Учебник по математике Ч1 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с

2.174.

XI

=

(1,

1,

1,

1), х 2

=

( 1 ,- 1 ,- 1 ,1 ) , х 3

=

( 1 , - 1 ,1 , - 1 ) ,

х 4 = (1 , 1 , - 1 , -

1 ).

2.175.

XI

=

(4,

- 5 ,

2, 6 ), х 2

=

(2, - 2 , 1,

3), х 3

=

(6 , - 3 ,

3,

9),

х 4

= (4, - 1 ,

5, 6 ).

Найти ранг системы векторов:

2.176.

а!

=

(1,

- 1 ,

0, 0), а2

=

(0, 1, - 1 ,

0), а 3

=

(1,

0, - 1 ,

1),

в4

= (0, 0, 0, 1),

аб =

(3, - 5 ,

2, -3 ).

2.177.

а!

=

(1, г,

- 1 ,

1 ),

а2 = (1, -г,

- 1 ,

*,

1),

аз

=

=

(1, - 1 , 1, - 1 , 1), а4 = (3, - 1 , - 1 , - 1 , 3).

Найти все значения Л, при которых вектор х линейно выра­

жается через векторы ах, а2, аз:

2.178.

в! =

(2,

3, 5),

а2

=

(3, 7, 8), а3 =

(1,

- 6 , 1),

х

=

=

(Г, - 2 , Л).

2.179.

а! =

(3,

2,

5),

а2

=

(2, 4, 7),

а3 = (5, 6 , Л),

х

=

=

(1, 3, 5).

2.180.

8 1 =

(3,

2,

6 ),

а2

=

(7, 3, 9),

а 3 = (5,

1,

3),

х

=

=

(А, 2 , 5).

Найти ранг и какой-нибудь базис заданной системы векторов:

2.181.

Й1 =

(5 ,2 ,-3 ,1 ), а2

=

(4 ,1 ,-2 ,3 ), а3

=

( 1 ,1 , - 1 , - 2 ) ,

а4

= (3, 4, - 1 , 2 ).

2.182.

в1 =

(2,

- 1 ,

3, 5),

а2

=

(4, - 3 , 1, 3),

а3

=

(3, - 2 ,3 ,4 ),

8 4

= (4, -1,15,17),

8 5 = (7,

-

6 , - 7 , 0).

2.185.

8 1

=

(1 ,2 ,3 ,-4 ),

а2

=

(2 ,3 ,-4 ,1 ), а3

=

(2, - 5 , 8 , - 3 ),

8 4

= (5, 26, - 9 ,

-12), 8 5 =

(3,

- 4 , 1, 2).

Найти ранг и все базисы системы векторов:

2.184.8 ! = (1, 2,

0,

0),

а2

=

(1, 2, 3, 4),

а 3 = (3,

6 , 0, 0).

2.185.

а 1 =

(1,

2,

3, 4),

а2

= (2, 3, 4,

5), а3

=

(3, 4,5, 6 ),

а4

= (4, 5,

6 , 7).

2.186.

8 1 =

(2,

1, - 3 , 1),

а2

=

(4, 2, - 6 , 2),

а3

=

(6 ,3 ,-9 ,3 ),

(1\\Х1

+

0>\2Х2

+

. . . +

й\пх п =

Ь1,

а 21^1

+

022^2

+

•••+

О2 пх п =:

^2>

а 12 .

( х Л

{ ЬЛ

А =

а22 •

02п

Х2

&2

, * =

, В =

ап2 .

0 >пп)

\Хп/

и„/

3^1 4- 2 я 2

4- х3

= 5,

2 x1 - х2

+ хз = 6 ,

Х\ 4- Ъ х2

=

— 3.

2

Г

-1

1 | невырожденная, так как с1е1 А = - 2 ^ 0.

5

О,

Присоединенная матрица АУ имеет вид

А* =

Следовательно,

^-5

5

А- 1 - - -

1

- 1

-1

Л

~ 2

11

-1 3

- 7 ,

§ 4. Системы линейных уравнении

103

X

т.е. х\ =

2, Х2 = -1 ,

хз = 1. >

Следующие системы решить по правилу Крамера:

2.187. З х - 5 у =

13,

2.188.

3х - 4у =

- 6 ,

2х 4- 7у = 81.

Зх + 4у =

18.

2.189.

2ах -

3by = 0,

2.190.

7х 4-

2у 4- 3z =

15,

Зая — 6by = ab.

Ъх —

Зг/ 4- 2z =

15,

10я — lly 4- 5z = 36.

2.191. 2х 4- у

= 5 ,

2.192.

х 4-

у — 2z = 6,

х

4-3 z

=

16,

2я 4-

Зг/ — 72? =

16,

5у — z

~

10.

5ж 4-

2у 4- г =

16.

2.193.

2.194.

4х\ 4- 4^2 4- 5жз 4- 5^4 =

0,

2xi — ^2 + Зяз 4- 2^4 =

4,

i

2a:i

4- З^з —

Х4 = 10,

3^1 4- Заг2 4- Зжз 4- 2я4 =

6,

Xi -b

Х2

— 5хз

= —10,

ЗХ! —

Х2 — Хз — 2ж4 = 6,

Г

3^2

+ 2^3

= 1.

3^1 —

Х2 + Зхз —

Х\ — 6.

2.195*. Доказать, что для любых различных чисел

Ж2 , хз

и любых чисел yi, у2 , уз существует, и притом только один, мно­

гочлен у

= f( x )

степени < 2, для которого f(x {) = у*, t =

1, 2, 3.

Когда степень этого многочлена < 2 (равна 1, равна 0)?

По заданным условиям найти многочлен f{ x ) :

:

2.196. /(1)

=

- 1 , / ( - 1 )

=

9,

Д 2) =

- 3 .

2.197. fj{ x i ) = Sij,

t, j

=

1, 2, 3, 6{j =

/ q

^ ^ \

Решить системы уравнений:

2.198. Ъх\ 4- 8^2

+

#з =

2,

2.199.2х\ —3x2+

хз = —7,

3^1 -

2ж2 4- бяз =

- 7 ,

х\ 4- 4ж2 4- 2хз =

- 1 ,

2xi 4-

®2

“

яз

=

- 5 .

zi -

4х2

=

- 5 .

2.200.

хз

х\

— 4,

2.201.

2^1 +

2а?2 —

2a;i 4- 3^2411яз 4- 5^4 =

2,

4xi + 3^2 —

хз 4- 2ж4

=

6,

х\ 4-

Х2 +

5яз 4- 2^4 =

1,

8a;i 4- 5а;2 — Зхз 4- 4а?4

=

12,

2х\ 4-

Х2 4-

Зхз 4- 2х± =

—3,

Зд?1 4" 3x 2 — 2хз 4- 2я4

=

6.

х\ 4-

Х2 4-

Зз^з 4- 4^4 =

—3.

2.202. 2х\ 4-

5^2 4- 4жз 4-

ж4— 20 =

О,

Х\ 4-

Зх2 4- 2ж3 4-

х\-

И =

О,

2xi +

10^2 4- 9яз 4- 9x4— 40 = О,

3ж1 4-

8а;2 4- 9жз 4- 2я4-

37 =

0.

2.203« 3^1 + 4^2

+

х$ + 2^4 + 3

— 0,

3^1 +

5x2

+ Зжз + 5а;4 + 6

= 0,

6^1 +

8з?2

"Ь

“Ь 5х^ +

8

=

0,

3^1 + 5х2

+ Зжз + 7я4 +

8

=

0.

&\\Х\ +

012^2 + . . . +

0-1пх п = Ь\,

0 -2 1 % 1 +

0 -2 2 х 2 +

•••+

0 >2 п%п = ^2,

/0\

Q"mlxl + От2*^2 + •••+ Omn^n —^т»

или, в матричной форме,

АХ = В,

(3)

/ац

Öi2

Olп \

( ХЛ

fbi\

А = 021

О22

02п

,

х = Х2

, в =

62

V^ml

Om2

отп/

V W

Кът)

шений совпадают.

система

Теорема КронекераКапелли. Для того чтобы

(2) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы

rang А = rang А,

(4)

где А = (А\В) — р а с ш и р е н н а я м а т р и ц а системы.

+ •••+ ОrrXf + Q

(5)

i + . . . + ClrnXfi — &r,

§ 4. Системы линейных уравнений

105

свободные неизвестные, в правую часть уравнений

(5). Получаем си­

стему относительно базисных неизвестных:

&11*1 Н- •••4" 0>1гХр — Ь\

01

...

(1\п*п,

Ог1*1 Н” •••4* Огг* г — Ьг

...

Огп* п,

= с\,

...,

хп = сп- г имеет единственное решение Х\(с1, ..., сп_ г), ...

. . . , х г

=

(сх, ..., сп_ г), находимое по правилу Крамера. Соответству­

2х\ + Х2

-

* 3 -

Зод = 2,

4*1

4-

* 3

—7* 4 =

3,

2х2

-

З*3

4-

*4 =

1,

/2 i l -1

“ 3\

/ 2

1 - 1

- 3

2

\

4

А !

1

- 7

А —

4

0

1 - 7

3

А = 0 2

- 3

0

2

- 3

1

1

1 , л —

\2

3

- 4

"2/

V 2

3

- 4

- 2

з /

2

1

Выберем в качестве базисного минор М2 = 4

0 . Тогда неизвест­

4 *1

= 3 —*3 4- 7* 4 .

3

1

7

4

4 е* +

4 е2’

1

3

1

/3

1

7 \

7

—ТС1 + ТС2

4

4

4

1

1

Х (съ с2) =

2 ° х

2 ° 2

2

с\

\

С2

/

2.204.

1 х -

уДу =

1,

2.205. у /Ъ х -

5у =

л/5,

у/Зх — Зу = \/3.

я -

л/бу =

5.

2.206. 2х —

у 4- г =

—2,

2.207.

ж 4- 2у —4г =

1,

х 4- 2у 4- Зг =

—1.

2х 4- у —5г =

—1,

ж — Зу — 2г =

3.

х — у — г — —2.

2.208.

х\ =

2.209.

За?! — 2а:2 — 5жз 4-

3,

Х\ 4-

Х2 — б х з

-

4X4

6,

2^1 — За?2 4-

яз 4- 5^4 =

—3,

3^1 —

Х2 — бхз — 4^4

2,

х\ 4- 2х2

~ 4^4 =

—3,

2x1 4- 3^2 4- 9^з 4- 2я4

6,

х\ —

Х2 — 4хз 4- 9ж4 =

22.

3x1 4- 2 х 2 4- Зхз 4- 8#4

-7.

2.210.

2.211.

2х\ +

7 x 2 4- Зжз 4-

Х4 =

6,

3^1 -

5 х 2 4- 2 х з

4- 4x 4 =

2,

Зх\ 4- 5 х 2 4- 2хз 4- 2x4 — 4,

7:271 — 4 x 2

4- х з

4- 3x4 =

5,

9^1 4- 4^2 +

хз 4- 7x4 =

2.

5а;1 4- 7x2

— 4 х з

— 6а;4 =

3.

2.212.

2.213.

9а?1 — 3^2 4- 5жз 4-

6я4 =

4,

ЗЯ1 4- 2^2 4- 2 х з

4- 2а;4 =

2,

6^1 — 2^2 4* Зхз 4*

4x4 =

5,

2х\ 4- 3x 2 4- 2яз 4- 5ж4 =

3,

За;1 —

Х2 4- Зхз 4- 14я4 =

-

8.

9^1 +

12 4- 4яз — 5x4 =

1,

2х\ 4- 2ж2 4- Зз^з 4- 4^4 =

5,

7x1

4-

Х2 4- Ь х з

-

Х4 =

7.

2.214.

х\ 4-

Х2 4- Зжз

2^4 4- ЗЖ5 =

1,

2х\ 4- 2х2 + 4жз

Х4 4“ Зх§ — 2,

Зх\ 4- 3^2 4- 5яз

2я4 4- ЗЖ5 =

1,

2х\ 4- 2x 2 + 8я3

ЗЯ4 4- 9^5 =

2.

§ 4. Системы линейных уравнений

107

2.215. 2х\ ~ Х2 +

х$ 4- 2ха 4-

Зх$ =

2,

6x 1 — 3X2 +

2яз

4- 4^4

4-

5Ж5 =

3,

6^ 1 — 3X2 +

4жз

+ &Е4 + 13Я5 = 9,

4а;1 — 2х2 +

#3

+ х^

4-

2х$ =

1.

2.216. 12^1

4- 14а;2

-

15яз

4- 2 4 ^ 4- 27^5 =

5,

16я1

4- 18а;2

-

22жз

4- 29^4 4- 37^5 =

8 ,

18а;1

4- 20а;2

— 21жз 4- 32^4 4- 41^5 =

9,

10^1

4- 12ж2

— 16жз 4- 20^4 4- 23^5 =

4.

2.218.

2.219.

Ъх\ — За?2 4- 2яз 4-

4я4 =

3,

Ая1 4-

Х2 4-

хз 4-

ж4 = 1,

4х\ — 2x2

4- Зжз4-

7x4 =

1,

^

4

\х2 4-

хз 4-

ж4 = 1,

8 ж1 — 6 ^ 2

—

хз—

Ъх4 =

9,

х\ 4-

Х2 4* Аяз 4-

Х4 = 1,

7 x 1 — 3x 2

4- 7хз4- 17я4=

А.

х\ 4-

Х2 4-

2Сз4 Аж4 = 1 .

2.220. 2x1 —

Х2 4- Зжз 4-

4^4 =

5,

Ах\ - 2x2 4- Ъхз 4-

6 я4

=

7,

6 а;1

— 3^2 4- 7хз 4-

8 я4

=

9,

А^1 — 4^2 4- 9а;з 4-10^4 =

11.

2.221. (1 4- Х)х\ 4-

х 2 +

хз =

1,

х\ 4- (1 4~ A)#2Х 4"-

Хз — 1,

х\ 4-

хХ2 +4- (1 4- А)яз =

1.

3.

Однородные системы. Однородная система АХ = О всегда со­

вместна, так как имеет тривиальное решение X

= О. Для существо­

3*1

+

*2

—8 * 3- +

2X4 +* 5 = 0 ,

2*1

-

2 *2

- 3 * з -

7

*4

+

2

*5 =

0,

*1

+ 11*2

— 12*3

+

3 4

*4

— 5

*5 =

0,

*1 -

5 *2

+ 2*3 - 16*4

+ 3*5 = 0 .

< Матрица коэффициентов

И

- 8

2

1\

2

_-А! - 3

- 7

2

1

11

-12

34

- 5

VI

- 5

2

-1 6

з/

3

1

Ф 0.

М2 2

- 2

3*1

+ *2

=

8 *3 - 2 *4

— * 5 ,

2 *1

- 2 *2

=

3 * з + 7 *4

— 2 *5 ,

*1 =

19

3

1

- Т

С1-

2 +

2СЗ

- Г

*2 =

7

25

1

' 8 С1 + Т

С2"

2СЗ

§ 4. Системы линейных уравнений

109

Из общего решения находим фундаментальную систему решений

/

19/8\

/-3/8Ч

—7/8

, Е 2 = Х ( 0,1,0) =

25/8

Е\ = Х (1, 0, 0) =

1

0

0

1

\

о

)

\

о /

/ V 2 \

-

1 /2

Е 3 = Х(0, 0, 1)

О

О

\

1 /

следующих систем:

2.223.

Ж1 4- 2х2 ~

Х3 — 0,

2.224.

х\ —2x 2 ~ Зжз = 0,

2х\ 4- 9x 2 —Зхз = 0.

— 2х\ 4- 4^2 4- 6x 3 =

0.

2.225. 3^1 4-

2х2 4- хз =

2.2260,. 2x1 ~ 3x2 4-

Хз — О,

2х\ +

5x 2 + З^з =

0.

XI 4-

х 2 +

хз = О,

З^х 4-

4^2 4-2жз =

0. 3x1 ~ 2x 2 + 2#з = 0 .

2.227.

4- 4жз —

3^4 =

0,

2.228.

х\ +

2 x 2

2x1 ~

4x2 +

5жз 4-

За:4 =

О,

3ж1 4- 5^2

4- 6x 3 —

4ж4 =

0,

3^1 — 6x 2 4-

4жз 4-

2ж4 = О,

4^1 4- 5^2

— 2а:з 4-

3^4 =

О, 4x 1 ~

8^2 4- 17жз 4- 11аг4 =

0.

3ж1 4- 8^2424жз— 19ж4 =

0.

2.229. 3^1 4-

2ж2 4- хз 4- Зя4 4- 5х$ = О,

6^1

4-

4ж2 4-Зжз 4- 5ж4 4- 7х5 = О,

9x1 4-

6 ж2 4-5а:з 4- 7а:4

4- 9х*> = О,

За?! 4- 2ж2

4- 4x4 4- 82:5

=

0.

2.230. х\

4- хз

+ х$

=

О,

х 2

~ Х 4

+ х ъ = О,

х х - х 2

4- х 5 - хб = О,

Х2 4- х 3

4- х 6 = О,

— ж4 4- Х5

=

0.

2.231.

5x1 4-

6x 2 —2^з 4- 7ж4 4- 4x5 = О,

2x 1 +

3^2 — х з 4- 4ж4 4- 2х$ = О,

7x1 +

9^2 ~Зяз 4- 5x4 4- 6 Ж5

= О,

5^1 4-

9^2 —Зжз 4-

Х4 4- 6 x 5

= 0.

2.232. 3#i 4*

4 x 2 4*

хз

4* 2x 4 4* 3#5 — 0,

5жх 4-

7х

24-

хз

4- Зж4 4- 4^5 = 0,

4жх 4-

Ь х

24- 2 х з

4- ж4 4- 5жб =

0,

7 x i 4 - 1 0 ^ 2 4- ж3 4- 6ж 4 4- 5 # s =

0.

30

- 2 4 43

50

/4

2

9

- 2 0

9

- 1 5

8

~ 5 \

, в =

2

13

5

1 -1 1

4

2

9

2

V9

-1 5

8

5

- 2 0 —30/

3:ei

4- 4^2 4- 2 х з

4- х\

4-

6^ 5

=

0,

bxi

4- 9^2 4- 7хз

4- 4x4 +

7х5

=

0,

4х\

4* 3^2 — Х3 — Х4

4 - 11^5 =

0,

х\

4- 6^2 4- 8жз 4- 5x4

—

4 х $

=

0.

2.234. a 2x 1 4- 3^2 4- 2хз = 0,2.235.

2х\ 4-

Х2 4- За;3

=

0,

ах 1 -

х 2 4-' хз =

0,

4xi -

х 2

+ 7ж3

=

0,

8жх 4-

Х2 4- 4а:з =

0.

х\ 4- а х 2

4- 2жз

=

0.

2.236.

2 xi 4-

х2

-

Хз-

Х4 “I- Х§ — 1,

X I — х2 4- Хз+ Х4 — 2х$ = 0,

3xi 4- За:2 - Зхз- За:4 4- 4х$ =

2,

4xi

4- 5^2 - 5ж3 - 5ж4 4- 7x5 — 3.

2.237.

2 xi —

2х

2 4-

хз

--

Х

4"

Х

—

1,

4

5

X I

4-

2^2 --

Хз4*

Х4

—

2х5

=

1,

4xi — 10^2 4- 5хз -- 5x4 4-

7х5

=

1,

2.238.

2 xi — 14x2 4- 7хз --

7x4 4 -11^5 = - 1 .

X I

—

2

4-

хз~ Х 4*

—

1,

Х

4

х§

XQ

2 xi —2 х2 + 2 хз+ Х4 - Х5 4- XQ = 1.

2.239. Ж1 + 2x2 4- Зхз 4- 4ж4 4- 5х$ =

0,

х\ — 2x2 —Зж3 —4ж4 — 5^5 =

2,

2а:2 4- Зжз 4- 4а:4 4- 6x 5 =

—1.