Учебник по математике Ч1 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с

щью элементарных преобразований над строками и перестановкой столб­ цов расширенная матрица системы (2 ) может быть приведена к виду

которая с точностью до обозначения неизвестных эквивалентна исходной системе.

Если хотя бы одно из чисел &'г+1, . . Ь'т отлично от нуля, то системы (8 ), а следовательно, и исходная система (2 ) несовместны.

Если же Ьг+1' = ... = Ь'т = 0, то система совместна и формулы (8 ) дают по существу явное выражение для базисных неизвестных х\, ...

..., хг через свободные неизвестные хг+\, ..., хп.

Г л а в а 3

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

§1. Линейные пространства

ипространства со скалярным произведением

1.Линейное пространство. Множество С называется линейным (век­ торным) пространством, если выполнены следующие условия:

. 1. В С введена операция сложения элементов, т. е. Vx, у € С опре­ делено отображение

(х, у) -> г € С

(обозначение: z = x + y), обладающее следующими свойствами:

1а) х + у = у + х; 16) (х + у) + z = х + (у + z); 1в) 3 0 € С Vx € С (х + 0 = х) (элемент 0 называется нулевым)-, lr) Vx € £ 3(—х) € С (х + (—х) = 0) (элемент —х называется противоположным элементу х).

2. В С введена операция умножения элементов на действительные (комплексные) числа, т. е. VA € Е (А £ С), Vx € £ определено отобра­ жение

(А, х) -> у GC

(обозначение: у = Ах), обладающее свойствами: 2а) 1 •х = х; 26) А(цх) = (\ц)х.

3. Операции сложения элементов и умножения их на числа удовле­ творяют законам дистрибутивности:

За) А(х + у) = Ах + Ау; 36) (А + fi)x = Ах + /хх.

Элементы линейного пространства называются векторами. Про­ странство С называется действительным, если в С операция умноже­ ния векторов на число определена только для действительных чисел, и комплексным, если эта операция определена для комплексных чисел.

Проверить, что следующие множества являются линейными пространствами:

3.1.Множество Уз всех геометрических векторов (операции над геометрическими векторами определены в § 1 гл. 1).

3.2.Множество Rn всех арифметических n-компонентных век­ торов х = (z i, . . х п) (операции над арифметическими векторами

определены в §3 гл. 2).

3.3. Множество Vn всех многочленов

p(t) = an_ iin_1 + ... + ait + ao

сложения многочленов и умножения их на числа.

3.4. Множество С[0 ь] всех функций /(£), непрерывных на от­

резке [а, 6], с естественным образом введенными операциями сло­ жения функций и умножения их на числа.

3.5. Множество М т ,п всех матриц размера т х п (операции над матрицами определены в §2 гл. 2).

Выяснить, являются ли следующие множества линейными про­ странствами:

3.6.Множество Ух всех геометрических векторов, коллинеарных фиксированной прямой.

3.7.Множество всех геометрических векторов, исходящих из начала координат, концы которых лежат на фиксированной пря­ мой.

3.8.Множество всех геометрических векторов, удовлетворяю­

щих условию |х| > а, где а > 0 — фиксированное число.

3.9.Множество всех сходящихся последовательностей.

3.10.Множество всех расходящихся последовательностей.

3.11.Множество всех функций, интегрируемых на отрезке [а, Ь].

3.12.Множество всех преобразований поворота трехмерного пространства геометрических векторов вокруг фиксированной оси.

Система векторов Хх, ..., хв С С называется линейно зависимой, если найдутся числа А1, ..., Аа, не равные одновременно нулю и такие, что А1Х1 4-... 4- Ааха = 0; в противном случае эта система называется

линейно независимой.

Пусть (} С С — произвольное множество векторов линейного про­ странства. Упорядоченная система векторов 93 = (е1} ..., еа) называется базисом в ф, если:

а) е* е <2, к = 1, 2, ..., в;

Формула (1) называется разложением вектора х по базису 9$. Коэффициенты х\, ..., х8 однозначно определяются вектором х и

называются координатами этого вектора в базисе 9$.

Если множество ($ С С обладает базисами, то все они состоят из одинакового числа векторов, называемого рангом ф (и обозначаемого

гавдф). В частности, если все пространство С имеет базис, то оно называется конечномерным и обозначается £„, где п = сЦт£ — чи­ сло векторов в любом базисе, называемое размерностью пространства. В противном случае пространство С называется бесконечномерным.

Пусть Сп — произвольное п-мерное пространство, 93 = (е1} ..., еп) — фиксированный базис в нем. Тогда всякому вектору х £ Сп взаимно

однозначно соответствует столбец его координат в этом базисе:

/XI

х = Х1в1 + ... + хпе п X = I :

\*п,

При этом линейные операции над векторами в координатной форме вы­ глядят следующим образом:

г = х + у ^ £ = Х + У, у = Лх О У = XX.

Пусть 03 = (е1} ..., ел) и 03' = (е'1} ..., е^) — два различных базиса в Сп. Каждый из векторов базиса 03' разложим по базису 03:

е'* = Ьпех + ... + <п*еп Е'к = IЛ :Л1 , к = 1,2, ... ,п . \tnkj

Матрицей перехода Т®-*®» от базиса 23 к базису 03' называется ма­ трица

( *11 ••• *1п\

.................... I 5

^п1 ••• Ъпп/

к-й столбец которой есть столбец Е'к координат вектора е'Лв базисе 03.

Если х — произвольный вектор из СП} X и Х ‘ — столбцы его координат в базисах 03 и 03' соответственно, то имеет место равенство

= 1+к.

<Выпишем координаты векторов е'1} е'2, вд в исходном базисе 03 =

Отсюда матрица перехода Т®_*®» имеет вид

/1 О Г Т®-+®» = [ 1 1 0 |.

\0 1 г

т.е. х = 2е 2' —е^. >

3.13.Пусть ф — произвольная система векторов из С. Подси­ стема в 1 , ..., е3 С ф называется максимальной линейно незави ­ симой подсист емой в ф, если ех, ..., е5 — линейно независимая система и всякая расширенная система в !, ..., е 3, х, где х — про­ извольный вектор из (2, линейно зависима. Доказать, что всякий базис в ф есть максимальная линейно независимая подсистема в Ф, и наоборот.

3.14.Если заданы произвольные к векторов Хх, ..., х*, то из них можно построить не более к линейно независимых комбина­ ций. Используя этот результат, доказать: если 03 и 03' — два различных базиса в системе ф, то они состоят из одинакового чи­ сла векторов (т.е. имеет смысл понятие ранга системы ф).

3.15.В пространстве Уз заданы векторы

выписать столбец координат вектора х = 1 — 2$ + к в базисе 03'. 3.16. Базис 03' получен изменением на противоположное напра­

3.18.Базис 05' получен поворотом базиса *8 на угол <£>вокруг

орта 1.

3.19.Найти ранг и какой-нибудь базис системы геометриче­

сима, и написать какое-нибудь нетривиальное соотношение вида Ах хх + А2Х2 + А3хз = 0. Найти ранг и все базисы этой системы.

V - V

Пусть С и С1 — два действительных (или комплексных) линейных пространства. Отображение уэ: С -» £ ' пространства £ на пространство

£называется изоморфизмом, если: а) уэ взаимно однозначно;

В задачах 3.39-3.41*) установить, является ли изоморфизмом заданное отображение V3 на R3.

3.39.<р(хi 4- yj 4- zk) = (2х - у, z, х 4- у + z).

3.40.<р(хi 4 - yj 4 - гк) = (х + у - 1, 2z, Зу).

3.41.<^(:ri + yj 4- гк) = (ж 4- у, - у 4- 2гг, ж 4 - 2у — 2г).

3.42.Отображение <р: Сп -> Мп произвольного пространства

Сп на пространство Е п арифметических векторов имеет вид

отличие от прописных букв, используемых в гл. 1, так как здесь прописными буквами мы будем обозначать вектор-столбцы.

матрицу перехода от базиса 03 = (1, г) к базису 03; = (1 + г, —г) в этом пространстве, и для числа —2 + Зг написать разложение по базису 03'.

2.Подпространства и линейные многообразия. Подпространством

линейного пространства £ называется такое подмножество £ ' С £, ко­ торое обладает свойствами:

а) х, у € £ ' => х + у € £'; б) х € £ ' =£• Лх € £ ' для всякого числа Л.

Если £ ' — некоторое подпространство в £, то множество векторов

£' + Хо = {х G £|х = х' + х0, х' G £ ' для некоторого Xo G £ }

называется линейным многообразием, полученным сдвигом подпростран­ ства £ ' на вектор Хо-

3.44. Доказать, что всякое подпространство С' линейного про­ странства С также является линейным пространством (при этом d im £ ; ^ dim £).

В задачах 3.45-3.49 требуется установить, являются ли задан­ ные множества подпространством в соответствующих простран­ ствах. В случае положительного ответа найти их размерность.

3.45. Множество всех геометрических векторов из V3 : а) компланарных фиксированной плоскости;

б) удовлетворяющих условию (х, а) = 0 , где а — фиксирован­ ный вектор;

в) удовлетворяющих условию |х| = 1 . 3.46. Множество всех векторов из Мп вида: а) х = (0 , я2, 0 , я4, я5, ..., хп)\

б) х = (1 , х 2, 1 , я4, я5, •••, хп).

3.47*. Множество всех векторов произвольного пространства £ п, координаты которых в фиксированном базисе удовлетворяют условиям:

или, в матричной форме, А Х = О, где А — заданная матрица размера т х п.

3.48. Множество всех матриц А порядка п , удовлетворяющих