Учебник по математике Ч1 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с

в) f( t ) — U n-it71 1 + ••• + CL\t + Go, T .e . f( t ) — многочлен степени не выше тг — 1 .

Пусть Q — произвольная система векторов из линейного простран­ ства С.

Линейной оболочкой системы Q называется множество векторов

£(Q ) = {х|х = AiXi + ... + Aex e, xi, ... , х« € Q }.

3.50. Доказать, что

а) C(Q) — подпространство в С\

б) dim C(Q) = rangQ, причем в качестве базиса в C(Q) можно взять любой базис системы Q.

3.51. Найти размерность линейной оболочки £ (х i, х 2) ариф­

3.54*. Показать, что линейная оболочка системы многочленов —342 —1 , 2t2+ t, —t совпадает с пространством Vs всех многочленов степени ^ 2 .

Пусть V — произвольная система геометрических векторов. Геоме­ трическим образом системы V назовем множество точек, являющихся концами векторов из V , при условии, что все векторы исходят из начала координат.

3.55. Написать уравнение геометрического образа линейной обо­ лочки £ (а ) и многообразия £ (а ) + Ь, если а = —2 i + j — к и b = 2 i - j.

3.56. Написать уравнение геометрического образа линейной обо­ лочки £ ( a i, а 2) и многообразия £ (a i, a 2 )+ b , если ai = —i-f j - f к,

а2 = 2j — к и b = i + k.

3.57.Задана система уравнений:

ное многообразие в пространстве R5,

б) Сдвигом какого пространства получается это линейное мно­ гообразие? Найти ранг и какой-нибудь базис этого подпростран­ ства.

в) Найти какой-нибудь вектор сдвига.

3. Пространства со скалярным произведением. Действительное ли­ нейное пространство € называется евклидовым пространством,если каждой паре векторов х и у из S поставлено в соответствиедействи­ тельное число, обозначаемое символом (х, у) и называемое скалярным произведением векторов х и у, причем выполнены следующие условия:

1)(х, у) = (у, х);

2)(xi + х2, у) = (хь у) + (х2, у);

3)(Лх, у) = А(х, у), А € R;

4) (х, х) ^ 0, причем (х, х) = О х = 0. Длиной вектора х называется число

|х| = у/(х, х).

Вектор х, длина которого равна единице, называется нормированным. Для любых векторов х, у евклидова пространства справедливо не­

р авен ство К ош и -Б у н яковского

|(х, у)|2 < (х, х)(у, у),

которое позволяет следующим образом определить угол между ненуле­ выми векторами:

со^ = г т т т

М •|у|

Ненулевые векторы х, у € £ называются ортогональными, если (х, у) =

Базис © = (ei, . . е„) n-мерного евклидова пространства £п назы­ вается ортонормированным, если

(процесс ор тогон али зац и и Ш мидта).

Комплексное линейное пространство Ы называется унитарным, если каждой паре векторов х, у из Ы поставлено в соответствие комплексное число, обозначаемое символом (х, у) и называемое скалярным произве­

дением векторов х и у, причем выполнены следующие условия:

1) (х, У) = (У, х);

В унитарном пространстве не определяется угол между векторами. Однако все остальные определения и результаты, сформулированные вы­ ше для евклидова пространства, остаются справедливыми и для унитар­ ного пространства.

Евклидовы и унитарные пространства в дальнейшем называются

пространствами со скалярным произведением.

3.58. Доказать следующие свойства скалярного произведения в

странстве Ып является ортонормированным в том и только том случае, когда выполнено любое из следующих условий:

3.60.Доказать, что любая система попарно ортогональных век­ торов линейно независима.

3.61.Пользуясь неравенством Коши-Буняковского, доказать

следующие н е р а в е н с т в а т р е у г о л ь н и к а :

где х = (жх? ••ч х п) и у = (ух? ■• Уп)> задает скалярное произве­ дение (получаемое евклидово пространство арифметических век­ торов в дальнейшем будем также обозначать символом Мп).

б) Показать, что в евклидовом пространстве Е п канонический базис (см. § 3 гл. 2 ) является ортонормированным.

в) Написать неравенство Коши-Буняковского для евклидова пространства Мп.

г) Написать неравенства треугольника в евклидовом простран­ стве Е п.

3.63. Пусть х = (ях, £ 2 ) и у = (ух? У2) — произвольные век­ торы арифметического пространства Е 2. Показать, что скалярное произведение в М2 можно определить следующими способами:

а) (х, у) = 2х\у\ + 5х2у2\ б) (х, у) = Х1У1 + Х1У2 + Х2У1 + Х2У2-

различные действительные числа.

Вычислить скалярное произведение многочленов р(4) = 1 + 4 4- 42 и д(4) = 4 — 242 + З43 каждым из указанных способов (п = 4), если в случае б) 4х = —2 , 4г = — 1 ? = 1 ? й = 2 .

3.65. а) Доказать, что в пространстве С[а>й] соотношение:

задает скалярное произведение.

б) Написать неравенство Коши-Буняковского для этого про­ странства.

в) Написать неравенства треугольника для этого пространства. Применить процесс ортогонализации к следующим системам

Следовательно, ез = (6 , —3, —6 ). >

где п — нормальный вектор плоскости а. В рассматриваемом случае п = 1 + з + к и , следовательно,

откуда

Над линейными операторами, действующими в фиксированном про­ странстве С, вводятся следующие операции:

а) сложение операторов: (А 4 - В )х = Ах 4 - Вх; при этом [А 4- В] = = А -ь В\

умножение операторов на числа: (АА)х = А(Ах); при этом [АА] =

в) умножение операторов: (А В)х = А (Вх); при этом [АВ] = АВ. Обратным к оператору А называется оператор А 1 такой, что

АА-1 = А~ХА = Е, где Е — единичный оператор, реализующий то­ ждественное отображение. Оператор А имеет обратный (и в этом случае

называется невырожденным) в том и только том случае, когда его ма­ трица А невырождена (в любом базисе); при этом [А '1] = А-1 .

В задачах 3.83-3.89 установить, какие из заданных отображе­ ний пространства Уз в себя являются линейными операторами; выписать их матрицы в прямоугольном базисе 03 = (1, к).

3.83.А х = Ах, А — фиксированное число.

3.84.А х = Ах 4 - а, А и а фиксированы.

3.85.А х = (х, е)е, где е — заданный единичный вектор. Вы­ яснить геометрический смысл этого отображения.

3.86.А х = [а, х], а — фиксированный вектор.

3.87.А х = (а, х)х, а — фиксированный вектор.

3.88**. и (е , <р) — отображение, состоящее в повороте на угол (р вокруг оси, задаваемой единичным вектором е.

В задачах 3.90-3.95 установить, какие из заданных отображе­ ний пространства арифметических векторов М3 в себя являются линейными операторами; выписать их матрицы в каноническом

3.91.А х = (х 1, хг + 1, х3 + 2).

3.92.А х = (0, хг — хз, 0).

Далее,

Поэтому

По определению матрицы линейного оператора в каноническом ба­ зисе Еп ее столбцы являются наборами компонент образов базисных

В задачах 3.101-3.105 найти матрицы указанных линейных операторов А , действующих в пространстве Уз, в базисе Ъ' из задачи 3.18.

3.101. А х = [а, х], а — фиксированный вектор.

<3 Пусть а = ах! + 02j + азк. Тогда матрица линейного оператора А в базисе © = (1, к) имеет вид (см. задачу 3.86):

Так как

1 О

Оcos(,c

О —sin (р I то, используя формулу (1), находим

= cos 7 = —7=. V3

Найти матрицу оператора А в базисе 93", если его матрица в ба­ зисе 93' имеет вид

многочлен и А — линейный оператор. Рассмотрим оператор р (А ), определяемый равенством

р(А) — an—iAn 1 + ... + ai А + aoE.

Найти матрицу оператора р (А ), если p(t) = 342 —24+ 5, а оператор

А задан матрицей А =

3.110. В пространстве Р п задан линейный оператор дифферен-

(I

цирования О = — . Найти матрицу этого оператора в базисе: