного произведения: 1) ata2 = a2ai;

2 ) (Aax)a2 = A(aja2);

3) a(bi + b2) = abi + ab2.

Если векторы a! = {Xi, У , Z\) и a2 = {X 2, Y2, Z2} представлены своими координатами в прямоугольном базисе, то скалярное произведе­

Из этой формулы, в частности, следует формула для определения коси­ нуса угла между векторами

1.64. Взяв формулу (*) за определение скалярного произведе­ ния, доказать справедливость алгебраических свойств 1 ), 2 ), 3)

1.72.Найти угол, образованный единичными векторами ei и е2, если известно, что векторы а = ei + 2 е2 и b = 5ei — 4е2 перпендикулярны.

1.73.Найти угол а при вершине равнобедренного треуголь­ ника, зная, что медианы, проведенные из концов основания этого треугольника, взаимно перпендикулярны.

1.87. Лучи [ОА), [О В ) и [ОС) образуют попарно равные углы

7Г

величины —. Найти угол между биссектрисами углов /.А О В и

А.ВОС.

1.88.Найти координаты вектора х, коллинеарного вектору а =

={ 2 , 1 , —1 } и удовлетворяющего условию ах = 3.

1.89.Вектор х перпендикулярен векторам ах = (2, 3, —1} и аг = {1, —2, 3} и удовлетворяет условию х (2 1 —л+к) = —6 . Найти координаты х.

Если задан некоторый вектор е, то ортогональной составляющей произвольного вектора а вдоль вектора е называется такой вектор ае, который коллинеарен е, а разность а —ве перпендикулярна вектору е.

Аналогично, ортогональной составляющей вектора а е плоскости Р называется вектор аР, компланарный плоскости Р, причем разность

а- аР перпендикулярна этой плоскости.

1.90.Для вектора а = { —1, 2, 1 } найти ортогональную соста­ вляющую вдоль базисного орта 3 и ортогональную составляющую

вплоскости векторов 1 и к.

1.91. Заданы векторы е = {1, 1, 1 } и а = { — 1, 2, 1}. Найти:

а) ортогональную составляющую вектора а вдоль вектора е; б) ортогональную составляющую вектора а в плоскости Р , пер­

пендикулярной вектору е.

1.92.Заданы вершины треугольника А (—1, — 2,4), В { —4, —1 , 2)

иС (—5, 6 , —4); В В — его высота, проведенная через вершину В . Найти координаты точки £).

1.93*. Заданы векторы ех = { 1 , —2, 0 }, е2 = {1, 1, 1} и а = = { —2, 0, 1}. Найти ортогональную составляющую ае11е2 вектора в плоскости векторов ех и е?-

Если базис © = (ех, ег, ез) — прямоугольный, то координаты про­ извольного вектора а = Ххвх 4- Хге2 + Х 3е3 в этом базисе могут быть вычислены по формуле