Учебник по математике Ч1 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с

Так как А1 и Л2 отличны от нуля, то по каждой из новых переменных х' и у' можно выделить полный квадрат:

Заменой переменных

соответствующей сдвигу по каждой из координатных осей, получим

8х"2 - 2у"2 - 8 = 0, или х"2 - ^у"2 = 1.

Последнее уравнение есть каноническое уравнение гиперболы. Резуль­ тирующее преобразование координат имеет вид

х= + у") + 2.

аканоническая система координат — (О1, в1, е2), где

В задачах 3.226-3.231 написать каноническое уравнение кри­ вой второго порядка, определить ее тип и найти каноническую систему координат.

3.226. 9х2 —4ху + 6у2 + 16а; —8у — 2 = 0. 3.227. х2 —2ху + у2 —10а; —6т/ + 25 = 0. 3.228. 5а;2 + 12а;у - 22а; - 12у - 19 = 0.

3.229. 4а;2 — 4ху + у2 —6а; + Зу —4 = 0. 3.230. 2а;2 + 4ху + Ъу2 —6а; —8у — 1 = 0.

152 Гл. 3. Линейная алгебра

3.231. х2 1- 4ху + 4у2 —4ж — Зг/ — 7 = 0.

3.232. Кривая второго порядка определяется уравнением:

Множество точек евклидова пространства Е3, удовлетворяющих урав­ нению (3), называется поверхностью второго порядка. Каноническое уравнение (4) в этом случае принимает один из следующих видов (в пе­ ременных х , у, г):

Поверхности типов 3)-5) являются цилиндрами (эллиптическим, ги­ перболическим и т. д. в зависимости от типа кривой в сечении плоско­ стью 2 = 0).

Пример 4. Написать каноническое уравнение поверхности второго порядка

4ж2 4- 4у2 —8г2 —Юху 4- 4уг 4- 4гх - 16ж - 16у —8г 4* 72 = 0,

определить ее тип и найти каноническую систему координат.

< Матрица квадратичной части многочлена второй степени равна

Ее собственные числа: Ах = 9, А2 = —9, Аз = 0, а собственные векторы:

Преобразование сдвига необходимо выполнить лишь по переменной г 1:

откуда окончательно получаем каноническое уравнение гиперболического параболоида

а каноническая система координат — (О', ех, е2, ез), где

- = ( А ’ - А ’ 0) ’

В задачах 3.233-3.240 написать каноническое уравнение по­ верхности второго порядка, определить ее тип и найти канониче­ скую систему координат.

3.233. 7х2 + 6у2 + 5г2 — 4ху — 4уг — 6а; — 24у + 18г + 30 = 0. 3.234. 2х2—7у2—4г2+4а;у+20уг—16га;+60а;—12у+12г—90 = 0. 3.235. 2х2 + 2у2 - 5^г2 + 2ху - 2х - 4у - 4г + 2 = 0.

3.236. 2а;2 + 2у2 + З^г2 + 4а;у + 2уг + 2га; — 4х + 6у — 2г + 3 = 0.

3.237. 4х2 + у2 + 4г2 — 4ху + 4уг — 8га: — 28а; + 2у + 16г + 45 = 0. 3.238. 2а;2 + 5у2 + 2г2 —2ху — 4хг + 2уг + 2а; — 10у — 2г —1 = 0. 3.239. х 2 + 5у2 + х2 4- 2ху + 2уг + 6га; — 2а; + 6у + 2г = 0.

3.240. а;2 — 2у2 + г2 4- 4а;у + 4уг — Юга; 4- 2а; 4- 4у — Юг — 1 = 0.

(здесь предполагается суммирование по г, а ж* обозначает г'-ю коорди­

нату вектора х в базисе е'1} . . е'п).

Приведенные выше рассуждения показывают, что вектор можно рас­

сматривать как совокупность наборов чисел (ж1, ж2, жп), задан­ ных в каждом базисе и изменяющихся при переходе от базиса к базису по закону (1).

Линейная форма. Напомним, что линейной формой называется отображение а: £ —> Е, линейное в обычном смысле, т.е. удовлетворяю­ щее равенствам а(х + у) = а(х) + а(у) и а(Ах) = Аа(х) при всех х б £ , А £ 1. Если 23 = (ех, ..., еп) — базис пространства £, то положим а* = а(е*). Ввиду линейности а: имеем:

а(х) = а(ж1е1 -|-.. .+жпеп) = ж1о;(е1) + . . .+жпа(еп) = а ц ж ^ . . .+ а пхп.

В сокращенных обозначениях суммирования получаем: а(х) = щ х%. Итак, линейная форма в каждом базисе задается строчкой (« 1, с*2 >..., а„).

Пусть 03' = (е'15 ..., е^) — другой базис пространства С. Тогда, по определению матрицы перехода,

Отсюда а*' = а(е*») = а(я£,е{) = я^а(е{) = я5»а*, т.е.

Определение. Пусть в каждом базисе 03 линейного пространства Сп для некоторых неотрицательных чисел р, д задан упорядоченный

набор Т из пр+ч элементов € М (или С), где индексы изменяются

от 1 до п. Тогда Т — (Т^1"^4) называется р раз ковариантным и д раз контравариантным тензором (или тензором типа (р, д)), если при переходе от базиса 03 к базису 03' числа изменяются по закону

(Напомним, что правая часть этого равенства представляет собой сумму по индексам ..., гр, Числа Т3^ " ^ называются компонен­ тами (или координатами) тензора Т.

Замечание 1. Формулы (4) можно интерпретировать как незави­ симость тензора от выбора базиса в линейном пространстве.

Замечание 2. Формула (1) получается из общей формулы (4) при

р= 0, 9 = 1 , поэтому вектор можно рассматривать как тензор типа

Пример 1. Выписать все слагаемые, описывающие изменение ко­ ординат тензора А'£ в двумерном пространстве С2.

< Из формул (4) получаем: А\? = Р-Щ в^А1 . Так как п = 2, то

Пр и м е р 2. Доказать, что линейный оператор можно рассматривать как тензор типа (1, 1).

<Пусть А: С, —УС, — линейный оператор и ||а*|— его матрица в базисе

в1, ..., еп. Требуется доказать, что таблица ||а*|при переходе к другому

базису меняется по закону (1). Воспользуемся тем, что А' —5 _1А5, где 5 — матрица перехода, а А и А' — матрицы оператора в старом и новом базисах. Тогда

4 = £ ( 5 - 1 >‘' ; (л > у (5 >и' - 3 4 4 = ^ 4 4

г,з

что и требовалось доказать. >

Пример 3. Пусть А: С х С -» С — линейное по каждому аргументу отображение, т. е. отображение, удовлетворяющее условиям

при всех х, у, г 6 £, А € М. Доказать, что А — тензор. Какого типа этот тензор?

< Пусть в1, ..., еп — базис пространства С. Разложим вектор А(е», е^) по этому базису: А(е*, е^) = а^ ек. Докажем, что (а^) — тензор типа

(2, 1). Действительно, в новом базисе А(е^, еу) = а ^ ,е к>, а значит,

а^-,е*» = А(е*/, е,-/) = А(я|,е<} а^е,-) = 4в^,А(е*, е,-) = з\,83г а § е к.

ковектор (линейная форма). Тогда А = а ® х — тензор типа (1, 1), т.е. линейный оператор. Выяснить, как действует оператор А на произволь­ ный вектор у € С.

< Пусть ||а}|— матрица оператора А. Тогда а*- = щ х г, а значит,

Таким образом, (а ® х)у = а(у)х. >

какой-либо верхний и какой-либо нижний индексы, например, ^1 и 1\. Тогда можно построить тензор типа (р —1, д —1), полагая в каждом базисе

(в правой части — суммирование по к). Этот тензор называется сверт­ кой тензора Т по индексам 1\,

Если Т = Т,^*, то сверткой тензора Т по индексам $ и т является

тензор Щк = Ту'* (суммирование по индексу ,;).

Тензор типа (0, 0) — это инвариант, т. е. число, принимающее одно и то же значение в каждом базисе пространства С.

Пусть а*- — линейный оператор. Произведем сворачивание этого тен­ зора по индексам г и j, т.е. положим

Ь = а\(= а} + а\ + ... + а£).

Тогда Ь будет являться тензором типа (0, 0), т.е. инвариантом. Число Ь — это сумма диагональных элементов, т. е. след матрицы

||а*||. Отсюда вывод: след А матрицы А = ||а*|линейного оператора

не зависит от базиса пространства С. Пусть

61. = / 1} 0СЛИ г = ^

*\ 0, если i ф

трица тензора д*- в любом базисе является единичной матрицей Е. Если

дельту Кронекера интерпретировать как линейный оператор Д, то это будет тождественный оператор, т. е. А х = х для всех векторов х.