Учебник по математике Ч1 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с

4.38. Доказать, что транзитивное замыкание отношения сг — это наименьшее транзитивное отношение, содержащее сг в каче­ стве подмножества (или, что то же самое, пересечение всех тран­ зитивных отношений, содержащих а).

В задачах 4.39 и 4.40 найти транзитивное замыкание задан­ ных отношений:

4.39.х а у , если х = у — 1 (на множестве й);

4.40.х ау , если у = кх, где к — простое число или 1 (на множестве М).

4.41.Доказать следующие равенства для отношений параллель­ ности и перпендикулярности, заданных на множестве всех пря­ мых на плоскости (при этом считается, что любая прямая парал­

лельна самой себе):

1Г1 = ||, х - ]= х , |•|= х •± = ||, ||- ± = ± , х - ц = х .

Какие из этих равенств остаются справедливыми для прямых в пространстве?

4.42.На рис. 37 изображен граф отношения а . Построить графы отношений а ~ 1, сг2, а а ~ 1, а ' 1 а , а ь.

4.43.Какие линии нужно добавить к графу отношения сг, изо­ браженному на рис. 37, чтобы получился: а) граф рефлексив­

ного отношения; б) граф симметричного отноше­ ния; в) граф транзитивного отношения?

4.44. Доказать, что для любого отношения сг от­ ношения сг_1сг и сто--1 — симметричные.

В задачах 4.45-4.47 сг, т, р — отношения экви­ валентности на одном и том же множестве, сг V т

обозначает наименьшее отношение эквивалентности, содержащее сг и г. Доказать приведенные равенства.

4.45. сг V г = (сг и т)1. 4.46. р П (сг V т) = (р П т) V (р П т).

4.47.р V (сг П г) = (р V т) П (р V т).

4.48.Для двух данных отношений эквивалентности сг и т опре­ делить, что собой представляют классы отношений эквивалентно­ сти сг П т, а V т из задачи 4.45.

Два частично упорядоченных множества изоморфны, если между ними существует взаимно однозначное соответствие, сохраняющее от­ ношения порядка.

4.49.Перечислить все неизоморфные частично упорядоченные множества, состоящие из 2 или 3 элементов.

4.50.Рассмотрим конечное множество из п элементов. Сколько на этом множестве можно ввести:

а) различных бинарных отношений;

б) рефлексивных бинарных отношений;

172 Гл. 4. Элементы общей алгебры

в) симметричных бинарных отношений; г) антисимметричных бинарных отношений; д) отношений линейного порядка; е) отношений частичного порядка (п = 3);

ж) отношений эквивалентности (п = 3)?

4. Алгебраические операции и их свойства. Алгебраической опера­ цией на множестве А называется отображение А х А -> А. Если при ото­ бражении элементам а, Ъ€ А ставится в соответствие элемент с € А, то с называется произведением элементов а и Ь. Используется запись с = аЬ. Термин «произведение» носит условный характер: он может означать «сумму», «разность», «результат последовательного выполнения» (пре­

образований) и т.д. Произведение элементов а и Ь обозначают также а •Ь, а * Ь, а + Ь, а о Ь, а П Ь и т. д. Множество А, на котором задана операция *, принято обозначать (А, *).

Операцию на конечном множестве А = {аь аг, ..., а„} можно за­ дать таблицей Кэли, в которой на переселении строки элемента а* и столбца элемента а,- стоит элемент а* = щ * aj:

& п

Операция коммутативна, если а *Ь = Ь* а для всех а, Ъ. Операция

ассоциативна, если (а * Ь) * с — а * (Ь * с) для всех а, Ь, с.

Элемент и называется левой единицей, если и * а = а для всех а; правой единицей, если а * и = а для всех а; левым нулем, если и * а = и

для всех а; правым нулем, если а * и = и для всех а. Единица (или двусторонняя единица) — элемент, являющийся одновременно правой и левой единицей. Нуль (или двусторонний нуль) — элемент, являю­ щийся одновременно правым и левым нулем.

коммутативность и ассоциативность этой операции. Составить таблицу Кэли этой операции. Найти единицы и нули.

О Таблица Кэли имеет вид:

1 3 5 1 5

Взаимно однозначное отображение <£>, являющееся гомоморфизмом, называется изоморфизмом. Множества (А, *) и (В , о) изоморфны, если

существует изоморфизм между ними. В этом случае пишут (А, *) = = (В, о) или А = В.

Пример 12. Пусть Р (Х ) — множество всех подмножеств множе­

ства X . Доказать, что множества с операциями (Р (Х ), и) и (Р (Х ), П) изоморфны.

<3 Проверим, что отображением, осуществляющим изоморфизм, явля­ ется взятие дополнения. А именно, пусть ср(А) = А для А € Р {Х ). Ясно, что отображение цк Р(Х ) -» Р(Х ) взаимно однозначно. Наконец, ср(А и В) = А и В = АП В = Ч>(А) П ф(В), поэтому <£>— изоморфизм. £>

Пример 13. Изоморфны ли множества (Ъ, +) и (Ъ, *), если опера­ ция * определяется формулой а * Ь = а + Ь —2?

< Пусть е — единица в (Ъ, *). Тогда для всех элементов х этого множе­ ства выполняется равенство е * х = х, или е + х —2 = ж. Таким образом, е = 2. Это обстоятельство наводит на мысль, что изоморфизм множеств (й, +) и (й, *) получится, если к каждому элементу прибавлять 2. Про­

верим это. Пусть у. (Ъ, +) -» (Ъ, *) таково, что ср(х) = х + 2 для всех х. Ясно, что <£>взаимно однозначно. Кроме того,

ср(х + у) = х + у + 2 = (х + 2) + [у + 2) - 2 = (х + 2) * (у + 2) = <р(х) * <р(у).

Следовательно, (р — изоморфизм. >

4.71. Какие множества с заданными операциями из задач 4.53, 4.54, 4.67, 4.68 изоморфны?

4.72. Пусть М = [а, Ь]. Положим х Л у = ш т (з;, у), х V у =

=т а х (з;, у). Изоморфны ли (М, Л) и (М , V)?

4.73.На множестве Z целых чисел введена операция а * Ь =

=а + Ь + 3. Доказать, что (Ъ, *) = (Ъ, +).

4.74. На множестве М введем операцию х * у = { / х ъ + у3. Про­ верить, что (М, *) = (М, + ).

4.75. Изоморфны ли множества (Ъ, +) и (Ъ, •)?

Прямым произведением множеств А\, А2, ..., Ап с операциями

называется множество А\ х А2 х ... х Ап, в котором операция опреде­ ляется покомпонентно:

4.76.Выяснить, при каких условиях на множества (А*, •) толь­ ко что введенная операция в А\ х А2 х . .. х Ап будет: а) комму­ тативной; б) ассоциативной.

4.77.Какие элементы множества А\ х ... х Ап относительно введенной выше операции являются: а) (левыми, правыми) еди­

ницами; б) (левыми, правыми) нулями?

2. Группы. Множество G с операцией называется группой, если вы­ полняются условия:

(Г1) (àb)c = а(Ьс) для всех a, b, с € G;

(Г2) существует нейтральный (единичный) элемент е 6 G такой, что

ае = еа = а для всех a G G;

(ГЗ) для любого а 6 G существует b 6 G такое, что ab = Ьа — е. Элемент Ь называется обратным к а и обозначается а- 1 .

Пусть а — элемент группы G. Полагаем а0 = е и а " п = («n)_1 при п € N. Число элементов группы называется ее порядком и обозначается |G|. Если G — бесконечная группа, то пишем \G\ = оо.

Если операция группы является коммутативной, то группа называ­ ется коммутативной или абелевой.

В задачах 4.92-4.95 проверить, что следующие множества с заданной на них операцией, являются группами.

4.92.Множество Ш (Z, Q, С) с операцией сложения. Оно назы­ вается аддит ивной группой действительных (целых, рациональ­ ных, комплексных) чисел.

4.93.Множество Zn с операцией сложения по модулю п (группа

вычет ов).

4.94.Множество комплексных чисел Un, являющихся корнями n-й степени из единицы, с обычной операцией умножения ком­ плексных чисел (группа всех корней п-й ст епени из единицы).

4.95.Множество всех движений плоскости, переводящих пра­ вильный n-угольник в себя, относительно операции композиции. Эту группу обозначают D n (группа диэдра).

4.96.Доказать, что в любой группе G :

а) единичный элемент единственный;

б) для любого а £ G обратный элемент <2 - 1 единственный;

4.97*. Доказать, что если G — группа и а 2 = е для любого

а£ G, то G коммутативна.

4.98.Доказать, что во всякой группе каждое из уравнений ах =

=b, уа = b имеет единственное решение. Написать выражения х

иу через а и Ь.

Взадачах 4.99-4.101 а, 6 , с — известные элементы группы,

х— неизвестный элемент. Решить уравнения:

4.99. axb = с. 4.100. х~ 1а ~1 = 6. 4.101. ах ~ гЬ = с.

В задачах 4.102 и 4.103 доказать, что полугруппа S является группой в каждом из следующих случаев.

4.102*. Уравнения ах = 6 , уа = 6 имеют решения для любых

a, b Ç. S.

4.103. Уравнение ахЬ = с имеет решение для любых <2, 6 , с Е Я. 4.104. Пусть О — группа. Введем на С новую операцию, пола­

гая а * 6 = 6а. Доказать, что (С, *) — группа.

4.105. Проверить, что множество пар (а, 6 ), где а, Ь Е М и а ф Ф 0 , является группой, если операция задана следующим образом:

4.109. Показать, что множество всех дробно-линейных функ- ах -|- 2)

ций /(ж) = ---------, где а, 6 , с, (1Е Ш и а(1—Ь сф 0 , образует группу

сх + а

относительно операции суперпозиции. Является ли эта группа ком­ мутативной?

4.110. На множестве Я = {1, —1 , г, —г , к , —к } (элементы которого следует рассматривать как формальные символы) вво­ дится операция, при которой элементы 1 и — 1 действуют на осталь­

Н — группа (она называется группой кват ернионов). Построить таблицу Кэли умножения этой группы.

Прямым (или декартовым) произведением групп Ах, ..., Ап назы­ вается множество А\ х ... х Ап = {(ах, ..., ап) |ах 6 Ах, ..., ап € Ап} с операцией (ах, ..., ап)(6х, . • Ь„) = (ахбх, ..., апЬп). Если операция в каждой из групп А* (* = 1 , 2, . .. , п) — сложение, то говорят о прямой сумме групп и пишут А\ ф ... ф Ап.

4.111. Доказать, что если Ах, А2, ..., Ап — группы, то А\ х

гомоморфизм (определение гомоморфизма множеств с операцией

х) Эта операция представляет собой правило сложения скоростей в специ­

альной теории относительности.