Учебник по математике Ч1 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с

—2х\ ~ 2x2 ~ Зхз = 0.

Фундаментальная система решений состоит из одного вектора Е\

— (2, 1, —2)т . Аналогично, при Л = 1 система (5) принимает вид

(А -Е )Х = | 0 1 0| Ы = [ 0 |, или £

Из этой системы находим второй собственный вектор Е 2 = (1, 0, - 1 ) т . Наконец, при А = —1 из системы

(Л + Е ]х = = (о)’ ИЛИ 11+3X2 = о!

находим третий собственный вектор Е3 = (0, 0, 1)т .

Найденные векторы Е\, Е 2, Е$ образуют искомый базис, в котором матрица А линейного преобразования имеет следующий диагональный вид:

'2 0 0^

В задачах 3.172-3.179 выяснить, какие из заданных матриц линейных операторов можно диагонализировать переходом к но­ вому базису. Найти этот базис и соответствующую ему диагональ­

3.180*. Вычислить Ат , если:

1 1 а) А = 0 2 ; б)

Вычислить:

Матрица А самосопряженного оператора всегда приводится к диаго­ нальному виду. При этом, используя понятие унитарного оператора, ее можно представить в виде

А = иВ\] -1

где I/ — матрица унитарного оператора, осуществляющего переход от исходного базиса к базису из собственных векторов оператора А, а Ю— диагональная матрица вида (7).

Найти ортонормированный базис из собственных векторов и матрицу в этом базисе для линейного оператора, заданного в не­ котором ортонормированном базисе матрицей А (искомый базис определен неоднозначно):

Для данной матрицы А найти диагональную матрицу £> и уни­ тарную (ортогональную) матрицу и такие, что А = и и и ~ 1:

§3. Билинейные и квадратичные формы

1.Линейные формы. Говорят, что в действительном линейном пр странстве £ задана линейная форма, если каждому вектору х € £ поста­ влено в соответствие число /(х ), причем выполнены условия

введены операции сложения и умножения на число следующим образом:

деляет линейную форму;

данная на действительном линейном пространстве £, называется били­ нейной формой, если при фиксированном у она является линейной фор­ мой по х, а при фиксированном х — линейной формой по у. Бк^пинейная форма называется симметрической, если А(х, у) = А(у, х), х, у 6 £. Если в пространстве £ п фиксирован некоторый базис 03 = (е^ ..., еп), то матрица А = (ау), Оу = А(е*, е; ), называется матрицей билиней­ ной формы А(х, у) в базисе 03.

Доказать, что в пространстве £ функция А(х, у) является би­ линейной формой:

3.199. А(х, у) = /1 (х)/2(у), где /х, /2 — линейные формы в £ .

ь ь

3.200. А(х, у) = / / К (в , 1)х(з)у(Ь) ё з М, где £ = С[а>6], х =

аа

=х(1) в С[агц, у = 2/(4) е С[а>ь], К (в, Ь) — некоторая непрерыв­

ная функция двух переменных.

Впространстве Е п задана билинейная форма А(х, у) в базисе

95.Найти ее матрицу в базисе 05', если:

3.205. п = 4, А (х, у) = х гу2 + х 2уз + £зУ4 ,

3.206. п = 2, А(х, у) = х\у1 + Х1у2 + х2у\ - х 2у2,

3.207. Доказать, что скалярное произведение (х, у) в евклидо­ вом пространстве £ является билинейной формой.

3. Квадратичные формы. Пусть А(х, у) — симметрическая билиней­ ная форма. Форма А(х, х), которая получается из А(х, у), если поло­ жить у = х, называется квадратичной. При этом А(х, у) называется

билинейной формой, полярной к квадратичной форме А(х, х).

Если в действительном линейном пространстве Сп фиксирован не­ который базис 95 = (в1, ..., еп), то квадратичная форма А(х, х) в этом базисе имеет вид

где А = (а^) ;— матрица квадратичной формы и х = ж ^ + ... + хпе п. Пусть в некотором базисе выражение (1) квадратичной формы не

Тогда выражение (2) называется каноническим видом квадратичной формы. В частности, если А* = ±1, 0, г = 1, 2, ..., п, то получаем нормальный вид квадратичной формы А(х, х).

Метод Лагранжа выделения полных квадратов. Пусть квадратичная форма А(х, х) в базисе 95 имеет вид (1). Если все коэф­

бы одно произведение, например 2а12Ж1Ж2. Выполним преобразование базиса, при котором координаты векторов в старом и новом базисах свя­ заны формулами

Х\ = ж'х + х'2,

предположению, ац = а22 = 0 , то коэффициент при х[ отличен от нуля. Таким образом, всегда найдется такой базис 03, в котором в записи

(1) хотя бы один коэффициент при квадрате отличен от нуля.

1 В дальнейшем считаем, что ац ф 0. (Если ац = 0 , то отличен от нуля коэффициент при квадрате какой-нибудь другой координаты, и к рассматриваемому случаю можно прийти, иначе занумеровав векторы ех, е2, ..., еп, что также является некоторым преобразованием базиса.)

Рассмотрим часть квадратичной формы, содержащую жх, т. е.

сгх = ац ж2 + 2а12Ж1Ж2 + . . . + 2а1„Ж1Жп-

Дополним эту сумму до полного квадрата:

(Л = — (ацЖ1 + ... + а1„ж„ )2 - 7 ,

ац

где 7 есть алгебраическая сумма членов, не зависящих от х\. Если теперь сделать замену

х[ = а п х1 + ... + а1„жп,

х [ = х ^ г = 2, . . . , п ,

то квадратичная форма в новом базисе примет вид

является квадратичной формой в Сп-\ . Далее рассуждения повторяются для квадратичной формы ^ ( х , х), и т.д.

Пример 1. Методом Лагранжа привести к каноническому виду ква­ дратичную форму

А(х, х) = 2ж1Ж2 + 4ж1жз - х2 —8Ж3.

<3 1-е преобразование: Ж1 = х2, Х2 = х[, жз = х'3. Тогда получим

А = -х'^ + 2х[х2 -Ь 4х2х'3 —8х'32.

ж3 . О

Метод собственных векторов. Будем рассматривать ква­ дратичную форму (1) в евклидовом пространстве Йп. Так как ее ма­

трица А = (а^) симметрична, то она может быть представлена в виде

А = 1Ю ит , где В — диагональная матрица, на диагонали которой стоят собственные числа матрицы А, а и — ортогональная матрица (см. пп. 3 и 4 §2). Столбцы матрицы и являются координатами неко­

торого ортонормированного базиса 9$' = (ех, ..., е„), в котором матрица А имеет диагональный вид В , и, следовательно, квадратичная форма — искомый канонический вид. Соответствующее преобразование коорди­ нат определяется соотношением

Пример 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее ква­ дратичную форму А(х, х) = 6 x 1 + + 7 х 3 —4 х х х 2 + 4 х х х $ , заданную

в евклидовом пространстве К3, к каноническому виду. Написать этот канонический вид.

<3 Матрица квадратичной формы имеет вид

(Обратить внимание, как получаются элементы (г ф .?) из явного

вида квадратичной формы!) Собственные числа этой матрицы суть Ах = = 3, Аг = 6, Аз = 9. Соответствующие ортонормированные собственные

векторы:

и, следовательно,

3.208. Доказать, что всякая квадратичная форма А(х, х) в ев­ клидовом пространстве £п может быть записана в виде А(х, х) =

нозначно определяется своей квадратичной формой А(х, х).

Методом Лагранжа найти нормальный вид и невырожденное линейное преобразование, приводящее к этому виду, для следую­ щих квадратичных форм:

3.210. х\ + 5^2 — 4а:2 + 2х\х2 —4х\хз.

3.211. х\х2 + х 2х 3 + хзх\.

3.212. 4а:2 + х\ + ^з —4x1^2 + 4x1^3 ~ За^жз-

Найти ортогональное преобразование, приводящее следующие формы к каноническому виду, и написать этот канонический вид:

3.213. 11а;2 + ба:^ + 2а:2 + 16а:1а:2 + 4а:ха:з — 20а:2Жз- 3.214. х\ + х 2 + 5а;2 — 6x 1x 2 + 2а:1а:з — 2x 2X3. 3.215. х\ + х\ + ж2 + 4а;1а;2 + 4а;1а;з + 4а;2Жз-

3.216. 17x1 + Ых^ + На:2 — 4а:ха:2 — 4а;1а;з — 8x 2x 3.