Учебник по математике Ч1 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с

множество комплексных чисел, по модулю равных 1. Доказать, что относительно обычного умножения G — группа, А и В — ее подгруппы, причем G = А х В .

Пусть М — подмножество группы G, тогда символом (М) будем обо­ значать пересечение всех подгрупп, содержащих множество М. Это мно­ жество называют подгруппой, порожденной множеством М : (М) =

= Q Р. Множество (М) состоит в точности из тех элементов, ко-

MCP^G

торые можно записать через элементы из М, используя операции умно­ жения и взятия обратного элемента а- 1 . Говорят, что М порождает подгруппу Я , если (М) = Н.

4.123. В группе Z 12 с операцией сложения по модулю 12 найти указанную подгруппу: а) (3); б) (4, 9).

Группа G называется циклической, если существует элемент а 6 G такой, что (а) = G. При этом а называется образующим элементом группы G.

Пр им ер 4. Выяснить, какие элементы являются образующими эле­ ментами группы Zn.

<3 Пусть а € Zn. Докажем, что элемент а является образующим элемен­ том группы Zn в том и только том случае, если а взаимно просто с п. Предположим вначале, что а и п взаимно просты. Тогда ах + пу ~ 1

при некоторых х, у Е Z 2). Можно считать, что х > 0. Так как п — 0 в группе Zn, то в этой группе а + а + ... + а = 1. Таким образом, скла-

ч . . — ^ .. ..и '

х раз

дывая элемент а с самим собой несколько раз, можно получить элемент 1. Отсюда следует, что из а можно получить любой элемент группы Zn. Следовательно, а — образующий элемент. Теперь предположим, что а и п не являются взаимно простыми. Пусть d > 1 — их наибольший общий делитель. Построим последовательность элементов группы Zn, складывая элемент а с самим собой по модулю п : а, а + а, а + а + а, ...

Если а — образующий элемент, то построенная последовательность со­ держит все элементы группы Zn. Поэтому ka ~ I (mod п) при некотором к. Отсюда следует, что ка + tn = 1 при некотором t G Z. Однако это невозможно, так как ка + tn делится на d. >

В задачах 4.124-4.127 определить, какие элементы являются образующими в указанной группе.

4.124. Zio- 4.125. Z i2. 4.126. ZH. 4.127. Z i8.

4.128. Доказать, что Un — циклическая группа, и найти ее какой-нибудь образующий элемент (см. задачу 4.94).

4.129. Доказать, что всякая циклическая группа изоморфна либо группе Z, либо Ъп при некотором п Е N.

4.130. Доказать изоморфизм групп Zn и Un.

2)Теорема в теории чисел. Если d = НОД(а, 6), то существуют такие х, у €

ЕZ, что ах + by = d.

Пример 5. Доказать, что произведение примитивных корней 3-й и 4-й степени из 1 является примитивным корнем 12-й степени из 1.

<3 Пусть а — примитивный корень 3-й, а / — примитивный корень 4-й степени из 1. Если {afi)k = 1 для некоторого k е N, то (afi)3k = 1, и ввиду того, что а 3 = 1, получаем (Ззк —1. Следовательно, 4 13/с, а значит,

т -й и n-й степени из 1 является примитивным корнем mn-й сте­ пени из 1?

4.133. Доказать, что всякая подгруппа циклической группы является циклической.

Пусть G — группа с единицей ей а € G. Порядок о(а) элемента а —

это наименьшее натуральное п (если оно существует), для которого ап = е. Если ап ф е при всех п , то говорят, что а — элемент бесконечного порядка, и пишут о(а) = оо.

Порядок элемента обладает следующими свойствами: а) о(а) — делитель |G|, если |G] < оо;

б) o(g~lag) = о(а); в) о(а-1 ) = о(а); г) о(а) = |<о)|;

д) o(ba) = o(ab);

ТП

е) если о(а) = m и d\ m, то o(ad) = —;

а

ж) если НОД(А;, о(а)) = 1, то (ак) = (а) и о(ак) = о(а);

наименьшему общему кратному чисел о(аг), т. е. о(а) ~ HOK(o(ai), ..., о(ап)).

Пример 6. Найти порядки каждого из элементов группы ZQ.

<3 ZQ = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Порядком элемента а этой группы будет являться наименьшее натуральное число тптакое, что т а = 0. Очевидно, элемент 0 имеет порядок 1, т. в. о(0) = 1. Далее, наименьшее число ш, для ко­

торого га •1 = 0, равно 6, поэтому о(1) = 6. Рассуждая аналогично, получим: о(2) = 3, о(3) = 2, о(4) = 3, о(5) — 6. >

4.134. Доказать свойства а)-и) порядка элемента.

4.135. Доказать, что группа G порядка тъ является циклической в том и только в том случае, если в ней есть элемент порядка п.

степени 5П. Нетрудно видеть, что тождественное отображение множе­ ства {1, 2, ..., п} на себя является единицей в группе вп- Всякая подста­ новка группы £п может быть записана в каноническом, виде

стах, называется циклом (длины к) и коротко записывается следующим образом: (а^аг.. .а*) (запись цикла можно начинать с любого щ (г = = 1, 2, ..., к)). Всякая подстановка а может быть записана в виде произ­ ведения непересекающихся циклов, т.е. а = (ах, ..., а*)(/?х, . . А). ••

Цикл длины 2 называется транспозицией. Всякую подстановку мож­ но представить в виде произведения транспозиций. Если подстановка за­ писана в виде произведения непересекающихся циклов, то для предста­ вления ее в виде произведения транспозиций каждый из циклов нужно

в виде произведения непересекающихся циклов и в виде произведения транспозиций.

<3 Подстановка <т действует на элементы множества {1, 2, . . 8 } следу­ ющим образом: 1 6 —> 4 —> 1, 2 —)■ 5 -> 2, 3 8 3, 7 - * 7, поэтому в виде произведения циклов подстановка представляется следу­ ющим образом: 7Г = (164)(25) (38), а в виде произведения транспозиций:

7г = (14) (46) (25) (38). >

Пример 8 . Пусть а = (163)(25)(48), (3 = (142)(85). Вычислить а(5.

<3 Рассмотрим, как действует подстановка а(3 = (163)(25)(48) •(142)(85) на элементы { 1 , 2, ..., 8 }. Для этого, взяв элемент а € {1, 2, ..., 8 }, найдем его образ аа под действием а, а далее для аа найдем его образ

аар под действием (3 (а аа а<*/?), т.е. а аар. Начнем

с 1 : 1 А б Л б , б А ' з Л з , З Л 1 Л 4 , 4 А 8 Л 5 ,

задачу 4.99) находится по формуле х — а - 17 /?-1 . Следовательно, х =

= ((135)(2б))"1-(12)-(23675)-1 = (153)-(26)-(12)-(57632) = (176)(235).>

Пример 10. Найти порядок каждого из элементов группы S5 .

<3 Rce 120 элементов группы S5 имеют один из следующих видов: е (тождественная подстановка), (ab) (цикл длины 2 ), (abc) (цикл длины 3), (abed) (цикл длины 4), (abedf) (цикл длины 5), а также (ab)(cd) и

(abc)(df), где а, 6, с, d, / € {1, 2, 3, 4, 5}. Порядок элемента группы под­ становок, представленного в виде произведения непересекающихся ци­ клов, равен наименьшему общему кратному длин этих циклов (докажите

самостоятельно!). Следовательно, порядки элементов группы S5 равны: 1, 2, 3, 4, 5, 2, 6 . >

в) (123)(46).

4.161. Найти произведение подстановок, записанных в виде

рода, если с1е1.А = —1 (других значений с^.А принимать не может). Примерами движений 1-го рода служат параллельный перенос:

х' = х + р,

У1= У +Я

иповорот вокруг начала координат на угол а:

х—х соэ а —у вш а, у' = х вт а + у сое а.

Поворот на угол а вокруг точки (жо, Уо) задается формулами

х' = (х - жо) сова —(у - уо) эт а + хо, у' = (х - х0) эт а + (у - у0) соэ а + у0-

К движениям 1-го рода относится, в частности, симметрия относительно прямой.

Для движений плоскости имеют место утверждения:

1)всякое движение 1-го рода является произведением параллельного переноса и поворота вокруг наперед заданной точки;

2)всякое движение 1-го рода является либо параллельным перено­

сом, либо поворотом вокруг некоторой точки (теорема Шалл)]

3)всякое движение 1-го рода является произведением двух симме­ трий (относительно прямых), а движение 2-го рода — произведением трех симметрий;

4)всякое движение 2-го рода может быть представлено в виде про­ изведения симметрии относительно некоторой прямой и параллельного переноса вдоль этой прямой;

5)для любых точек А, В, А', В' € К2 таких, что АВ = А'В', существуют ровно два движения плоскости, переводящие А в А', а В

вВ'-, одно из них 1-го, а другое 2-го рода.

Аналогичным образом определяются движения трехмерного (уг. К3

К3) и п-мерного (<£>: 11п -> Яп) пространства.

Пусть Ф — фигура на плоскости или в пространстве. Группой дви­ жений (или группой самосовмещений) &(Ф) фигуры Ф называется мно­ жество всех движений </?, под действием которых фигура Ф взаимно од­ нозначно отображается на себя, т.е. <£>(Ф) = Ф.

В задачах 4.175-4.178 описать группу движений <?(Ф) фигуры Ф, представить группу (?(Ф) подстановками.

4.174**. Ф — правильный треугольник. 4.175. Ф — квадрат.

4.176. Ф — ромб, не являющийся квадратом.

4.177. Ф — правильный п -угольник (группа (7(Ф) в этом случае называется группой диэдра и обозначается Б п).

В задачах 4.175 и 4.180 найти порядок группы движений фи­ гуры.

4.178. Фигура — куб.

4.179. Фигура — правильный тетраэдр.

4.180. Доказать, что множество всех самосовмещений куба, оставляющих неподвижной некоторую фиксированную вершину куба, есть группа. Описать эту группу.

4.181**. Пусть (7 — группа движений плоскости. Какие эле­ менты группы С? имеют конечный порядок?

4.Фактор-группа. Пусть О — группа, Н — ее подгруппа. Для а (Е (3

определяются Н а = {/ш |к (Е Я } — правый смежный класс и аН =

= {ак\ Н € Я } — левый смежный класс группы С по подгруппе Я . Если и представлена в виде объединения попарно непересекающихся своих правых классов по Я :

с = и ^°H’

С*е/

то такое разбиение называется правым разложением группы (2 по под­ группе Я Множество {да |а € 1} называется множеством предста­ вителей смежных классов по Я . Аналогично определяется левое раз­ ложение группы (2 по подгруппе Я . Число смежных классов в каждом из разложений й по Н называется индексом подгруппы Я в группе (2.

Пример 11. Построить разложение группы 5з по подгруппе Н = = {е, (12)}.

<3 5з = {е, а, а 2, /?, а/З, а 2Р}, где а = (123), Р = (12). Нетрудно про­

верить, что Ра = а 2р. Построим правое и левое разложения группы 53 по подгруппе Я .

ние: (2 = Н е и Н а и Н а2.

Левые смежные классы: еН = Я , аН = а -{е, Р} = {а , аР }, а 2Н =

= а 2 •{е, Р} = { а 2, а 2Р]. Левое разложение: <3 = еН и аН и а 2Н. Нетрудно заметить, что Н а ф а Н , поэтому правое и левое разложе­

ния не совпадают. >

4.182**. Доказать, что любые два смежных класса (правых или левых) группы <7 по подгруппе Н либо не пересекаются, либо сов­ падают.

4.183* (Теорема Л агранж а). Доказать, что порядок и индекс подгруппы конечной группы являются делителями порядка самой группы.

4.184. Доказать, что если <7 — конечная группа, то |<7| делится на о(а) для каждого о € С*.

группы.

4.188. Ъ2 х 2^4. 4.189. Zp х Zр (р — простое). 4.190. Ърп (р — простое).

4.191. Сколько подгрупп из четырех элементов имеет группа 2^2 X ... X 2^2?

п раз

4.192. Доказать, что всякая группа порядка 6 изоморфна либо

4.194*. Доказать, что если С? — группа и |<7| = р2 (р — про­ стое), то С* — Ър2 или (7 = Zp х Zp.

4.195. Доказать, что подмножество К группы (7 является смеж­ ным классом (правым или левым) по некоторой подгруппе в том

сов по подгруппам Н\ и Н 2, если оно непусто, является смежным классом по подгруппе Н\ П Н 2.

4.197**. Разложить группу Z по подгруппе пЪ.

4.198. Найти пересечение смежных классов в группе Z:

Построить разложения группы С (правое и левое) по подгруппам

4.201. Доказать, что если Н — подгруппа группы (7 и д £ <7, то д~ 1Н д — тоже подгруппа.

4.202. Построить разложения группы Zlo в смежные классы по каждой из ее подгрупп.

4.203. Построить левое разложение группы А± по подгруппе {е, (123), (132)}.

Пусть Н и К — подгруппы группы (7 и д € (7. Двойным смежным классом Н дК называется множество {Ьдк |к € Я, к £ К }.