Учебник по математике Ч1 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с

3.265. Написать выражения векторов нового базиса е'1? е'2, е'3 пространства С через векторы е ь е2, ез старого базиса, если со­ пряженный базис изменился следующим образом:

Г л а в а 4

ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ

§1. Бинарные отношения и алгебраические операции

1.Бинарные отношения и их свойства. Декартовым (или прямым) произведением множеств А\, Лг, . . Ап называется множество

А\ х Ач х ... х Ап — { (ах, аг, ... , ап) |(ах 6 А\, аг € А2, ... , ап € Ап)}.

Бинарным отношением а на множестве А называется подмноже­ ство множества А х А (а С А х А). Если элементы ж, у € А связаны отношением сг, то пишут (ж, у) £ сг или хау\ если не связаны, пишут (ж, у) £ сг или ж ф у.

Бинарное отношение сг рефлексивно, если для любого а € А имеет

(а, Ь) 6 сг и (6, с) 6 сг следует (а, с) € сг.

Пример 1. Выяснить, какими из основных свойств (рефлексив­ ность, транзитивность, симметричность, антисимметричность) обладает

отношение перпендикулярности (±), заданное на множестве всех пря­ мых на плоскости.

<] Отношение 1., заданное на множестве всех прямых на плоскости, не­ рефлексивно (говорят также: иррефлексивно), так как а / а для любой прямой а; симметрично, так как для любых прямых а и Ь из а ± Ь следует Ь _1 а; нетранзитивно (говорят также: интранзитивно), так как для любых прямых а, 6 и с на плоскости из условий а ± Ь и Ь ± с не следует а 1 с; неантисимметрично, так как и з а ± Ь и Ь 1 . а н е следует Ь = а. >

Пример 2. Доказать, что из условий рефлексивности и симметрич­ ности бинарного отношения не следует его транзитивность.

<3 Для доказательства достаточно привести пример рефлексивного и сим­ метричного бинарного отношения, не являющегося транзитивным. В ка­ честве примера рассмотрим бинарное отношение сг, заданное на множе­ стве К следующим образом: ааЪ |а —Ь| ^ 1. Отношение сг рефлек­

сивно, так как асга для любого а Е К (ввиду того, что |а —о| = 0 ^ 1), и симметрично, так как |а —Ц = \Ь—а| для любых а, Ь 6 К. Однако сг не является транзитивным,, так как 1сг2, 2сгЗ, но 1 фЪ. >

В задачах 4.1 и 4.2 выписать все элементы декартова произве­ дения указанных множеств.

В задачах 4.3-4.9 определить, какими из основных свойств (ре­ флексивность, транзитивность, симметричность, антисимметрич­ ность) обладают отношения 0 {, заданные на множестве натураль­ ных чисел:

4.3.гасгхп, если ш и п н е имеют общих простых делителей.

4.4.тсг2п, если т делится на п2.

4.5.тсгзп, если т 2 = п.

4.6.тсг4П, если т < п.

4.7.7ПСГ5П, если т ^ п.

4.8.тсгбп, если т —п = /г, где /г — фиксированное целое число.

4.9.ГПСГ7П, если т — п делится на А; (А; — фиксированное целое

число).

Если множество Л конечно, т.е. А = {а^ ..., ап}, то каждому би­ нарному отношению сг С А х Л можно сопоставить матрицу размера гг х гг, называемую матрицей отношения. в которой на пересечении г-й строки и 3~го столбца стоит 1, если (а*, а^) 6 ст, и 0 в противном случае.

4.10. Пусть А — конечное множество, о С А х А — бинарное отношение на А. Что собой представляет матрица отношения о в случае, если оно:

а) рефлексивно; б) симметрично; в) антисимметрично?

4.11*. Доказать независимость друг от друга свойств бинарного отношения: «быть рефлексивным», «быть симметричным», «быть транзитивным».

2. Виды бинарных отношений. Бинарное отношение называется от­ ношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пусть сг — отношение эквивалентности на множестве Л. Для каж­ дого а 6 Л определим класс эквивалентности К (а) элемента а, по­ лагая К (а) =■ {х € Л |(х, а) £ сг}. Фактор-множеством множества А по отношению эквивалентности сг (обозначается: А/а) называется множество всех классов эквивалентности Аа: А/ а — {Л а |а £ 1} (I — некоторое множество индексов). Выберем в каждом классе эквивалент­

ности Аа по одному элементу аа. Множество {аа |а 6 /} называется множеством представителей классов эквивалентности, а сами эле­ менты аа — представителями классов. В качестве представителя класса может быть выбран любой его элемент.

Пример 3. Пусть А — множество всех прямых на плоскости. На А введено отношение сг такое, что ааЪ, если а||Ь (считается, что а||а для

любой а € Л). Доказать, что сг — отношение эквивалентности. Найти

166 Гл. 4. Элементы общей алгебры

фактор-множество А/сг и какое-либо множество представителей классов эквивалентности.

< Отношение а является рефлексивным, симметричным и транзитив­ ным (проверяется непосредственно). Следовательно, а является отно­ шением эквивалентности. Зафиксируем на плоскости какую-либо точку О. Каждая прямая а, проходящая через точку О, задает класс эквива­ лентности, в который входят все прямые, параллельные а. Эти классы образуют А/а. Множество прямых, проходящих через точку О, является множеством представителей классов эквивалентности. >

Бинарное отношение называется отношением порядка (или отно­ шением частичного порядка), если оно рефлексивно, транзитивно и антисимметрично.

Бинарное отношение а дихотомично, если для любых а, Ь € А (а, Ь) € о или (6, а) 6 а. Дихотомичное отношение частичного порядка называется отношением линейного порядка.

Множество, на котором задано отношение частичного (или линей­ ного) порядка, называется частично (или линейно) упорядоченным.

мальный элемент — такой элемент и, что для любого х € Р из х ^ и следует х = щ наибольший элемент — такой элемент р, что х ^ р для любого х 6 Р; наименьший элемент — такой элемент д, что х ^ д для любого х £ Р.

4.12. Какие из отношений сг; задач 4.3-4.9 являются отноше­ ниями эквивалентности, а какие отношениями порядка?

В задачах 4.13-4.16 бинарные отношения заданы на множе­ стве всех бесконечных последовательностей натуральных чисел.

представителей классов эквивалентности.

4.18**. Доказать, что всякое отношение эквивалентности о на множестве А определяет разбиение множества А на непересека­ ющиеся подмножества. Наоборот, всякое разбиение множества А есть разбиение на классы некоторого отношения эквивалент­ ности о.

Пусть сг, т С А х А — бинарные отношения. Включение г С сг означает, что все пары, принадлежащие т, принадлежат и сг.

4.19. Рассмотрим множество всевозможных бинарных отноше­ ний на множестве А х А, частично упорядоченное по включению С. Ответьте на поставленные вопросы. В пунктах д) и е) огра­ ничьтесь случаем конечного множества.

а) Какое бинарное отношение является наибольшим? б) Какое бинарное отношение является наименьшим?

в) Какое отношение эквивалентности является наибольшим (наименьшим)? Каковы разбиения на классы наибольшего (наи­ меньшего) отношений эквивалентности?

г) Существует ли наименьшее отношение порядка? д) Существует ли наибольшее отношение порядка? е) Существует ли максимальное отношение порядка?

4.20. Отношение а на множестве действительных чисел опре­ деляется правилом: (ж, у) £ о х — у £ Z. Доказать, что о — от­ ношение эквивалентности. Что представляют собой классы экви­ валентности этого отношения?

4.21. Пусть М — множество всех функций, определенных на

4.22.Доказать, что в частично упорядоченном множестве наи­ больший элемент является максимальным. Привести пример ча­ стично упорядоченного множества, в котором максимальный эле­ мент не является наибольшим.

4.23.На множестве М\ {1 } введем отношение R : aR b , если b делится на а без остатка. Доказать, что R — частичный порядок. Есть ли в данном множестве наибольший, наименьший элемент? Есть ли в нем максимальные и минимальные элементы (относи­

тельно R)1

Графической интерпретацией на плоскости отношения сг, заданного на конечном множестве А —{ai, аг, ..., ап} (иначе графом отношения) называется диаграмма, в которой элементы oi, а2, ..., ап изображаются точками, обозначаемых теми же буквами, что и элементы множества А, при этом направленная стрелка из а* в а, изображается, если (a*, dj) £ сг.

Например, отношение сг = {(1, 2), (2, 3), (1, 4), (3, 3)} на множестве

А = {1, 2, 3, 4, 5} изображается следующим графом (см. рис. 35). Если отношение сг симметрично, то вместо двух направленных ребер

(a, b) и (Ь, а) обычно рисуют одно (а, b) без направления.

При изображении графа отношения порядка, заданного на множестве X , при х < у точку х располагают ниже точки у. Если имеются линии от

х к у и от у к 2 , то линию, соединяющую х и 2 , не рисуют. Аналогично поступают и для более длинных цепочек элементов.

{а, Ь, с}

Пример 4. Построить граф отношения включения С на множестве всех подмножеств множества {о, Ь, с}.

< Множество всех подмножеств множества {о, Ь, с} содержит восемь эле­

ментов: 0 , {а}, {&}, {с}, {а, 6}, {о, с}, { Ь, с}, {а, 6, с}. В соответствии с замечанием 2 в цепочках включений не изображаем лишние ребра. Так, 0 С {&} С {а, Ь} С {а, Ь, с}, но линии от 0 к {а, Ь\ и {а, &, с} опускаем. Полученный граф отношения изображен на рис. 36. >

4.24. Пусть А = {1, 2, . . 1 0 } , Я — отношение делимости на множестве А, введенное в задаче 4.23. Построить граф этого отно­ шения. Найти максимальные и минимальные элементы А (отно­ сительно Я ).

4.25. Пусть А = {3, 4, ..., 10}. Введем отношение сг, считая, что для а, Ь € А ааЬ, если существует некоторое с £ А такое, что а и Ь делятся на с без остатка. Построить граф этого отношения.

4.26*. Доказать, что всякий частичный порядок т на конечном множестве может быть продолжен до линейного (т. е. существует

а* < а[ для некоторого г, либо а* = а[ для всех г.

Порядок ^ на множестве А называется лексикографическим (по та­ кому принципу упорядочены слова в словаре).

4.27. Доказать, что отношение на множестве А = А\ х ... х А п является отношением частичного порядка.

4.28. Доказать, что отношение ^ на множестве А = А\ х ... х А п является отношением частичного порядка.

4.29.Доказать, что если все А{ линейно упорядочены, то А относительно отношения -< также линейно упорядочено.

4.30.Построить графы отношений из задач 4.27 и 4.28 для

множества А\ х А2, где А\ = {а, Ь, с |a < b < с}, А2 = {u, v |и <

<г;}.

3.Операции над бинарными отношениями. Пусть сг, г С А х А — бинарные отношения. Так как бинарные отношения являются подмно­ жествами множества А х А, то можно брать их пересечение а Пт, объ­ единение сг U г и разность <т\т.

Обратным отношением к бинарному отношению а на множестве А называется отношение а -1 = {(у, х) |(х, у) € и}.

Противоположным отношением к бинарному отношению а на мно­ жестве А называется отношение а ~ (А х А да. Очевидно, (а, Ь) € а

(а, Ь) £ а.

Произведением бинарных отношений а и т называется отношение ат = {(ж, у) \3z: (ж, z) € а , (z, у) 6 г}.

Обозначим через А отношение равенства на А, т. е. А = {(а, а) |а €

еЛ } .

4.31.Доказать следующие свойства операций над бинарными отношениями:

а) (U/°aV = U(Pa<r); б) (flPa)cr с f)(/0Qcr).

С следующие свойства бинарных отношений: а) рефлексивность; б) симметричность; в) транзитивность; г) антисимметричность.

Пример 5. Выяснить, является ли транзитивным отношение, ко­ торое одновременно симметрично и антисимметрично.

< Пусть а — симметричное и антисимметричное отношение. Симме­ тричность отношения а равносильна условию <т-1 = а, а антисимме­ тричность — условию а П сг-1 С А. Из этих двух условий следует, что а С А. Наконец, а 2 = а а С Аа = а, поэтому а транзитивно. >

Пример 6. Найти какое-нибудь транзитивное отношение а такое, что а 2 С а (т. е. а 2 С а и а 2 ф а).

<Надо найти элементы а, b такие, что (а, 6) € <т, но не существует такого ж, для которого (а, ж), (ж, b) € а. Примером может служить отношение

<на множестве целых чисел. Оно транзитивно и для него (3, 4) € сг, но

(3, 4) $ а 2. >

Обозначим через fl универсальное отношение на множестве A: ft = = А х А.

что сгД = а. Нетрудно видеть, что если в а есть хотя бы один элемент (а, &), то отношение П<тП содержит все пары (ж, у), где ж, у € А. Таким образом,

если а ф 0 , если а ~ 0 .

Пример 8. Доказать, что если а~ 1 С а, то <т~1 = ст.

< Так как а~ 1 С <т, то (а~1)~1 С сг~1, т.е. а С сг-1 . Следовательно, о--1 = ст. t>

4.33. а) Будет ли пересечение отношений эквивалентности также являться отношением эквивалентности?

б) Будет ли объединение отношений эквивалентности также являться отношением эквивалентности?

в) Будет ли пересечение отношений порядка также являться отношением порядка?

г) Будет ли объединение отношений порядка также являться отношением порядка?

д) Будет ли произведение двух отношений эквивалентности также являться отношением эквивалентности?

е) Будет ли произведение двух отношений порядка также яв­ ляться отношением порядка?

Транзитивным замыканием а 1 бинарного отношения а на множе­ стве А называется наименьшее транзитивное отношение, содержащее сг.

4.34. Доказать следующие свойства транзитивного замыкания: а) сг* — пересечение всех транзитивных отношений, содержа­

щих сг;

Взадачах 4.35-4.37 доказать, что для любых отношений р , сг,

тна одном и том же множестве справедливы указанные равенства либо включения.

отношений, для которых р (а Пт) Ф р а П рт.

Пример 9. Пусть а — отношение на множестве М, определенное условием aab |а —b\ = 1. Что из себя представляет транзитивное замыкание отношения а ?

< Условие (а, Ь) € <ть равносильно существованию элементов х\, жг, •••

..., ж„ таких, что |a-xi| = |жг —жг| = ... = |ж„ —b\ = 1. Таким образом, (а, Ь) € (У1 в том и только том случае, когда а —Ь € Z. t>