Учебник по математике Ч1 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с

Доказать операторное равенство Dn = О (О — нулевой оператор:

Ох = 0).

3.111. В пространстве V4 задано отображение 1

A p(t) = J K (t, т)р(т) dr,

о

где К (t, т) — многочлен от двух переменных, степень которого по t не превосходит 3. Доказать, что А — линейный оператор

линейный оператор, и найти его матрицу в базисе 1 , t, t2, £3. 3.113. В пространстве функций, дифференцируемых на всей

^ d

оси, заданы оператор дифференцирования D = — и оператор А = dt

— ext умножения на функцию eXt. Проверить равенство DA —

AD = ЛА.

В задачах 3.114-3.119 требуется установить, какие из задан­ ных линейных операторов в V3 являются невырожденными, и найти для них явный вид обратных операторов (е — фиксиро­ ванный вектор единичной длины, а х = xi + у} + 2k).

3.114. А х = Лх, Л — фиксированное число.

являются невырожденными, и найти явный вид обратных опе­ раторов:

называется ядром оператора А. Образ и ядро линейного оператора явля­ ются подпространствами в С. При этом размерность образа гА = dimTA

Отсюда следует, что ядро NA совпадает с подпространством решений однородной системы (3), т.е. дефект оператора А равен пА = п - гА = = 3 - 2 = 1 , а в качестве базиса в МА может быть выбрана фундамен-

( г

тальная система решений системы (3), например, Е = \ —1 V 1,

3.126. А х = (2х\ — Х2 — хз, х\ - 2x2 + х$, х\ + Х2 — 2х$). 3.127. А х = (ях + Х2 + х 3, х\ + х 2 + хз, х\ + х 2 + х 3).

3.128. Доказать, что оператор А невырожденный тогда и только тогда, когда его дефект равен нулю, а следовательно, ранг совпа­ дает с размерностью пространства.

2. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора.

Пусть число А и вектор х € £, х ф 0, таковы, что

Тогда число А называется собственным числом линейного оператора А, а вектор х — собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному числу А.

В конечномерном пространстве Сп векторное равенство (4) эквива­

Отсюда следует, что число А есть собственное число оператора А в том и только том случае, когда det (А —АЕ) = 0, т. е. А есть корень мно­

гочлена р(А) = det (А —\Е), называемого характеристическим много­ членом оператора А. Столбец координат X любого собственного вектора, соответствующего собственному числу А, есть некоторое нетривиальное решение однородной системы (5).

Пример 2. Найти собственные числа и собственные векторы опе­ ратора РОху проектирования на плоскость Оху в пространстве V.

< 1. Геометрическое решение. Равенство Рожу* = Ах, х ф 0, означает, что ортогональная проекция вектора х на плоскость Оху коллинеарна самому вектору х. Но это возможно лишь в двух случаях.

а) Вектор х ф 0 компланарен плоскости Оху. Для всех таких век­ торов РожуХ = х, т. е. все они являются собственными векторами опе­ ратора Р Оху, соответствующими собственному числу Ai = 1.

б) Вектор х ^ О ортогонален плоскости Оху. Для всех таких векто­ ров Рожу* = 0 = 0 •х, т. е. все они являются собственными векторами

2. Аналитическое решение. Матрица оператора Р Оху в прямоуголь­ ном базисе 03 = (i, j, к) имеет вид

откуда А1 = 1 и Л2 = 0 — собственные числа оператора.

Найдем собственные веКторы, соответствующие собственному числу Ах = 1. При А = 1 система (5) принимает вид

Фундаментальная система решений:

а общее решение:

Отсюда заключаем, что собственные векторы, соответствующие собствен­ ному числу А1 = 1, имеют вид

x(Al) = xi + yj,

где ж и у — произвольные числа, не равные одновременно нулю. Аналогично рассматривается случай А2 = 0. При этом получим

х(Л2) = zk,

где 2 — произвольное число, отличное от нуля. С>

В задачах 3.129-3.133 найти собственные числа и собственные векторы операторов в УзРешить эти задачи геометрически, т. е. в инвариантной форме, не связанной с выбором какого-либо базиса в Уз (см. пример 2, геометрическое решение). После этого в задачах 3.129-3.131 провести аналитическое решение.

3.129. А х = ах, а — фиксированное число.

3.130. А х = (х, 1)1 — оператор проектирования на ось Ох.

3.133. А х = х —2(х, е)е — оператор зеркального отражения в плоскости с нормальным вектором е.

В задачах 3.134-3.143 найти собственные числа и собственные векторы линейных операторов, заданных своими матрицами.

3.144. В пространстве Уг геометрических векторов на плоско сти задан оператор поворота и(<£>) на угол 0 ^ (р < 2п вокруг начала координат. Проверить (геометрически и аналитически), что при <р ф 0, 7г этот оператор не имеет собственных чисел^ Этот пример показывает, что линейный оператор в действительном про­ странстве может не иметь собственных чисел (и собственных век-

задан матрицей

Найти его собственные числа и собственные векторы. Сравнить полученные результаты с результатами задачи 3.144.

3.146*. Пусть оператор А, действующий в комплексном про­ странстве £ п, задан в некотором базисе матрицей с действитель-

ветствующего собственному числу Л, то X — столбец координат собственного вектора, соответствующего собственному числу Л.

3.147*. В комплексном пространстве £ 3 найти Собственные чи­ сла и собственные векторы линейного оператора, заданного веще­

3.148. Показать, что если х — собственный вектор оператора А , соответствующий собственному числу Л, то он является соб­ ственным вектором оператора р(А) = ап _ 1 А п - 1 + . . . + а 1А + аоЕ, соответствующим собственному числу р(А).

3.149. Доказать, что:

а) оператор А имеет обратный в том и только в том случае, когда он не имеет нулевых собственных чисел;

б) если оператор А имеет обратный, то А и А - 1 имеют одни и те же собственные векторы. Как связаны между собой собственные числа этих операторов?

3. Линейные операторы в пространствах со скалярным произведе­ нием. Пусть А — линейный оператор, действующий в пространстве со скалярным произведением (х, у). Линейный оператор А* называется сопряженным к оператору А, если для любых векторов х, у выполня­ ется равенство

(Ах, у) = (х, А*у).

Для всякого оператора А сопряженный оператор А* существует и един­ ствен.

Если оператор А в ортонормированном базисе имеет матрицу А = = (а^), то сопряженный оператор А* в том же базисе имеет матрицу

А* —(а^), где а*•’ = а^ (матрица А* называется сопряженной к матри­ це А). В частном случае евклидова пространства А* = АТ.

Пример 3. Линейный оператор А: £3 —» £3 в базисе 93' = (е^, е 2, е'3)

базис 93 = (ех, е2, ез) ортонормирован. Найти матрицу сопряженного оператора А* в базисе 03'.

138 Гл. 3. Линейная алгебра

О

)

В пространстве многочленов Тз задано скалярное произведение

где f( t ) = ао 4- a\t 4- а242, g(t) = 6q 4- bit 4- &2^2- Найти матрицы

D* в базисе 93:

3.156. Найти сопряженный оператор для поворота евклидовой плоскости на угол а вокруг начала координат против часовой стрелки.

3.157. Пусть Оху — декартова прямоугольная система коор­ динат на плоскости и А — оператор проектирования на ось Ох параллельно прямой I: ах 4- Ьу = 0 (а Ф 0). Найти матрицу сопряженного оператора А*.

3.158. Пусть О ху — декартова прямоугольная система коор­ динат на плоскости и А — оператор отражения точек плоскости относительно прямой I: ах + Ьу = 0. Найти матрицу оператора А*.

Понятие сопряженного оператора может быть использовано при ис­ следовании совместности неоднородной системы линейных уравнений. Пусть АХ — В — матричная запись такой системы, причем т = п. Тогда X и В — столбцы координат соответствующих арифметических векторов в каноническом базисе евклидова пространства М", а квадрат­ ной матрице А в этом же базисе соответствует некоторый линейный опе­ ратор А: Еп ->• Е". Система А*Х —О, где А* — матрица сопряженного оператора А* в каноническом базисе, называется сопряженной однород­ ной системой. Верна следующая теорема Фредгольма: для того чтобы система АХ =■ В была совместна, необходимо и достаточно, чтобы вектор-столбец В был ортогонален ко всем решениям сопря­ женной однородной системы.

3.159**. Доказать теорему Фредгольма.

стема А Х = В совместна при любой правой части В , либо сопря­ женная однородная система А *Х = 0 имеет ненулевые решения.

3.165. Какие из систем линейных уравнений, указанных в за­ дачах 3.160-3.163, совместны при любой правой части?

Линейный оператор Н в пространстве со скалярным произведением называется самосопряженным, если Н = Н*. Самосопряженный опе­ ратор в унитарном (евклидовом) пространстве называется также эрми­

товым (симметричным). Для того чтобы оператор А был эрмито­ вым (симметричным), необходимо и достаточно, чтобы в любом ортонормированном базисе его матрица А = (а^) удовлетворяла соотноше­ нию ау = (ау = а^). Такие матрицы называются эрмитовыми

(симметричными).

Линейный оператор и в унитарном (евклидовом) пространстве на­ зывается унитарным (ортогональным), если

и и * = и *и = Е, т.е. и * = и ~ 1.

Для того чтобы оператор А был унитарным (ортогональным) необходимо

идостаточно, чтобы в любом ортонормированном базисе его матрица

А— (ац) удовлетворяла соотношению А~1 = А* (А-1 = Ат ). Такие матрицы называются унитарными (ортогональными).

3.166. Доказать следующие свойства самосопряженного опера­ тора:

а) собственные числа действительны; б) собственные векторы, соответствующие различным собствен­

ным числам, ортогональны.

3.167. Доказать следующие свойства унитарного оператора: а) собственные числа по модулю равны единице;

б) для того чтобы линейный оператор был унитарным, необхо­ димо и достаточно, чтобы он переводил ортонормированный базис снова в ортонормированный базис;

в) унитарный оператор сохранаяет скалярное произведение; г) унитарный оператор сохраняет длины векторов.

140 Гл. 3. Линейная алгебра

3.168. Показать, что в пространстве Уз следующие операторы являются симметричными:

а) А х = Лх, Л — фиксированное число;

ным произведением (6) следующие операторы являются симме­ тричными:

а) /М -> / ( - 0 ; б) /(*) = tnf

3.170. Показать, что в пространстве У2 оператор и (е , </?) пово­ рота на угол </? вокруг оси, заданной единичным вектором е (см. задачу 3.88), является ортогональным.

3.171. Показать, что операторы задачи 3.168 являются ортого­ нальными.

4. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.

Если оператор А, действующий в пространстве Сп, имеет п линейно не­ зависимых собственных векторов ех, е2, ..., еп, соответствующих соб­ ственным числам Ах, А2, ..., Ап, то в базисе из этих векторов матрица оператора А имеет диагональный вид

Ао\

(7)

\0 А«/

Пример 4. Привести матрицу А линейного оператора к диагональ­ ному виду и найти соответствующий базис, если

жет быть приведена к диагональному виду. Находим соответствующие собственные векторы. При А = 2 система (5) принимает вид